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Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 14

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Gauthier-Villars (Œuvres de Lagrange. Tome IXp. 157-162).
Première partie


CHAPITRE XIV.

Des équations dérivées d’une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.

81. Lorsqu’une fonction n’est donnée que par une équation entre on considérera que, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de et il s’ensuit qu’elle aura lieu aussi en y mettant et à la place de et quelles que soient les quantités et de sorte que, en développant, après cette substitution, l’équation suivant les puissances et les produits de et il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produits de et forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que, dans le développement d’une fonction de et les termes multipliés par donnent la fonction prime selon ceux multipliés par donnent la fonction prime selon ceux multipliés par donnent la fonction seconde selon etc. Donc, ayant une équation quelconque entre et regardant comme une fonction de et donnée par cette équation, on pourra, en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ses termes, en déduire autant d’équations dérivées de différents ordres, qu’on appellera de même équations primes, secondes, etc. selon ou équations primo-primes, secundo-primes, etc., et en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Ces équations serviront à trouver les valeurs de

Si donc on représente par

l’équation proposée pour la détermination de et qu’on désigne simplement par les fonctions primes de prises relativement à considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d’une seule variable, que sera le terme affecté de et le terme affecté de dans le développement de après la substitution de et pour et étant regardé comme fonction de et

Ainsi, sera la fonction prime relative à et la fonction prime relative à de de sorte qu’on aura ces deux équations primes

d’où l’on tire

Ayant ainsi les valeurs de et on en déduira celles de en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à et et ainsi de suite.

82. On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable en regardant comme donné en et et comme une fonction indéterminée de Ainsi, en regardant d’abord et comme fonctions de la fonction prime de sera

mais, étant considéré comme fonction de et et comme fonction de la fonction prime de sera représentée par mettant cette valeur à la place de on aura

pour la fonction prime de

Donc, ayant l’équation

on aura l’équation prime

Mais, étant regardé comme une fonction indéterminée de l’équation précédente doit avoir lieu quelle que soit la fonction elle se décomposera donc en ces deux-ci,

comme plus haut.

On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées des ordres supérieurs.

83. Cela posé, considérons en général l’équation

elle donne les deux équations primes

qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi et pourra, par conséquent, tenir lieu de l’équation primitive.

Soient et deux constantes quelconques contenues dans la fonction ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées ainsi l’on pourra, au moyen des trois équations dont il s’agit, éliminer ces deux constantes, et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre et qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si l’on n’a pour la détermination de en et qu’une équation du premier ordre entre et l’équation primitive entre et devra contenir deux constantes arbitraires.

Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions d’une seule variable (no 46) ; mais nous avons vu aussi (no 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l’équation primitive peut n’être pas constante et donner cependant, par l’élimination, la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici ; et il est aisé de concevoir qu’on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires et quoiqu’elles ne soient pas constantes, pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.

Désignons simplement par et les fonctions primes de prises relativement aux quantités et contenues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir, par les principes établis, que, si et sont regardés comme des fonctions de et la fonction prime de relative à devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables et de la quantité et que la fonction prime relative à devra être augmentée pareillement de

Supposons on aura, en prenant les fonctions primes relativement à et

donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront

par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant telle qu’elle satisfasse à l’équation

la fonction de qu’on a prise pour demeurant absolument arbitraire.

De là résultent donc ces conclusions importantes :

1o Que l’équation primitive qui satisfait, en général, à une équation du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire ;

2o Que, si pour une équation donnée du premier ordre on trouve une équation primitive

qui renferme deux constantes arbitraires et il n’y aura qu’à faire et prendre de manière qu’elle satisfasse à l’équation

la fonction désignée par sera la fonction arbitraire ;

3o Qu’ayant une équation quelconque entre qui renferme une fonction donnée, on en peut déduire une équation du premier ordre où cette fonction ne se trouve plus. En effet, si est la fonction qu’on veut faire disparaître, étant une fonction donnée de il n’y aura qu’à prendre les deux équations primes suivant et suivant de l’équation proposée ; on aura trois équations qui renfermeront et en désignant par la fonction prime de prise relativement à d’où, éliminant ces deux fonctions, il résultera une équation du premier ordre où la fonction ne se trouvera plus.

84. Soit, par exemple,

une équation donnée ; les deux équations primes seront

éliminant et de ces trois équations, on aura l’équation du premier ordre

dont

sera l’équation primitive, et étant les constantes arbitraires.

Maintenant, en supposant

on aura

Donc, faisant l’équation pour déterminer sera

d’où l’on tire

ce qui donne

désignant la fonction inverse de Ainsi, la fonction étant indéterminée, la fonction le sera aussi ; donc et seront deux fonctions indéterminées de ou plutôt dépendantes d’une même fonction indéterminée de et sera, par conséquent, une fonction indéterminée de Désignant donc cette fonction simplement par l’équation primitive deviendra

Si l’on prend les deux équations primes de celle-ci, on aura

Éliminant de ces trois équations les deux inconnues et on aura, comme plus haut,

pour l’équation dérivée du premier ordre, délivrée de la fonction


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