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Théorie des fonctions analytiques/Addition au Chapitre II de la première Partie

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Gauthier-Villars (Œuvres de Lagrange. Tome IXp. 412-413).


ADDITION
AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE, PAGE 33.


On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l’on désigne par la différence constante des valeurs successives de la variable les valeurs correspondantes de la variable regardée comme fonction de seront, par la formule précédente, en y faisant successivement

Si l’on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc., de ces valeurs, et qu’on les dénote par on aura

Supposons que la différence devienne infiniment petite.: les puissances deviendront infiniment petites, chacune par rapport à celle qui précède, et les séries qui expriment les valeurs des différences se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte qu’en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux, d’un ordre inférieur, on aura simplement

et par conséquent

On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les fonctions dérivées, et l’on peut en conclure que les expressions différentielles au lieu d’exprimer ce qu’elles paraissent représenter, ne sont à la rigueur que des symboles qui dénotent des fonctions différentes de la fonction primitive mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Voir, dans la nouvelle édition des Leçons sur le Calcul des fonctions, la Leçon XVIII, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l’infiniment petit[1].]


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  1. Œuvres de Lagrange, t. X.