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obtient, en mettant successivement au lieu de $m$ et $n$ dans cette dernière formule, $\mu$ et zéro, ${\mu -1}$ et 1, ${\mu -2}$ et 2,… ${\mu -n}$ et $n$. En désignant cette probabilité par $\mathrm {P}$, nous aurons, de cette manière,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \,.{}c\,.{}c-1&\,.{}c-2\ldots c-\mu +1=a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +1\\&+\mu b\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +2\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1}{1\,.\,2}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +3\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2}{1\,.\,2\,.\,3}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +4\\&\;\,\vdots \\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2\ldots \mu -n+1}{1\,.\,2\,.\,3\,\ldots \,n}}{.}b{.}b{-}1\ldots b{-}n{+}1{.}a{.}a{-}1\ldots a{-}m{+}1.\end{aligned}}$

Dans le cas de ${m=0}$ et ${n=\mu }$, on devra avoir ${\mathrm {P} =1}$ ; on en conclut donc

${\begin{aligned}c\,.{}c-1&\,.{}c-2\ldots c-\mu +1=a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +1\\&+\mu \,.{}b\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +2\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1}{1\,.\,2}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +3\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2}{1\,.\,2\,.\,3}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +4\\&\;\,\vdots \\&+\mu \,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\ldots b-\mu +2\,.{}a\\&+b\,.{}b-1\,.{}b-2\ldots b-\mu +1\;;\end{aligned}}$

celle d’une boule noire ; et par conséquent, la probabilité d’amener une boule blanche, reste toujours égale à 1/2. On peut aussi remarquer que cette proposition s’accorde, dans le cas où les nombres $a$ et $b$ sont infinis, avec une autre qui sera démontrée dans la suite de cet ouvrage, et suivant laquelle il est certain que les nombres $m$ et $n$ seront entre eux comme $a$ et $b$ ; alors, on est donc assuré que les nombres $a'$ et $b'$, des boules restantes dans l’urne sont encore entre eux comme $a$ et $b$ ; en sorte que la chance et la probabilité de l’arrivée d’une nouvelle boule blanche, ne sont plus distinctes l’une de l’autre, et ont pour valeur le rapport ${\tfrac {a'}{c'}}$ égal à ${\tfrac {a}{c}}$.