NOTE II.
SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME II.
La démonstration de ce théorème (no 5) suppose ces deux propositions, que toute équation peut se décomposer en autant de facteurs simples réels qu’elle a de racines réelles, et que le facteur restant, si le nombre de ces racines est moindre que l’exposant du degré de l’équation, est tel qu’il ne peut jamais devenir négatif, quelque valeur qu’on donne à l’inconnue. La première proposition a été longtemps admise par les analystes comme un résultat de la formation des équations, et d’Alembert est, je crois, le premier qui ait fait sentir la nécessité de la démontrer rigoureusement. À l’égard de la seconde, on pourrait la regarder comme une conséquence de la première mais, pour ne rien laisser à désirer sur la rigueur, il est bon de la démontrer aussi en particulier.
Représentons, en général, par 
un polynôme quelconque en 
du degré 
tel que
Si l’on change en 
il deviendra 
et il est facile de voir que la différence 
de ces deux polynômes semblables sera divisible par 
car chaque terme du polynôme 
comme 
donnera dans la différence les termes 
or on a, en général, tant que 
est un nombre entier positif,
donc, réunissant tous les quotients et les ordonnant suivant les puissances de
on aura
étant un polynôme en du degré inférieur 
Ainsi on aura, quelle que soit la quantité
De la même manière, en prenant une autre quantité quelconque 
on pourra réduire le polynôme à cette forme,
étant un autre polynôme du degré inférieur 
et ainsi de suite.
Maintenantje remarque que, si l’on a l’équation 
et que 
soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une valeur de qui y satisfasse, on aura aussi 
donc le polynôme sera alors réductible à la forme
et par conséquent divisible exactement par 
Si, outre la quantité il y a une autre quantité 
qui satisfasse à la même équation il faudra que cette quantité, étant prise pour fasse évanouir l’autre facteur et soit, par conséquent, telle que l’on ait 
Donc le polynôme sera réductible à la forme 
et, par conséquent, on aura
de sorte que le premier polynôme sera exactement divisible par 
et par 
et ainsi de suite.
Si donc l’équation 
=0 n’a qu’un nombre moindre que 
de racines réelles 
on aura d’abord
et le polynôme
ne sera plus résoluble en facteurs simples réels. Donc, quelque valeur qu’on donne à
ce polynôme ne pourra jamais avoir une valeur négative ; car, s’il y avait une valeur de
qui pût le rendre négatif, comme d’un autre côté on peut toujours prendre
assez grand pour que le premier terme surpasse la somme de tous les autres, il s’ensuivrait, qu’il y aurait deux valeurs qui, étant substituées pour
donneraient des résultats de signe différent, et que, par conséquent, par le théorème I, il y aurait une valeur intermédiaire
qui pourrait rendre
et qui serait ainsi une racine réelle de cette équation ; donc on aurait alors
et le polynôme aurait encore le facteur réel 
ce qui est contre l’hypothèse. Ce polynôme sera donc nécessairement d’un degré pair, et son dernier terme sera toujours positif (no 3) ; et le polynôme aura, par conséquent, son dernier terme positif ou négatif, suivant que le nombre des racines positives 
sera pair ou impair.
Non-seulement le polynôme aura toujours une valeur positive lorsque l’équation 
n’a aucune racine réelle, mais encore quand elle aura des racines réelles doubles ou quadruples, et en général multiples, suivant un nombre pair ; car alors le polynôme aura des facteurs de la forme 
étant un nombre pair, et il est visible que cette quantité est toujours positive, quelque valeur réelle qu’on donne à 
D’où il s’ensuit que le théorème II a encore lieu pour les racines égales, triples, quintuples, etc. Mais, comme on a des méthodes particulières pour les racines égales, il suffit de considérer les racines inégales et d’avoir une méthode pour les trouver.
Au reste, l’esprit du calcul algébrique, qui est indépendant des valeurs particulières qu’on peut donner aux quantités, fait qu’on peut regarder tout polynôme comme formé du produit d’autant de facteurs simples 
qu’il y a d’unités dans l’exposant du degré de ce polynôme, quelles que puissent être d’ailleurs les quantités ce qui donne cette équation identique
laquelle doit toujours avoir lieu indépendamment de la valeur de .
C’est uniquement dans cette transformation des polynômes que consiste la théorie des équations. On a trouvé différentes relations entre les quantités 
des facteurs et les coefficients 
du polynôme, et ce sont ces relations qui constituent les propriétés générales des équations (voir la Note X).
Les facteurs qu’on suppose aux polynômes qui ne peuvent jamais acquérir une valeur négative sont appelés imaginaires', et les quantités de ces facteurs sont les racines imaginaires des équations formées en égalant ces polynômes à zéro ; d’où l’on voit que le nombre de ces racines est toujours nécessairement pair, et que leur produit, qui se trouve égal au dernier terme du polynôme, est toujours positif.
