Étant professeur de philosophie, j’ai profité de ce que le programme comporte l’examen de « la méthode en mathématiques » pour consacrer une douzaine d’heures à l’histoire des mathématiques, présentée comme étant orientée vers une résolution de la contradiction fondamentale entre continu et discontinu (nombre). En voici une esquisse très sommaire.
La première étape est la mesure des longueurs. La seconde est le théorème attribué par la légende à Thalès concernant la similitude des triangles ; la combinaison de ce théorème avec celui de Pythagore qui en est la conséquence directe permet de ramener tous les rapports de lignes à des rapports de nombres. La découverte des incommensurables semble ruiner les fondements mêmes de cette géométrie. Eudoxe lui rend sa valeur, sur un plan supérieur, par sa théorie des proportions (équivalente à notre théorie du nombre généralisé) et sa méthode de l’exhaustion (première esquisse du calcul infinitésimal). En même temps Ménechme, qui découvre à la fois les coniques et leurs formules, fait entrevoir par là même la possibilité de définir les lignes courbes par une loi, en les rapportant à des droites. Archimède et Apollonius n’ont guère fait que développer ces inventions, dont on ne pouvait cependant apercevoir encore la portée générale, faute d’un instrument indispensable, à savoir l’algèbre. On trouve déjà dans Diophante comme une première esquisse de l’algèbre. Mais l’algèbre proprement dite date de la Renaissance. Descartes s’en est servi pour donner toute leur portée aux découvertes de Ménechme et d’Apollonius ; Leibniz, Newton, Lagrange (et ce dernier seul d’une manière vraiment intelligible) ont fait le même travail pour le calcul infinitésimal
