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aisément multiplier, de ce qui a été dit précédemment (n^o 1), sur les jugements contraires portés dans une même question par des personnes différemment instruites.

Supposons encore que nous sachions qu’une urne A renferme un nombre donné $n$ de boules blanches et de boules noires, dans une proportion qui nous est absolument inconnue. Nous pourrons faire sur cette proportion, ${n+1}$ hypothèses différentes et également possibles, qui seront autant de manières distinctes dont l’extraction d’une boule blanche pourra avoir lieu. Ces hypothèses seront $n$ boules blanches, ${n-1}$ boules blanches et une noire, ${n-2}$ boules blanches et deux noires, …, $n$ boules noires ; toutes ces suppositions étant également possibles, la probabilité de chacune d’elles sera ${\tfrac {1}{n+1}}$ ; par conséquent, les probabilités partielles de l’extraction d’une boule blanche, dans ces diverses hypothèses, auront pour valeurs

$p_{1}={\tfrac {1}{n+1}}\,{.}\,{\tfrac {n}{n}}$,$p_{2}={\tfrac {1}{n+1}}\,{.}\,{\tfrac {n-1}{n}}$,$p_{3}={\tfrac {1}{n+1}}\,{.}\,{\tfrac {n-2}{n}}$, etc.

et la probabilité complète $\varpi$ de cet événement sera

$\varpi ={\tfrac {1}{n+1}}\left({\tfrac {n}{n}}+{\tfrac {n-1}{n}}+{\tfrac {n-2}{n}}+\ldots +{\tfrac {n-n}{n}}\right)$ ;

quantité qui se réduit à ${\tfrac {1}{2}}$, comme cela devait être, puisque nous n’avons aucune raison de croire à l’arrivée d’une boule blanche plutôt qu’à celle d’une boule noire.

Mais si nous savons que dans l’urne A, le nombre des boules blanches est certainement plus grand que celui des boules noires, la valeur de $\varpi$ surpassera ${\tfrac {1}{2}}$ ; et pour la déterminer, il faudra distinguer les deux cas de $n$ impair et de $n$ pair. Si l’on désigne par $i$ un nombre entier quelconque et qu’on ait ${n=2i+1}$, on ne pourra faire que ${i+1}$ hypothèses différentes et également possibles, savoir, ${2i+1}$ boules blanches, $2i$ boules blanches et une noire, …, ${i+1}$ boules blanches et $i$ boules noires ; et dans ce premier cas, la valeur complète de $\varpi$ sera

$\varpi ={\tfrac {1}{i+1}}\left({\tfrac {2i+1}{2i+1}}+{\tfrac {2i}{2i+1}}+{\tfrac {2i-1}{2i+1}}+\ldots +{\tfrac {i+1}{2i+1}}\right)$ ;