Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 01
NOTES
SUR
LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
NOTE I.
SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME I.
Les deux théorèmes du Chapitre I sont la base de toute la théorie des équations et doivent être démontrés d’une manière rigoureuse, et sans rien emprunter de cette même théorie. La démonstration que j’ai donnée du premier théorème (no 1) est tirée de la considération des facteurs de l’équation, et pourrait laisser des doutes relativement aux facteurs imaginaires. Il est vrai qu’en supposant connu le théorème sur la forme des racines imaginaires, on est sûr que le produit de deux facteurs imaginaires correspondants est toujours une quantité essentiellement positive, quelque valeur qu’on donne à d’où il suit que la différence des signes dans les résultats des substitutions de et à la place de ne peut venir que des racines réelles. Mais on doit observer que la démonstration rigoureuse de ce théorème dépend elle-même du théorème qu’il s’agit de démontrer, de sorte qu’on ne peut l’employer dans la démonstration de celui-ci. Pour éviter toute difficulté, j’ai cherché à démontrer ce théorème par la nature même de l’équation, indépendamment d’aucune de ses propriétés.
Représentons, en général, l’équation proposée par
étant la somme de tous les termes qui ont le signe et la somme de tous ceux qui ont le signe Supposons d’abord que les deux nombres et soient positifs et que soit plus grand que si, en faisant on a et, en faisant on a il est clair que dans le premier cas sera et que dans le second sera Or, par la forme des quantités et qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives, il est évident que ces quantités augmentent nécessairement à mesure que augmente et que, en faisant augmenter par tous les degrés insensibles depuis jusqu’à elles augmenteront aussi par des degrés insensibles, mais de manière que augmentera plus que puisque de plus petite qu’elle était elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs et où égalera comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même ligne dans le même sens, et qui, partant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l’autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de qui rendra égal à sera donc une des racines de l’équation et tombera entre les valeurs et De même, si, en faisant on avait et, en faisant on avait on aurait dans le premier cas et dansle second et, en faisant augmenter depuis jusqu’à la quantité augmentera plus que la quantité et l’égalera dans un point entre et
Si les deux nombres et étaient négatifs ou un des deux seulement, alors, prenant un nombre positif tel que et soient des nombres positifs, il n’y aurait qu’à transformer l’équation par la substitution de à la place de on aurait ainsi une transformée en dans laquelle les substitutions de et de à la place de l’inconnue donneraient par l’hypothèse des résultats de signes contraires, puisque ces résultats sont les mêmes que ceux qui viendraient des substitutions de et de à la place de dans la proposée. Or, les nombres et étant supposés positifs, on pourra reprendre le raisonnement précédent, et l’on prouvera que l’équation en aura nécessairement une racine comprise entre les nombres et par conséquent, à cause de l’équation en aura aussi une racine entre et
