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ce qui coïncide avec une formule connue et analogue à celle du binôme. Dans cette formule et dans toutes celles de ce genre, chaque quantité telle que ${a\,{.}\,a-1\,{.}\,a-2\ldots a-m+1}$ est un produit de $m$ facteurs pour lequel on doit prendre l’unité quand ${m=0}$ ; d’où il résulte que cette formule ne convient pas au cas de ${\mu =0}$ ; exception qui a lieu également pour la formule du binôme appliquée à la puissance zéro.

(19). Au lieu de faire $\mu$ tirages successifs sans remettre les boules sorties de A, il est évident que la probabilité d’amener $m$ boules blanches et $n$ boules noires serait encore la même, si l’on tirait en une seule fois ${m+n}$ ou $\mu$ boules de cette urne. C’est effectivement ce qu’on peut vérifier de la manière suivante.

Je désigne généralement par $\mathrm {G} _{\mu }$ le nombre de groupes composés chacun de $\mu$ boules, que l’on peut former avec les $c$ boules contenues dans A. On aura

$\mathrm {G} _{\mu }={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\ldots c-\mu +1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}$.

En effet, pour former tous ces groupes au moyen de ceux de ${\mu -1}$ boules, il faudra combiner chacun de ceux-ci avec les ${c-\mu +1}$ boules qu’il ne contient pas ; ce qui donnerait un nombre ${(c-\mu +1)\mathrm {G} _{\mu -1}}$ de groupes de $\mu$ boules ; mais comme il y a un nombre $\mu$ de groupes de ${\mu -1}$ boules qui donnent un même groupe de $\mu$ boules ; on devra diviser ce produit ${(c-\mu +1)\mathrm {G} _{\mu -1}}$ par $\mu$ pour avoir le nombre de groupes différents, composés de $\mu$ boules. On aura donc

$\mathrm {G} _{\mu }={\frac {c-\mu +1}{\mu }}\mathrm {G} _{\mu -1}$ ;

or, pour ${\mu =1}$, on a évidemment ${\mathrm {G} _{1}=c}$ ; si donc on fait successivement ${\mu =2,\,=3,\,=4}$, etc., il en résultera

${\begin{aligned}&\mathrm {G} _{2}={\frac {c-1}{2}}\,{.}\,\mathrm {G} _{1}={\frac {c\,{.}\,c-1}{1\,{.}\,2}},\\&\mathrm {G} _{3}={\frac {c-2}{3}}\,{.}\,\mathrm {G} _{2}={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}},\\&\mathrm {G} _{4}={\frac {c-3}{4}}\,{.}\,\mathrm {G} _{3}={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\,{.}\,c-3}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,4}},\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$

et enfin l’expression de $\mathrm {G} _{\mu }$ qu’il s’agissait de démontrer.