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Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 16

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Gauthier-Villars (Œuvres de Lagrange. Tome IXp. 170-182).
Première partie


CHAPITRE XVI.

Méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.

88. Nous avons vu comment on peut faire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes ; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (no 82).

Considérons en général l’équation

dans laquelle soit égale à les deux fonctions désignées par les caractéristiques et étant données, et la fonction marquée par la caractéristique étant arbitraire ; on peut supposer une fonction de telle que la fonction prime de soit nulle ; alors pourra être traitée comme constante dans la fonction pourvu qu’on détermine par la condition que la fonction prime de soit nulle.

Désignons simplement par et de même par les fonctions primes de et de prises relativement à isolées et regardées comme indépendantes on aura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes

dont la première contiendra et dont la seconde ne contiendra point celle-ci servira à éliminer l’inconnue la première, jointe à son équation primitive, servira à éliminer l’inconnue

Cette méthode a l’avantage de pouvoir s’appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction

En effet, si l’on avait l’équation

on trouverait d’abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction mais qui contiendrait encore la fonction ensuite, appliquant à cette équation le même procédé et éliminant de nouveau la fonction qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra et d’où l’on éliminera cette fonction par le moyen de l’équation du premier ordre ; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantité

Mais, si l’équation proposée contenait les fonctions et et étant des fonctions différentes de on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions et et de leurs dérivées ; il faudrait alors passer à des équations d’un ordre supérieur.

89. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l’élimination d’une fonction arbitraire et supposons, pour plus de simplicité, ce qui est toujours possible, que l’équation primitive soit de la forme

étant

on aura alors les deux équations primes

qui seront délivrées de et il ne s’agira plus que d’éliminer

Le résultat de cette élimination est

d’où résulte cette équation du premier ordre

qui ne contient que avec les fonctions primes et

Cette équation pourra donc être mise sous cette forme

en faisant

d’où l’on peut conclure :

1o Que toutes les équations du premier ordre entre et qui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre et étant une fonction de

2o Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée étant égal à

Car les valeurs des coefficients et étant données en fonction de on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques et et la fonction marquée pour demeurera arbitraire.

Ce problème étant l’un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.

90. Regardons, ce qui est permis, et comme des fonctions de dont les fonctions primes soient et et considérons les deux quantités et ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de et de

Si l’on ajoute, et qu’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité et du numérateur de la seconde la quantité et qu’on fasse attention que est la fonction prime de que nous dénoterons simplement par que de même est la fonction prime de que nous dénoterons pareillement par on aura

Donc, si l’on fait les deux équations

ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,

dont les équations primitives sont évidemment

et étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires et

Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations

et sont des fonctions données de on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles

puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires et elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes et ne pourront qu’être fonctions des constantes et Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes et en et que ces valeurs soient et en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme il s’ensuit que les fonctions et ne pourront être aussi que des fonctions de et

Donc, puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre est dérivée, est de la forme

cette équation primitive deviendra

la fonction marquée par demeurant arbitraire d’où il résulte que sera une fonction quelconque de de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre

pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,

la fonction marquée par la caractéristique étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.

91. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si est une fonction de trois variables déterminée par l’équation

et étant des fonctions données de et étant une

fonction quelconque de on trouvera, par une analyse semblable à celle du no 89, et regardant et comme des fonctions de dont on déterminera les fonctions primes et par la supposition que et demeurent constantes, on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction de la forme suivante,

étant des fonctions données de et étant les fonctions primes de relativement à et de sorte que toute équation entre et les fonctions primes de qui ne serait pas de cette forme ne pourra pas être dérivée d’une équation primitive de la forme ci-dessus.

Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera aussi, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, que, si l’on regarde comme des fonctions de déterminées par ces trois équations du premier ordre,

et qu’on en cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l’on ait

étant des fonctions données de on aura sur-lechamp

pour l’équation primitive de l’équation proposée, dans laquelle sera une fonction arbitraire de et

Cette méthode est présentée d’une manière plus simple et plus directe dans la Leçon XX du Calcul des fonctions[1], à laquelle nous nous contentons de renvoyer.

92. Mais, si l’on avait, pour la détermination de en fonction de et une équation quelconque du premier ordre entre et non réductible à la forme du no 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de l’équation proposée, la ramener à la forme du no 91 en y introduisant une variable de plus.

Soit donc proposée l’équation

la fonction indiquée par la caractéristique étant donnée ; je suppose et, comme est fonction de il est clair que sera aussi fonction de donc, prenant les fonctions primes relativement à seul, on aura Maintenant, l’équation proposée deviendra

prenant les fonctions primes relativement à seul, et observant que et sont fonctions de on aura

où les quantités dénotent les fonctions primes de prises relativement aux variables isolées ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ; donc, substituant et pour et on aura l’équation

dans laquelle les quantités seront des fonctions données de et

Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente si était une fonction des variables regardées comme indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder comme telles et de regarder en même temps comme une simple fonction de , pourvu qu’on exprime, d’une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes et qui se rapportent aux seules variables et

Qu’on dénote par et les fonctions primes de relativement à il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque est essentiellement une fonction de et dont et sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de relativement à sera et que la valeur complète de la fonction prime de relativement à sera ces valeurs sont celles qui, dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par et mais on a supposé et, par l’équation proposée, on a donc les valeurs à substituer à et seront et Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en et ordonnant les termes suivant les quantités et on aura

équation qui, étant comparée à la formule générale du no 91, donne

de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer en fonction de seront

Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduites ; mais il suffira d’en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.

93. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires et soient les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura

pour la forme générale de l’équation primitive en (no 91).

Cette équation, où la caractéristique désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en dans laquelle est regardée comme fonction de mais a été supposée égale à et doit être, d’après l’équation proposée, une fonction de et donc l’équation

est trop générale, et il faudra encore chercher les limitations qu’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités et pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.

Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante, de sorte que c’est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec une constante arbitraire, donnera une valeur de qui satisfera à l’équation en

Maintenant, en remettant pour dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre et dans laquelle devra être regardée comme fonction de et mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime relative à on pourra regarder comme constante et comme une simple fonction de on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions d’une seule variable, et, puisque est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de que nous nommerons

On aura ainsi une valeur de en et avec les deux quantités et qui satisfera à l’équation proposée. La constante demeurera arbitraire mais la fonction devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, il n’y aura qu’à y substituer l’expression de dont il s’agit ; tous les termes qui renfermeront se détruiront, et il ne restera que des termes qui contiendront et de sorte que l’on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les variables et dont l’équation primitive donnera la valeur de en avec une nouvelle constante arbitraire

De cette manière, on aura enfin une valeur de en et avec deux constantes arbitraires et qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière ; mais on pourra, par la méthode du no 83, trouver la valeur générale de qui contiendra une fonction arbitraire.

En effet, si

est l’équation trouvée pour la détermination de on fera et l’on égalera à zéro la fonction prime de prise relativement à la quantité regardée comme seule variable ; on aura une équation qui servira à déterminer et l’équation

sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique demeurant arbitraire.

J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre à l’analyse des fonctions d’une seule variable.

94. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l’équation proposée soit de cette forme

et étant des constantes, et une fonction quelconque donnée de et de En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura

donc

et de là, en prenant les fonctions primes relativement à et

de sorte que, en faisant ces substitutions dans les trois équations du premier ordre entre la première d’entre elles deviendra

laquelle ne contenant que la variable qu’on suppose fonction de aura une équation primitive indépendamment des deux autres. En effet, si l’on multiplie cette équation par étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, son premier membre deviendra la fonction prime de

comme il est aisé de s’en assurer en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du Chapitre III.

Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux fonctions primitives,

étant une constante arbitraire. Cette équation donnera donc

et, substituant pour sa valeur on aura l’équation prime

dans laquelle, étant la fonction prime de relativement à seul, on pourra regarder comme constante et comme fonction de Ainsi, comme le second membre ne contient ni ni sa fonction primitive dans cette supposition sera simplement

donc, passant des fonctions primes relatives à seul aux fonctions primitives, on aura l’équation primitive

étant une fonction quelconque de qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à est nulle.

De cette expression de on tirera celles des deux fonctions primes et relatives à et et l’on aura

ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée, elle deviendra

laquelle se réduit à

où l’on voit que les ont disparu, de manière qu’on pourra déterminer en fonction de seul.

Qu’on multiplie cette équation par et qu’on suppose

elle deviendra

et, passant aux fonctions primitives, on aura

étant une constante arbitraire. De là on tire

donc, substituant cette valeur dans l’expression de trouvée ci-dessus, on aura

Cette valeur de n’est que particulière ; mais, comme elle contient les deux constantes arbitraires et elle donnera la valeur générale si l’on fait et que l’on détermine par l’équation

en désignant par la fonction prime de prise relativement à

Si le calcul devient plus simple, et l’on trouvera, en faisant les deux équations

d’où il faudra éliminer

95. Cette dernière méthode est néanmoins sujette à quelques difficultés que nous avons résolues complétement dans la même Leçon XX déjà citée, où cette matière est envisagée d’une manière plus générale que nous ne l’avons fait ici.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce qui regarde les fonctions de plusieurs variables. Ceux qui connaissent le Calcul qu’on appelle aux différences partielles pourront aisément le rapprocher de l’analyse de ces fonctions et donner par là à cette analyse les développements qu’on y pourrait encore désirer.

Notre objet, dans cette première Partie, n’a été que d’établir la théorie des fonctions et des équations dérivées d’une manière purement analytique et indépendante de toute supposition ou considération étrangère.


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  1. Œuvres de Lagrange, t. X.