Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur différentes questions d’Analyse relatives à la Théorie des intégrales particulières

Joseph-Louis Lagrange

Sur différentes questions d’Analyse relatives à la Théorie des intégrales particulières

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 585-634).

SUR
DIFFÉRENTES QUESTIONS D’ANALYSE
RELATIVES À LA
THÉORIE DES INTÉGRALES PARTICULIÈRES.

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1779.)

La Théorie des intégrales particulières est une branche aussi importante que féconde du Calcul intégral ; et je crois être le premier qui ait donné les vrais principes de cette Théorie. On entend par intégrales particulières ces intégrales qui satisfont à des équations différentielles sans être pour cela des cas particuliers de leurs intégrales complètes, et qui échappent par conséquent aux règles générales du Calcul intégral. De très-grands Géomètres avaient depuis longtemps remarqué cette singularité et cette espèce de défaut de l’Analyse ordinaire, et avaient cherché des moyens d’y suppléer ; on était même déjà parvenu à trouver des règles plus ou moins générales, non-seulement pour reconnaître à priori si une intégrale donnée d’une équation différentielle en est une intégrale particulière, ou seulement un cas de son intégrale complète, mais aussi pour découvrir toutes les intégrales particulières dont une équation différentielle est susceptible ; mais personne, que je sache, n’avait encore expliqué la nature et l’origine de ces sortes d’intégrales, ni fait voir que, loin de former une exception à la Théorie générale du Calcul intégrale, elles sont une conséquence immédiate et naturelle des premiers principes de ce Calcul. C’est ce que je crois avoir démontré et développé avec tout le détail nécessaire dans mon Ouvrage sur les intégrales particulières, imprimé parmi les Mémoires de l’année 1774^[1].

Je vais maintenant appliquer la Théorie des intégrales particulières à la solution de différentes questions d’Analyse qui n’avaient pas encore été traitées, ou du moins qui ne l’avaient pas été sous le point de vue sous lequel on les considère dans ce Mémoire. Cette application donnera en même temps le dénoûment de quelques paradoxes qui se présentent naturellement dans la solution de ces mêmes questions, et servira de plus en plus à montrer l’utilité et la nécessité de la Théorie dont il s’agit dans le Calcul intégral.

Article I^er. — Sur les développées.

1. On sait que la développée d’une courbe est le lieu des centres de tous les cercles osculateurs de cette courbe ; on sait aussi que le cercle osculateur est celui qui coupe la courbe proposée dans trois points intiniment proches. Or soient $x$ l’abscisse, $y$ l’ordonnée rectangle, et $p,q,r$ des constantes ; on a pour l’équation générale au cercle

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

dans laquelle $r$ est le rayon, et $p,q$ sont l’abscisse et l’ordonnée qui déterminent la position du centre.

Soit maintenant une courbe quelconque rapportée aux mêmes coordonnées $x,y,$ et qui ait pour cercle osculateur celui dont nous venons de donner l’équation ; comme ce cercle doit couper la courbe dont il s’agit dans trois points infiniment prochès, il faudra que non-seulement l’équation

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

mais encore que les différences premières et secondes de cette équation aient lieu par rapport à la même courbe, c’est-à-dire en supposant que les valeurs de $x,y$ et de leurs différences soient les mêmes pour le cercle et pour la courbe. Alors $r$ deviendra le rayon du cercle osculateur de la courbe proposée au point qui répond aux coordonnées $x,y\,;$ et $p,q$ seront les coordonnées qui déterminent le lieu du centre de cercle ; ce seront par conséquent les coordonnées de la développée de la même courbe.

On aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},\\&x-p+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0,\\&1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+(y-q){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles on déterminera $p,q,r$ en $x,y,$ et ses différences ; et l’on trouvera successivement

$q=y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},\ \ p=x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}},\ \ r={\frac {\left[1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}.$

Ces valeurs sont les mêmes que celles que l’on trouve par d’autres voies ; mais la méthode précédente est plus appropriée au but de ces recherches.

2. On voit par les expressions précédentes de $p$ et $q$ que le Problème de trouver la développée d’une courbe se résout par le seul Calcul différentiel, et demande une double différentiation de l’équation de la courbe proposée ; d’où il s’ensuit que lorsque cette courbe est algébrique, sa développée ne saurait manquer de l’être aussi ; c’est ce qui est connu depuis longtemps.

Réciproquement donc il paraît naturel d’en conclure que lorsque la développée est donnée et qu’on demande la courbe qui résulterait de son développement, c’est-à-dire dont elle serait la développée, le Problème doit dépendre du Calcul intégral et exiger une double intégration. En effet, la méthode la plus naturelle de résoudre ce dernier Problème est de substituer dans l’équation de la développée entrp $p$ et $q$ les valeurs précédentes de ces quantités ; ce qui donnera, si l’équation entre $p$ et q est algébrique, une équation différentielle du second ordre entre $x$ et $y,$ et qui sera celle de la courbe cherchée ; en sorte qu’il faudra une double intégration pour avoir l’équation finie de cette courbe. Mais voici une difficulté à laquelle il ne me paraît pas que personne ait encore pensé.

3. Comme chaque intégration peut introduire une constante arbitraire, il s’ensuit que l’équation finie entre $x$ et $y$ doit renfermer deux constantes arbitraires ; cependant il est facile de voir par la Théorie des développées que la courbe engendrée par le développementd’une courbe donnée ne peut renfermer qu’une seule constante arbitraire, laquelle dépend du point où le développement commence. Car il est visible qu’on ne peut faire passer la développante (ou courbe formée par le développement de celle qu’on nomme la développée) que par un seul point arbitraire. En effet, un point étant donné par lequel la développante doive passer, on tirera par ce point une tangente à la développée, et, regardant cette tangente comme une partie de la courbe déjà développée, on continuera le développement suivant la loi connue ; moyennant quoi la développante sera entièrement déterminée.

Il s’ensuit de ce raisonnement que lorsque l’équation de la développée est algébrique, celle de la développante doit être différentielle du premier ordre seulement, au lieu que la méthode précédente la donne du second ordre. C’est aussi ce que l’on trouve directement en considérant le Problème sous un autre point de vue que voici.

4. Comme les quantités $p,q,r$ sont variables d’un point à l’autre de la développée, on peut aussi les considérer comme telles dans les équations du n^o 1. Or la seconde et la troisième de ces équations n’étant que les différentielles respectives de la première et de la seconde, en n’y regardant que $x$ et $y$ comme variables, il est visible que la supposition de la variabilité de $p,q,r$ donnera ces deux autres équations différentielles

${\begin{aligned}&-(x-p)dp-(y-q)dq=rdr,\\&-dp-{\frac {dy}{dx}}dq=0,\end{aligned}}$

lesquelles devront avoir lieu en même temps que celles du numéro cité.

5. On aura donc de cette manière ces quatre équation

${\begin{aligned}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},\\&x-p+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0,\\&(x-p)dp+(y-q)dq+rdr=0,\\&dp+{\frac {dy}{dx}}dq=0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles, en éliminant $x,y,{\frac {dy}{dx}},$ on aura une équation différentielle du premier ordre entre $p,q,r\,;$ ensuite on aura $x,y$ exprimées algébriquement en $p,q,r$ et leurs différences premières. Ainsi, $q$ étant donnée en $p$ par l’équation de la développée, il ne faudra qu’une seule intégration pour trouver $r$ et de là $x$ et $y.$

À l’égard de la troisième équation du n^o 1, elle devient inutile puisqu’elle est renfermée dans la seconde et dans la quatrième des précédentes en effet, en différentiant la seconde et en effaçant, en vertu de la quatrième, les termes qui contiendront $dp$ et $dq,$ on aura l’équation dont il s’agit.

6. Éliminant d’abord la quantité ${\frac {dy}{dx}}$ de la seconde et de la quatrième des équations précédentes, on aura celle-ci

$(y-q)dp-(x-p)dq=0,$

laquelle étant combinée avec la troisième servira à déterminer $x$ et $y,$

de manière que l’on aura

$x=p-{\frac {rdrdp}{dp^{2}+dq^{2}}},\quad y=q-{\frac {rdrdq}{dp^{2}+dq^{2}}}.$

Substituant maintenant ces valeurs dans la première équation, on aura

${\frac {r^{2}dr^{2}\left(dp^{2}+dq^{2}\right)}{\left(dp^{2}+dq^{2}\right)^{2}}}=r^{2},$

savoir

$dr^{2}=dp^{2}+dq^{2},$

et, tirant la racine carrée,

$dr=\pm {\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}.$

Cette dernière formule fait voir que le rayon osculateur $r$ varie par des différences égales à celles de l’arc de la développée dont l’élément est ${\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}.$ Désignant donc cet élément par $ds,$ on aura

$dr=\pm ds,$

et, intégrant,

$r=k\pm s,$

$k$ étant une constante arbitraire qui dépend du point où est supposé commencer le développement. Cela s’accorde avec la Théorie connue des développées, et l’on voit en même temps que le signe supérieur répond au cas où le fil qui par son extrémité décrit la développante se développe en effet de la courbe qu’on nomme la développée, et que le signe inférieur répond au cas contraire dans lequel le fil est supposé s’envelopper à la même courbe.

7. L’analyse précédente donne, comme on voit, les mêmes résultats qui se déduisent de la considération synthétique du développement des courbes ; mais ne pourrait-on pas y parvenir aussi par la première méthode, qui est d’ailleurs la plus directe et la plus naturelle ? Voici comment.

L’équation de la développée étant donnée entre ses coordonnées rectangles $p$ et $q,$ on aura $q$ égale à une fonction donnée de $p,$ que je dénoterai, en général, par $f(p)\,;$ donc, puisque

$q=f(p),$

on aura, en différentiant,

$dq=f'(p)dp.$

Or je remarque que les valeurs de $p$ et $q$ du n^o 1 sont telles, que

$dp+{\frac {dy}{dx}}dq=0,$

comme on le voit par la quatrième équation du n^o 5 ; et l’on peut aussi s’en assurer directement par la différentiation actuelle de ces valeurs ; car on aura

$dq=dy+d{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},\quad dp=-{\frac {dy^{2}}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}d{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}\,;$

donc

$dqdy+dpdx=0.$

Donc, substituant dans l’équation différentielle

$dq=f'(p)dp$

à la place de $dq$ sa valeur $-{\frac {dpdx}{dy}},$ on aura

$\left[{\frac {dx}{dy}}+f'(p)\right]dp=0,$

équation qui se décompose d’elle-même en ces deux-ci

$dp=0,\quad {\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0.$

8. Considérons ces deux équations séparément ; et d’abord l’équation

$dp=0$

étant intégrée donnera

$p=$ une constante arbitraire ;

ainsi $q=f(p)$ sera aussi une constante. Or, chassant des expressions de $p$ et $q$ du n^o 1 la quantité ${\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},$ on a

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0\,;$

donc, multipliant par $dx$ et intégrant, on aura

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$r$ étant une nouvelle constante arbitraire.

C’est, comme on voit, la même équation d’où nous somines partis d’abord (1) ; en sorte que cette solution ne donne autre chose qu’un cercle quelconque ayant le centre placé sur la circonférence de la courbe donnée. Il est clair en effet que le cercle résout la question, considérée sous le point de vue où nous l’avons d’abord envisagée ; et il est visible aussi que l’on peut faire passer le cercle dont il s’agit par deux points arbitraires ; car en joignant ces deux points par une droite et élevant sur le point du milieu de cette droite une perpendiculaire, il suffira que le centre du cercle soit dans le point où cette perpendiculaire coupera la développée donnée. D’où l’on doit conclure que cette solution a toute la généralité que la question peut comporter (2).

9. Venons maintenant à l’autre équation

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0\,;$

cette équation étant combinée avec l’équation

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0.$

laquelle résulte de l’élimination de la seconde différence $d^{2}y$ des expressions de $p$ et $q,$ donnera, à cause de $q=f(p),$ celle-ci

$(x-p)f'(p)=y-f(p)\,;$

d’où, éliminant $p$ au moyen de l’équation

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0,$

on aura une équation du premier ordre entre $x$ et $y,$ et qui étant intégrée ne contiendra par conséquent qu’une constante arbitraire.

Au lieu d’éliminer $p,$ il sera plus simple d’éliminer $y\,;$ pour cela il n’y aura qu’à différentier l’équation

$y=f(p)+(x-p)f'(p),$

ce qui donnera

$dy=dxf'(p)+(x-p)f''(p)dp,$

et, substituant pour $dy$ sa valeur $-{\frac {dx}{f'(p)}},$ il viendra l’équation

$\left[1+f'^{2}(p)\right]dx=-(x-p)f'(p)f''(p)dp,$

dont l’intégration est facile par les méthodes connues. Cette solution revient à celle que l’on a déjà trouvée (5).

Pour s’en convaincre on n’a qu’à supposer, ce qui est permis,

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$r$ étant ici une variable indéterminée, et combiner cette équation avec les deux équations

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0,$

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dx}{dy}}+{\frac {dq}{dp}}=0\,;$

car, en différentiant l’équation dont il s’agit, on aura, à cause de

$(x-p)dx+(y-q)dy=0,$

celle-ci

$-(x-p)dp-(y-q)dq=rdr.$

En sorte qu’on aura les mêmes quatre équations du n^o 5, et par conséquent aussi les mêmes résultats.

10. Quoique la méthode que nous venons d’exposer ne laisse rien à désirer relativement à la solution du Problème proposé, il faut avouer néanmoins que cette méthode, considérée analytiquement et indépendamment de toute considération géométrique, n’est pas aussi directe qu’on pourrait le désirer ; car elle demande qu’on commence par différentier l’équation qu’il s’agit d’intégrer, ce qui est peu naturel et peu conforme à la marche ordinaire du Calcul intégral. En effet, supposons qu’il soit proposé d’intégrer l’équation du second ordre

$y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}=\varphi \left[x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}\right],$

qui n’est autre chose, comme on voit, que l’équation de la développée

$q=\varphi (p),$

sans qu’on sache comment on est parvenu à cette équation, il ne serait pas facile de prévoir que l’intégration d’une telle équation peut être facilitée beaucoup par une différentiation préliminaire. Voyons donc comment on pourrait parvenir au but en ne faisant usage que des artifices ordinaires du Calcul intégral. Un des artifices les plus ordinaires de ce Calcul est celui des substitutions, et il est clair que la substitution qui paraît la plus naturelle dans l’équation proposée est celle de supposer la quantité affectée du signe $\varphi ,$ lequel dénote une fonction arbitraire égale à une nouvelle variable $p,$ ce qui donnera ces deux équations

$x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}=p,\quad y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}=\varphi (p),$

au moyen desquelles on pourra éliminer par exemple la variable $y,$ et

obtenir une équation entre $x$ et $p$ qui aura l’avantage que le signe $\varphi$ n’affectera plus que la seule variable finie $p.$

11. Faisons, pour plus de simplicité,

${\frac {dy}{dx}}=z\,;$

les deux équations précédentes deviendront

$x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}}=p,\quad y+{\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}}=\varphi (p)\,;$

la première donne

${\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}}={\frac {x-p}{z}}\,;$

ce qui étant substitué dans la seconde donne celle-ci

$y+{\frac {x-p}{z}}=\varphi (p)\,;$

laquelle étant différentiée, pour en chasser la variable finie $y,$ donne

$zdx+{\frac {x-p}{z^{2}}}dz+{\frac {dx-dp}{z}}=\varphi '(p)dp\,;$

équation d’où l’on chassera $z$ au moyen de la précédente

${\frac {x-p}{z}}={\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}}.$

Substituons-y d’abord la valeur de $dz$ tirée de cette dernière, savoir

$dz={\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{x-p}},$

elle deviendra

$zdx-{\frac {1+z^{2}}{z}}dx+{\frac {dx-dp}{z}}=\varphi '(p)dp,$

savoir

$-{\frac {dp}{z}}=\varphi '(p)dp\,;$

laquelle donne immédiatement

${\text{ou}}\quad dp=0,\quad {\text{ou}}\quad -{\frac {1}{z}}=\varphi '(p).$

L’équation

$dp=0$

donne

$p=$ une constante arbitraire,

et $z$ restera indéterminée. On reprendra donc dans ce cas l’équation

$y+{\frac {x-p}{z}}=\varphi (p),$

et l’on y substituera pour $z$ sa valeur primitive ${\frac {dy}{dx}}\,;$ on aura une équation entre $x$ et $y$ dont l’intégrale sera

$(x-p)^{2}+[y-\varphi (p)]^{2}=r^{2}.$

C’est la même équation au cercle trouvée (8).

L’autre équation

$-{\frac {1}{z}}=\varphi '(p)$

donne

$z=-{\frac {1}{\varphi '(p)}},$

moyennant quoi on chassera $z$ de l’équation

$dz={\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{x-p}},$

et l’on aura une équation du premier ordre entre $x$ et $p.$ Au lieu de chasser $z,$ il est plus simple de chasser $p\,;$ car, ayant

$\varphi '(p)=-{\frac {1}{z}},$

on aura $p$ égal à une fonction donnée de $z$ que nous dénoterons par $\mathrm {Z} \,;$

alors on aura cette équation entre $z$ et $x$

$dx={\frac {x-\mathrm {Z} }{\left(1+z^{2}\right)z}}dz,$

laquelle est intégrable par les méthodes connues ; pour l’intégrer il n’y a qu’à la multiplier par ${\frac {\sqrt {1+z^{2}}}{z}},$ et l’on aura cette intégrale

${\frac {x{\sqrt {1+z^{2}}}}{z}}=-\int {\frac {\mathrm {Z} dz}{z^{2}{\sqrt {1+z^{2}}}}}+\mathrm {const} .$

On aura ainsi $x$ en $z\,;$ ensuite on chassera $z$ au moyen de l’équation

$y+{\frac {x-p}{z}}=\varphi (p),$

en y substituant pour $p$ sa valeur $\mathrm {Z} .$ Cette dernière solution répond, comme on voit, à celle du n^o 9.

12. On peut encore intégrer la même équation par une autre méthode que voici.

Ayant égalé la quantité sous le signe $\varphi$ à une nouvelle variable $p,$ ce qui donne

$x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}=p,$

ou bien, en faisant ${\frac {dy}{dx}}=z,$

$x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}}=p,$

comme dans le n^o 11, j’intègre cette dernière équation en y regardant $p$ comme une constante. Pour cela il n’y a qu’à la multiplier par ${\frac {dz}{z^{2}{\sqrt {1+z^{2}}}}},$ et intégrant on aura

${\frac {(x-p){\sqrt {1+z^{2}}}}{z}}=r,$

d’où l’on tire

$z={\frac {dy}{dx}}={\frac {x-p}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}\,;$

multipliant par $dx$ et intégrant de nouveau, on aura

$y=q-{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}},$

$r$ et $q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires.

Cette expression de $y$ serait la véritable si la duantité $p$ était effectivement constante, comme nous l’avons supposée ; mais, quelle que soit la quantité $p,$ comme elle est indéterminée, on peut toujours supposer que l’expression précédente de $y$ ait lieu, en y regardant $p$ comme une nouvelle variable ; on y peut de plus regarder aussi les quantités $q$ et $r$ comme variables, et, comme elles sont indéterminées, on pourra établir entre elles telles relations qu’on voudra ; on pourra donc aussi faire en sorte que les valeurs de ${\frac {dy}{dx}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ soient les mêmes que si les trois quantités $p,q,r$ ne variaient point ; et cela en égalant à zéro séparément la partie de chacune de ces valeurs qui résultera des variations de $p,q,r\,;$ ce qui donnera deux équations différentielles du premier ordre entre $p,q,r,x$ et $dp,dq,dr.$ On substituera maintenant les valeurs de $y,{\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ou de $y,z,{\frac {dz}{dx}}$ exprimées en $p,q,r,x$ dans l’équation proposée

$y+{\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}}=\varphi \left[x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}}\right],$

et l’on aura une équation finie entre $p,q,r$ et $x,$ au moyen de laquelle on pourra chasser une des variables des deux équations différentielles trouvées auparavant. En voici le calcul.

13. Puisque

$y=q-{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}},$

on aura d’abord, en faisant varier $p,q,r$ et en égalant la variation de $y$ à zéro,

$dq-{\frac {rdr+(x-p)dp}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}=0\,;$

alors la valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ ou $z$ sera

${\frac {x-p}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}},$

comme dans le cas où $p,q,r$ sont constantes.

Faisant varier de nouveau $p,r$ dans cette expression de $z,$ et égalant à zéro la variation résultante de $z,$ on aura l’équation

${\frac {r^{2}dp+(x-p)rdr}{\left[r^{2}-(x-p)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}=0,$

et la valeur de ${\frac {dz}{dx}}$ sera

${\frac {r^{2}}{\left[r^{2}-(x-p)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

comme dans le cas de $p$ et $r$ constantes.

Qu’on substitue maintenant les valeurs précédentes de $y,z,{\frac {dz}{dx}}$ dans l’équation proposée ; il est d’abord visible que la partie

$x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}},$

redeviendra égale à $p,$ comme on peut aussi s’en assurer par les substitutions quant à l’autre partie

$y+{\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}},$

elle deviendra par les mêmes substitutions égale à $q$.

De sorte que l’on aura cette équation entre les seules varialbes $p$ et $q\,;$ savoir $q=\varphi (p),$ laquelle servira à déterminer $q$ en $p.$ Et il n’y aura plus qu’à déterminer $p$ et $r$ en $x,$ au moyen des deux équations

${\begin{aligned}&dq-{\frac {rdr+(x-p)dp}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}=0,\\&rdp+(x-p)dr=0.\end{aligned}}$

Si l’on substitue dans la première la valeur de $x-p$ tirée de la seconde, elle deviendra

$dq-{\sqrt {dr^{2}-dp^{2}}}=0\,;$

d’où

$dr={\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}},$

et, à cause de $dq=\varphi '(p)dp,$

$dr=dp{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}\,;$

d’où l’on tirera par l’intégration $r$ en $p.$ Cette même valeur de $dr$ étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, elle deviendra

$\left[r+(x-p){\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}\right]dp=0,$

laquelle donne, ou $dp=0,$ et par conséquent $p$ égal à une constante arbitraire, auquel cas on aura immédiatement l’équation finie

$y=q-{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}$

où $q=\varphi (p),$ et $r$ sera une autre constante arbitraire (12). Ou bien l’équation précédente donnera

$r+(x-p){\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}=0,$

d’où l’on tirera $p$ en $x,$ ou $x$ en $p$ à cause que $r$ est déjà déterminé en $p$ par l’équation

$dr={\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}dp.$

On aura ainsi :

$x=p-{\frac {r}{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}},$

et, substituant cette valeur dans l’expression de $y$ ci-dessus, on aura

$y=\varphi (p)-{\frac {r}{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}}.$

Il est visible que cette dernière solution revient au même que celle du n^o 6 ; aussi est-elle déduite de principes analogues. À l’égard de l’autre solution qui donne un cercle quelconque, on l’aurait trouvée également par les formules du numéro cité, si l’on y avait substitué $\varphi '(p)dp$ à la place de $dq$ ; car l’équation

$dp+{\frac {dy}{dx}}dq=0$

aurait donné sur-le-champ,

${\text{ou}}\quad dp=0,\quad {\text{ou}}\quad 1+{\frac {dy}{dx}}\varphi '(p)=0,$

qui est la seule dont nous ayons fait usage dans ce numéro.

Article II. — Sur les roulettes.

1. J’appelle, en général, roulette toute courbe décrite par le roulement ou révolution d’une courbe quelconque donnée autour de la circonférence d’une autre courbe donnée, comme la roulette ou cycloïde ordinaire est formée par la révolution d’un cercle sur une ligne droite, et les épicycloïdes le sont par la révolution d’un cercle sur la circonférence d’un autre cercle.

Il est évident, par la génération de ces roulettes : 1^o que les arcs révolus en même temps, soit de la courbe mobile, soit de la courbe immobile, doivent toujours être égaux ; 2^o que, si du point décrivant de la courbe mobile on mène au point d’attouchement des deux courbes une droite que nous appellerons le rayon, ce rayon sera nécessairement perpendiculaire à la roulette ; en sorte que, si l’on décrit un cercle avec ce même rayon, ce cercle coïncidera avec l’arc de la roulette en deux points infiniment proches.

2. Cela posé, soient $p,q$ l’abscisse et l’ordonnée de la courbe immobile, $s$ l’arc correspondantde cette courbe, lequel doit être égal à l’arc révolu en même temps de la courbe mobile, $r$ le rayon de la courbe mobile, qui répond à cet arc, $x$ et $y$ l’abscisse et l’ordonnée de la roulette qui en résulte. En prenant ces mêmes coordonnées $x$ et $y$ pour celles du cercle décrit du rayon $r,$ il est facile de-voir qu’on aura pour l’équation de cercle

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}.$

Or ce cercle devant coïncider avec la roulette dans deux points infiniment proches, il faudra que tant l’équation précédente que sa différentielle première ait lieu par rapport à la courbe dont il s’agit, c’est-à-dire en regardant les coordonnées $x$ et $y$ comme appartenant à cette courbe.

On aura de cette manière, pour la roulette, les deux équations

${\begin{aligned}(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=&r^{2},\\x-p+(y-q){\frac {dy}{dx}}=&0.\end{aligned}}$

Maintenant la courbe immobile étant donnée, on aura, par l’équation de cette courbe, l’ordonnée $q$ et l’arc $s$ donnés par l’abscisse $p.$ De plus, par la nature de la courbe mobile, le rayon $r$ sera aussi donné par l’arc révolu de la même courbe, lequel devant être égal à $s,$ on aura donc aussi r donné en $p.$

Soit donc

$q=\varphi (p),\quad r=f(p),$

$\varphi$ et $f$ dénotant des fonctions données ; on substituera ces valeurs dans les deux équations précédentes, et éliminant $p,$ on aura une équation différentielle du premier ordre entre $x$ et $y,$ qui sera celle de la roulette cherchée.

3. Cette équation étant intégrée admettra donc une constante arbitraire en sorte qu’il sera possible de faire passer la roulette par un point donné. Cependant, si l’on considère la génération de cette courbe, il n’est pas difficile de se convaincre que tout y est déterminé, dès que les deux courbes, la mobile et l’immobile, sont données, et que le point décrivant est aussi donné dans le plan de la courbe mobile, ainsi que notre analyse le suppose. D’où il s’ensuit que l’équation de la roulette ne saurait renfermer aucune constante arbitraire, et que la courbe elle-même ne saurait être décrite de manière qu’elle passe par un point donné à volonté.

Il se présente donc ici une difficulté analogue à celle que nous avons rencontrée dans le Problème des développées, et qu’on pourra par conséquent résoudre d’une manière semblable. En efiet, si l’on considère d’abord les quantités $p,q,r$ comme variables, ainsi qu’elles le sont en effet, il est clair que la différentielle de l’équation

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

prise en faisant varier seulement ces mêmes quantités $p,q,r,$ devra avoir lieu aussi, puisque la différentielle de cette même équation, en faisant varier $x$ et $y,$ a déjà lieu d’elle-même en vertu de la seconde équation

$x-p+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0.$

Ainsi l’on aura l’équation

$-(x-p)dp-(y-q)dq=rdr,$

laquelle, en mettant pour $dq$ et $dr$ leurs valeurs $\varphi '(p)dp$ et $f'(p)dp,$ devient

$\left[x-p+(y-q)\varphi '(p)+rf'(p)\right]dp=0.$

Cette équation se décompose, comme on voit, en ces deux-ci

$dp=0\quad {\text{et}}\quad x-p+(y-q)\varphi '(p)+rf'(p)=0.$

La première $dp=0$ étant intégrée donne

$p=$ une constante arbitraire.

Ainsi $q=\varphi (p)$ et $r=f(p)$ seront aussi constantes ; et l’on aura sur-lechamp pour la roulette l’équation finie

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

qui n’exprime, comme on voit, qu’un cercle décrit du rayon régal à la distance du point décrivant au point d’attouchement des deux courbes. Cette solution satisfait, comme il est aisé de le voir, au Problème envisagé analytiquement, et, de ce qu’elle renferme une constante arbitraire, il s’ensuit qu’elle a toute l’étendue que demande l’équation différentielle trouvée plus haut ; mais il est visible en même temps qu’elle ne satisfait pas à la question envisagée mécaniquement et sous le point de vue où on l’a proposée.

Ce dernier objet se trouve rempli par l’autre équation, savoir

$x-p+(y-q)\varphi '(p)+rf'(p)=0,$

laquelle, en éliminant $p$ au moyen de l’équation finie

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$

${\bigl [}q$ et $r$ étant égaux à $\varphi (p)$ et $f(p){\bigr ]},$ donnera une équation finie en $x$ et $y$ dans laquelle il n’y aura aucune constante arbitraire, et qui sera la véritable équation de la roulette décrite par la révolution d’une courbe donnée sur une autre courbe donnée.

4. En combinant les deux équations

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},\quad -(x-p)dp-(y-q)dq=rdr,$

on en tire les valeurs de $x$ et $y,$ lesquelles, en mettant $ds^{2}$ à la place de sa valeur $dp^{2}+dq^{2},$ se trouveront exprimées ainsi

${\begin{aligned}x=&p-{\frac {rdrdp+rdq{\sqrt {ds^{2}-dr^{2}}}}{ds^{2}}},\\y=&q-{\frac {rdrdq-rdp{\sqrt {ds^{2}-dr^{2}}}}{ds^{2}}}.\end{aligned}}$

Pour faire usage de ces formules, il sera plus simple d’exprimer les coordonnées $p$ et $q$ de la courbe immobile, ainsi que le rayon $r$ de la courbe mobile, par l’arc $s$ qui est commun aux deux courbes. On trouvera de cette manière les valeurs de $x$ et $y$ exprimées en $s,$ d’où, éliminant $s,$ on aura l’équation de la roulette.

5. Pour donner quelques exemples de l’application des formules précédentes, considérons d’abord le cas de la roulette ou cycloïde ordinaire. Ici la courbe immobile n’est autre chose que l’axe même des abscisses $p,$ en sorte qu’on aura

$q=0,\quad p=s.$

Ensuite la courbe mobile est un cercle dont nous ferons le rayon égal à $a\,;$ or, en prenant le point décrivant sur la circonférencede ce cercle, il est visible que $r$ sera la corde de l’arc $s,$ en sorte qu’on aura

$r=2a\sin {\frac {s}{2a}},\quad {\text{d’où}}\quad dr=\cos {\frac {s}{2a}}ds\,;$

substituant ces valeurs, il viendra

${\begin{aligned}x=&s-2a\sin {\frac {s}{2a}}\cos {\frac {s}{2a}}=s-a\sin {\frac {s}{a}},\\y=&2a\sin ^{2}{\frac {s}{2a}}=a\left(1-\cos {\frac {s}{a}}\right).\end{aligned}}$

Si le point décrivant n’était pas sur la circonférence du cercle, mais à la distance $b$ du centre, alors il est facile de prouver qu’on aurait

$r={\sqrt {\left(b-a\cos {\frac {s}{a}}\right)^{2}+a^{2}\sin ^{2}{\frac {s}{a}}}},$

ou bien

$r={\sqrt {b^{2}-2ab\cos {\frac {s}{a}}+a^{2}}},$

d’où

$rdr=b\sin {\frac {s}{a}}ds,\quad r^{2}ds^{2}-r^{2}dr^{2}=\left(a-b\cos {\frac {s}{a}}\right)^{2}ds^{2}\,;$

de sorte qu’après les substitutions on aura

$x=s-b\sin {\frac {s}{a}},\quad y=a-b\cos {\frac {s}{a}}.$

Enfin, si dans ce dernier cas on voulait que la courbe immobile fût aussi un cercle dont le rayon $=h,$ il est facile de voir qu’on aurait pour lors

$p=h\left(1-\cos {\frac {s}{h}}\right),\quad q=h\sin {\frac {s}{h}},$

en supposant que l’axe des abscisses passe par le centre du cercle immobile. De là on trouvera, après les réductions,

${\begin{aligned}x=&h-(h+a)\cos {\frac {s}{h}}+b\cos \left[\left({\frac {1}{h}}+{\frac {1}{a}}\right)s\right],\\y=&(h+a)\sin {\frac {s}{h}}-b\sin \left[\left({\frac {1}{h}}+{\frac {1}{a}}\right)s\right]\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que la roulette sera géométrique toutes les fois que $h$ sera à $a$ comme nombre à nombre.

6. Si la courbe immobile étant quelconque, la courbe mobile devenait une ligne droite, et que le point décrivant fût pris dans cette même droite, il est visible qu’on aurait alors $r=s,$ ou plus généralement $r=k+s,$ $k$ étant une constante quelconque. Les formules de la roulette (4) deviendront alors

$x=p-{\frac {rdp}{dr}},\quad y=q-{\frac {rdq}{dr}},$

lesquelles sont, comme l’on voit, identiques avec celles que nous avons trouvées dans le n^o 6 de l’Article I pour la développante de la courbe dont $p$ et $q$ sont les coordonnées. Il est facile de concevoir en effet que dans ce cas la roulette ne saurait être autre chose que la développante de la courbe immobile ; c’est ce que d’autres Géomètres ont déjà remarqué.

Article III. — Des différents ordres de contact des courbes, et de la manière de trouver des courbes qui aient avec une infinité de courbes données des contacts d’un ordre donné.

1. On sait que, dans le point d’attouchement de deux courbes, il y a une réunion de deux points d’intersection des mêmes courbes ; on sait de plus que, dans le point où deux courbes se touchent en sorte qu’elles aient la même courbure, il y a une réunion de trois points d’intersection ; et si outre cela la variation de la courbure est encore la même, alors il y aura une réunion de quatre points d’intersection ; et ainsi de suite.

Nous appellerons, en général contact du premier ordre tout attouchement de deux courbes où il y a réunion de deux intersections, contact du second ordre tout attouchement dans lequel il y aura réunion de trois points d’intersection, contact du troisième ordre celui où quatre points d’intersection seront réunis ; et ainsi de suite.

De cette manière l’attouchement ordinaire sera un contact du premier ordre, l’osculation sera un contact du second ordre, etc.

2. Cela posé, soit proposée une courbe dont l’équation soit

$\mathrm {V} =0,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction donnée des coordonnées $x,y$ et de deux constantes arbitraires $p$ et $q\,;$ et qu’on demande les valeurs de ces arbitraires pour que la courbe proposée ait un contact du premier ordre avec une autre courbe quelconque. Il faudra que, dans ce contact, non-seulement les valeurs de $x$ et $y,$ mais aussi celles de $dx$ et $dy$ soient les mêmes pour les deux courbes ; donc non-seulement l’équation $\mathrm {V} =0,$ mais encore sa différentielle $d\mathrm {V} =0,$ devra avoir lieu par rapport à la nouvelle courbe. Ainsi il n’y aura qu’à tirer de ces deux équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0$

les valeurs de $p$ et $q,$ lesquelles se trouveront exprimées en $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}.$

Si $\mathrm {V}$ est une fonction de $x,y$ et de trois constantes arbitraires $p,q,r$ on pourra déterminer les valeurs de $p,q,$ $r$ en sorte que la courbe proposée ait un contact du second ordre avec une autre courbe quelconque ; car la nature de ce contact exigeant que non-seulement $x$ et $y,$ mais aussi ${\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ soient les mêmes pour tes deux courbes, il n’y aura qu’à supposer que les trois équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0$

aient lieu en même temps relativement à ces deux courbes, et l’on tirera de ces équations les valeurs de $p,q,r,$ lesquelles seront exprimées en $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ et ainsi de suite.

Nous nommerons, en général, courbe touchante la courbe proposée par rapport à laquelle les quantités $p,q,r,\ldots$ sont constantes ; et nous nommerons ensuite courbe touchée l’autre courbe par rapport à laquelle ces mêmes quantités sont variables, étant des fonctions de ses coordonnées $x,y$ et de leurs différentielles ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots .$

Enfin nous nommerons ces mêmes quantités $p,q,r,\ldots$ éléments du contact ; de sorte qu’un contact du premier ordre n’aura que deux éléments, un contact du second ordre n’en aura que trois, etc.

3. Supposons que la courbe touchante soit un cercle quelconque, dont l’équation soit

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$p$ et $q$ étant les coordonnées qui déterminent le lieu du centre et $r$ le rayon. Si l’on veut que ce cercle ait un contact du second ordre avec une courbe quelconque, c’est-à-dire qu’il en devienne le cercle osculateur, il faudra déterminer les trois éléments $p,q,r$ du contact au moyen des trois équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0.$

en faisant

$\mathrm {V} =(x-p)^{2}+(y-q)^{2}-r^{2}\,;$

et l’on retrouvera les mêmes expressions de ces quantités que l’on a déjà trouvées dans l’Article I^er (1).

Si l’on fait tomber le centre du cercle dans l’axe des abscisses, on aura $q=0,$ et l’équation

$(x-p)^{2}+y^{2}=r^{2}$

ne renfermera plus que deux constantes $p$ et $r.$ Ce cercle ne pourra donc

plus avoir qu’un contact du premier ordre avec une autre courbe quelconque et il est clair que dans ce point de contact le rayon $r$ deviendra la normale à la courbe touchée, et que la quantité $p$ sera la partie de l’axe interceptée entre l’origine des abscisses et le concours de la normale, partie qu’on nomme quelquefois la resecte.

On déterminera donc ces deux éléments $p$ et $r$ au moyen des deux équations $\mathrm {V} =0$ et $d\mathrm {V} =0,$ lesquelles donneront

$p=x+{\frac {ydy}{dx}},\quad r={\frac {y{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}{dx}}.$

On peut supposer aussi que le centre du cercle tombe sur la circonférence d’une courbe donnée ; alors $r$ deviendra la partie de la normale interceptée par cette courbe. Dans ce cas on aura une équation entre $p$ et $q$ qui sera celle de la courbe donnée, et au moyen de cette équation et des deux équations $\mathrm {V} =0$ et $d\mathrm {V} =0$ on déterminera $p,q,r.$ On en a un exemple dans le n^o 2 de l’Article II.

L’équation générale de l’ellipse rapportée au foyer est

$u+px+qy=r,$

dans laquelle $u$ est le rayon vecteur égal à ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ $r$ est le demi-paramètre du grand axe, ${\sqrt {p^{2}+q^{2}}}$ est l’excentricité, et ${\frac {q}{p}}$ est la tangente de l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec l’axe des abscisses $x$ dont l’origine est dans le foyer, et qui sont supposées positives en allant vers l’apside le plus proche.

Si donc on veut que cette ellipse ait un contact du second ordre avec une courbe quelconque, c’est-à-dire qu’elle devienne osculatrice de cette courbe, il n’y aura qu’à déterminer les éléments $p,q,r$ au moyen des mêmes équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,$

mais en faisant

$\mathrm {V} =u+px+qy-r.$

On trouvera ainsi

$q=-{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}},\quad p=-{\frac {du}{dx}}+{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}}{\frac {dy}{dx}},$

$r=u-x{\frac {du}{dx}}+{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}}\left(x{\frac {dy}{dx}}-y\right).$

Si la position du foyer de l’ellipse osculatrice n’était pas donnée, nommant $m,n$ l’abscisse et l’ordonnée qui répondent à ce foyer, on aura alors pour l’équation générale de l’ellipse

$u+p(x-m)+q(y-n)=r,$

dans laquelle

$u={\sqrt {(x-m)^{2}+(y-n)^{2}}},$

la signification des autres quantités $p,q,r$ demeurant la même qu’auparavant.

Comme cette équation renferme cinq constantes arbitraires, il s’ensuit que l’ellipse dont il s’agit pourra avoir un contact du quatrième ordre avec une autre courbe quelconque, et pour cela on déterminera les cinq éléments de ce contact $p,q,r,m,n$ au moyen des cinq équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\quad d^{3}\mathrm {V} =0,\quad d^{4}\mathrm {V} =0,$

en faisant

$V=u+p(x-m)+q(y-n)-r.$

4. Imaginons maintenant qu’il y ait une relation donnée entre les éléments du contact $p,q,r,\ldots$ et qu’on demande la courbe touchée dans laquelle cette relation aura lieu. Il n’y aura pour cela qu’à substituer dans l’équation donnée entre $p,q,r,\ldots$ les valeurs de ces quantités exprimées en $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots$ (2).

On aura ainsi, si le contact est du premier ordre, une équation différentielle du premier ordre entre les coordonnées $x$ et $y$ de la courbe cherchée ; si le contact est du second ordre, on aura une équation différentielle du second ordre entre les mêmes coordonnées ; et ainsi de suite. Il ne s’agira donc plus que d’intégrer ces différentes équations, et pour cela je remarquerai d’abord qu’on peut supposer que les quantités $p,q,r,\ldots$ soient constantes ; car, comme l’équation donnée entre ces quantités est supposée ne renfermer que ces mêmes quantités sans les variables $x,y,$ il est visible que cette équation pourra toujours subsister dans l’hypothèse que les quantités dont il s’agit soient constantes ; et l’effet de cette équation consistera alors à déterminer une de ces constantes par toutes les autres, lesquelles demeureront par conséquent arbitraires. Ainsi le nombre des constantes arbitraires sera égal à celui des éléments du contact moins un, et par conséquent égal à l’exposant de l’ordre de ce contact (2) ; donc ce nombre sera aussi égal à celui de l’exposant de l’ordre de l’équation différéntielle qu’il s’agit d’intégrer (3).

Cela posé, puisque les expressions des quantités $p,q,r,\ldots$ en $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots$ ont été déduites de l’équation $\mathrm {V} =0$ et de ses différentielles $d\mathrm {V} =0,d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots ,$ en y regardant ces quantités comme constantes (2), il est visible que la même équation finie $\mathrm {V} =0$ satisfera, dans l’hypothèse présente, à l’équation différentielle proposée ; et comme parmi les constantes $p,q,r,\ldots ,$ que l’équation $\mathrm {V} =0$ renferme, il en reste toujours autant d’arbitraires qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle dont il s’agit, il s’ensuit que cette équation $\mathrm {V} =0$ sera l’intégrale finie et complète de la même équation différentielle. Or l’équation $\mathrm {V} =0$ est celle de la courbe touchante ; donc l’intégrale complète de l’équation différentielle proposée ne donnera jamais autre chose que la même courbe touchante que l’on connaissait déjà, et ne donnera nullement la courbe touchée qu’il s’agit de trouver. Cependant il est facile de se convaincre que l’équation différentielle en question appartient également à la courbe touchée ; donc, puisque cette courbe n’est pas renfermée dans l’intégrale complète de la même équation, il faudra nécessairement qu’elle le soit dans une intégrale particulière. C’est ce que nous allons examiner.

5. Nous commencerons par rappeler ici les principes de la Théorie des intégrales particulières que nous avons exposée en détail dans notre Mémoire sur cette matière [Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Berlin pour 1774^[2]] ; et nous les présenterons même d’une manière plus simple et plus générale à quelques égards que nous ne l’avons fait dans ce Mémoire.

Soit

$\mathrm {Z} =0$

une équation différentielle d’un ordre quelconque $n$ entre deux ou plusieurs variables ; et soit

$\mathrm {V} =0$

une équation différentielle d’un ordre inférieur $m$ entre les même variables, laquelle soit une intégrale complète de l’équation $\mathrm {Z} =0.$ Par la Théorie connue du Calcul intégrale on sait que l’équation $\mathrm {V} =0$ doit renfermer autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans la différence $n-m$ des exposants des ordres des deux équations, en sorte que si $m=0,$ de manière que l’intégrale complète $\mathrm {V} =0$ soit finie, le nombre des constantes arbitraires doit égaler le nombre $n$ de l’ordre de l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$ On sait de plus que l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination de toutes ces constantes arbitraires au moyen de l’équation $\mathrm {V} =0$ et de ses différences $d\mathrm {V} =0,d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots$ jusqu’à $d^{n-m}\mathrm {V} =0$ inclusivement : en effet, ces équations étant au nombre de $n-m+1,$ et les constantes arbitraires n’étant qu’au nombre de $n-m,$ on aura par l’élimination de ces constantes une équation finale de l’ordre de $n-m,$ laquelle devra être identique, ou du moins équivalente à l’équation $\mathrm {Z} =0.$

Or, comme l’élimination dont il s’agit est indépendante de la valear particulière des constantes arbitraires, il est clair qu’on aura toujours le même résultat, soit que ces quantités arbitraires soient constantes ou non, pourvu que l’on ait les mêmes équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots ,\quad d^{n-m}\mathrm {V} =0.$

D’où il s’ensuit que l’équation $\mathrm {V} =0$ satisfera toujours à l’équation $\mathrm {Z} =0$ d’un ordre supérieur, même en supposant que les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction $\mathrm {V}$ deviennent variables, pourvu que les différences de cette fonction $d\mathrm {V} ,d^{2}\mathrm {V} ,\ldots ,$ jusqu’à $d^{n-m}\mathrm {V}$ restent les mêmes que dans le cas où ces arbitraires seraient constantes. Or c’est ce qui aura lieu si l’on fait disparaître dans chacune de ces différences la partie qui viendrait de la variation des arbitraires supposées variables.

Désignons, en général, par la caractéristique $\delta$ la différence prise en faisant varier uniquement les constantes arbitraires de la fonction $\mathrm {V} ,$ et conservons la caractéristique $d$ pour représenter les différences ordinaires, relatives aux variables de la même fonction $\mathrm {V} .$ Il est clair que, dans l’hypothèse où les constantes arbitraires deviendront variables, la différence totale de l’équation $\mathrm {V} =0$ sera

$d\mathrm {V} +\delta \mathrm {V} =0\,;$

donc, pour que l’on ait

$d\mathrm {V} =0,$

il faudra que l’on ait en même temps

$\delta \mathrm {V} =0.$

Par la même raison la différence totale de l’équation $d\mathrm {V} =0$ sera

$d^{2}\mathrm {V} +\delta d\mathrm {V} =0\,;$

donc, pour que l’on ait

$d^{2}\mathrm {V} =0,$

il faudra que l’on ait en même temps

$\delta d\mathrm {V} =0.$

On continuera ce raisonnement pour les différences des ordres suivants, et l’on trouvera de la même manière

$\delta d^{2}\mathrm {V} =0,\quad \delta d^{3}\mathrm {V} =0,\ldots$

jusqu’à

$\delta d^{n-m-1}\mathrm {V} =0$

inclusivement.

Or par la Théorie connue des variations on sait que $\delta d\mathrm {V}$ est la même chose que $d\delta \mathrm {V} ,$ que $\delta d^{2}\mathrm {V}$ est la même chose que $d^{2}\delta \mathrm {V} \,;$ et ainsi des autres.

Donc les équations de condition pour que l’équation $\mathrm {V} =0$ satisfasse à l’équation $\mathrm {Z} =0$ d’un ordre supérieur de $n-m$ unités, en y supposant variables les $n-m$ constantes arbitraires, seront

$\delta \mathrm {V} =0,\quad d\delta \mathrm {V} =0,\quad d^{2}\delta \mathrm {V} =0,\ldots ,\quad d^{n-m-1}\delta \mathrm {V} =0,$

dont le nombre est, comme on voit, égal à $n-m,$ et par conséquent égal à celui de ces mêmes quantités.

Il n’y aura donc qu’à déterminer les valeurs de ces quantités au moyen des équations de condition dont il s’agit, et à les substituer ensuite dans l’équation $\mathrm {V} =0\,;$ ou, ce qui revient au même, il n’y aura qu’à éliminer les mêmes quantités, au moyen de cette équation $\mathrm {V} =0$ et des équations de condition

$\delta \mathrm {V} =0,\quad d\delta \mathrm {V} =0,\ldots ,\quad d^{n-m-1}\delta \mathrm {V} =0\,;$

l’équation résultante satisfera également à l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0,$ et, comme elle sera toujours d’un ordre moins élevé d’une unité que cette dernière équation, elle en sera l’intégrale particulière.

6. Pour éclaircir davantage cette Théorie, soient $x,y,z,\ldots$ les différentes variables qui avec leurs différences jusqu’à l’ordre $m$ entrent dans l’intégrale complète $\mathrm {V} =0,$ et soient $p,q,r,\ldots$ les constantes arbitraires au nombre de $n-m$ que cette intégrale renferme. En différentiant la fonction $\mathrm {V}$ dans la supposition que les quantités $p,q,r,\ldots$ varient seules, on aura

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \,;$

ensuite, faisant varier seulement les quantités $x,y,z,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}&d\delta \mathrm {V} =d\mathrm {P} dp+d\mathrm {Q} dq+d\mathrm {R} dr+\ldots ,\\&d^{2}\delta \mathrm {V} =d^{2}\mathrm {P} dp+d^{2}\mathrm {Q} dq+d^{2}\mathrm {R} dr+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi les $n-m$ équations de condition seront

${\begin{aligned}&\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =0,\\&d\mathrm {P} dp+d\mathrm {Q} dq+d\mathrm {R} dr+\ldots =0,\\&d^{2}\mathrm {P} dp+d^{2}\mathrm {Q} dq+d^{2}\mathrm {R} dr+\ldots =0,\end{aligned}}$

jusqu’à

$d^{n-m-1}\mathrm {P} dp+d^{n-m-1}\mathrm {Q} dq+d^{n-m-1}\mathrm {R} dr+\ldots =0\,;$

où l’on remarquera que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ et leurs différences jusqu’à l’ordre $n-m-1,$ ne renferment que les quantités finiès $p,q,r,\ldots$, et les variables $x,y,z,\ldots$ avec leurs différences jusqu’à l’ordre $m+n-m-1,$ ou $n-1.$ Or comme ces différentes équations ne renferment aucun terme qui ne soit multiplié par $dp,$ ou $dq,$ ou, etc., il est visible qu’en éliminant ces différences $dp,dq,dr,\ldots ,$ dont le nombre est le même que celui des équations, on aura une équation finale qui sera divisible par la dernière de ces inconnues, et qui ne renfermera plus que les quantités finies $p,q,r,\ldots$ et les variables $x,y,z,\ldots$ avec leurs différences jusqu’à l’ordre $n-1.$

Que l’on combine donc cette équation avec l’équation $\mathrm {V} =0$ et avec ses différentielles $d\mathrm {V} =0,d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots$ jusqu’à $d^{n-m-1}\mathrm {V} =0,$ lesquelles ne renferment aussi que les mêmes quantités finies $p,q,r,\ldots$ et les variables $x,y,z,\ldots$ avec leurs différences jusqu’à l’ordre $n-1\,;$ on aura de cette manière $n-m+1$ équations, au moyen desquelles on pourra éliminer les $n-m$ inconnues $p,q,r,\ldots \,;$ et l’on obtiendra une équation finale entre les variables $x,y,z$ et leurs différences jusqu’à l’ordre $n-1,$ laquelle sera par conséquent d’un ordre moins élevé d’une unité que l’équation $\mathrm {Z} =0,$ qu’on suppose de l’ordre $n.$ Ce sera donc l’intégrale particulière de l’équation proposée $\mathrm {Z} =0.$

7. Qu’on applique maintenant cette méthode au Problème du n^o 4, et qu’on cherche l’intégrale particulière de l’équation proposée, au moyen de son intégrale complète $\mathrm {V} =0,$ en y faisant varier les constantes arbitraires $p,q,r,\ldots ,$ on verra aisément que cette intégrale particulière représentera précisément la courbe touchée, puisqu’il est évident que dans cette courbe les éléments du contact $p,q,r,\ldots$ doivent être en effet variables et c’est la raison qui empêche que cette courbe, quoique contenue dans la même équation différentielle, ne puisse être renfermée dans l’intégrale complète de cette équation dans laquelle les quantités $p,q,r,\ldots$, sont constantes.

Les Problèmes que nous avons résolus dans les Articles I et II peuvent servir d’exemples au Problème général que nous traitons ici, et pour peu qu’on examine la manière dont nous avons intégré les équations différentielles des courbes développantes et des roulettes en regardant comme variables les éléments du contact $p,q,r,\ldots ,$ on s’apercevra aisément que nous n’avons fait autre chose que chercher l’intégrale particulière de cette équation suivant les principes établis plus haut.

8. De ce que nous venons de démontrer il s’ensuit, en général, que l’intégrale particulière d’une équation différentielle quelconque entre deux variables n’est autre chose que l’équation de la courbe touchée par toutes les courbes qui peuvent être représentées par les différentes intégrales complètes de la même équation différentielle, en faisant varier dans ces intégrales les constantes arbitraires qu’elles renferment ; de manière que le contact sera toujours du même ordre que celui de l’équation différentielle proposée.

9. Nous avons supposé jusqu’ici que les courbes touchantes étaient connues et qu’on cherchait les courbes touchées ; mais, si ces dernières étaient données et qu’on cherchât les premières, le Problème serait l’inverse du précédent et serait même en quelque sorte indéterminé. Pour en donner une solution aussi générale qu’il est possible, soit $\mathrm {T} =0$ l’équation de la courbe touchée que nous supposerons d’abord finie, en sorte que $\mathrm {T}$ soit une fonction des deux coordonnées $x$ et $y.$ On prendra pour les courbes touchantes une équation quelconque $\mathrm {V} =0,$ entre les mêmes coordonnées $x$ et $y,$ et dans laquelle il entre deux constantes arbitraires $p$ et $q,$ si le contact ne doit être que du premier ordre, ou trois constantes arbitraires $p,q,r,$ si le contact doit être du second ordre ; et ainsi de suite.

Dans le premier cas on combinera les deux équations

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {V} =0$

avec leurs différentielles

$d\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {V} =0,$

et chassant $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}},$ il viendra une équation entre $p$ et $q,$ qui servira à déterminer l’une de ces constantes par l’autre.

Dans le second cas on combinera les mêmes équations

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {V} =0$

avec leurs différentielles premières

$d\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {V} =0,$

et avec leurs différentielles secondes

$d^{2}\mathrm {T} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,$

en éliminant par leur moyen les quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ il en résultera deux équations entre les trois constantes $p,q,r,$ au moyen desquelles on déterminera deux de ces constantes par la troisième ; et ainsi de suite.

Il restera donc toujours une constante arbitraire dans l’équation $\mathrm {V} =0$ de la courbe touchante ; et, en donnant à cette constante arbitraire toutes les valeurs possibles, on aura la suite de toutes les courbes qui toucheront la courbe donnée dont l’équation est $\mathrm {T} =0.$

Supposons maintenant que l’équation $\mathrm {T} =0$ de la courbe touchée soit différentielle du premier ordre ; on ne pourra considérer alors que les contacts du second ordre et des ordres supérieurs. On prendra donc pour la courbe touchante une équation finie quelconque $\mathrm {V} =0,$ dans laquelle il y ait trois constantes indéterminées $p,q,r$ pour les contacts du second ordre, quatre constantes arbitraires pour les contacts du troisième ordre ; et ainsi de suite.

Dans le premier cas on combinera les deux équations

$\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {T} =0$

avec ces trois

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,$

en éliminant par leur moyen les quatre quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ il restera une équation entre $p,q,r$ par laquelle on déterminera, par exemple, $r$ en $p$ et $q.$

Dans le second cas on combinera les trois équations

$\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {T} =0,\quad d^{2}\mathrm {T} =0,$

avec ces quatre-ci

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\quad d^{3}\mathrm {V} =0,$

en éliminant les cinq quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,;$ il viendra deux équations entre les quatre constantesarbitraires, par lesquelleson déterminera deux de ces constantes en fonction des deux autres ; et ainsi de suite.

De cette manière il restera toujours deux constantes arbitraires dans l’équation de la courbe touchante $\mathrm {V} =0,$ et, en donnant toutes les valeurs possibles à ces constantes, on aura toute la famille des courbes qui toucheront la courbe donnée par l’équation $\mathrm {T} =0.$

On traitera d’une manière analogue les cas où l’équation de la courbe touchée sera différentielle du second ordre ou des ordres suivants.

10. On peut par les mêmes principes résoudre cette question analytique : Trouver toutes les équations différentielles qui ont pour intégrale particulière une équation donnée. Il est visible en effet, par ce que nous avons démontré plus haut, que cette question revient à celle-ci : Trouver l’équation différentielles de toutes les courbes touchantes lorsque la courbe touchée est donnée.

Or nous avons donné la manière de trouver l’équation finie qui renferme toutes les courbes touchantes, à l’aide d’une ou de plusieurs constantes arbitraires ; il n’y aura donc autre chose à faire qu’a éliminer ces constantes au moyen de la différentiation, et l’équation différentielle qui en résultera satisfera à la question.

Article IV. — Sur les surfaces composées de lignes d’une nature donnée^[3].

1. Soit proposé de trouver l’équation des surfaces composées de lignes droites ; il n’y aura qu’à chercher cette des surfaces formées par l’intersection d’une infinité de plans dont la position varie suivant une loi quelconque.

Or l’équâtion généraled’un plan est

$z=ax+by+c,$

$a,b,c$ étant des constantes dépendantes de la position du plan. Qu’on suppose donc $b$ et $c$ des fonctions quelconques de $a$ et qu’on fasse ensuite varier $a$ seul dans cette équation, on aura

$x+y{\frac {db}{da}}+{\frac {dc}{da}}=0,$

et, éliminant $a$ au moyen de ces deux équations, la résultante sera l’équation cherchée.

2. Cette équation sera donc la même que nous avons trouvée dans le n^o 49 du Mémoire Sur les intégrales particulières des équations différentielles^[4], pour l’intégrale de l’équation aux différences partielles

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right)\,;$

ainsi cette dernière équation appartiendra aussi aux surfaces dont il s’agit, en supposant que $f$ dénote une fonction quelconque. Or cette équation admet de plus une intégrale particulière qu’on peut trouver par la diffé-

rentiation, suivant la méthode générale du n^o 46 du Mémoire cité ; mais cette intégrale particulière ne donnera point les surfaces demandées, et ne représentera que les surfaces-formées par l’intersection de celles-ci, comme on peut le conclure de la Théorie que nous avons donnée de ces sortes d’intégrales.

3. On peut parvenir encore d’une manière plus directe à la solution du Problème proposé, par la simple considération des lignes dont la surface cherchée doit être composée. On sait qu’une ligne droite est représentée, en général, par deux équations de cette forme

$z=a+bx,\quad y=c+ex,$

$a,b,c,e$ étant des constantes arbitraires qui dépendent de la position de la ligne par rapport aux axes des coordonnées $x,y,z.$ Faisant donc varier infiniment peu ces constantes, on aura les équations d’une autre ligne droite infiniment proche de celle-là, et pour que ces deux droites soient sur une même surface, il est clair qu’elles doivent nécessairement se couper dans un point quelconque, à moins qu’elles ne soient parallèles, auquel cas le point d’intersection est censé éloigné à l’infini.

D’où il s’ensuit que, pour que les équations

$z=a+bx,\quad y=c+ex$

puissent appartenir aussi à la surfaces cherchée, il faudra que les quantités $a,b,c,e$ soient telles que les différentielles de ces équations, en faisant varier seulement ces quantités, puissent avoir lieu en même temps que les équations dont il s’agit. Or ces différentielles sont

$da+xdb=0,\quad dc+xde=0\,;$

d’où, en chassant $x,$ on aura l’équation de condition

${\frac {db}{da}}={\frac {de}{dc}}.$

Par cette équation on déterminera, par exemple, $e$ en $a,$ en supposant $b$

et $c$ des fonctions quelconques de $a\,;$ ensuite il n’y aura plus qu’à chasser $a$ des deux équations

$z=a+bx,\quad y=c+ex,$

et la résultante sera l’équation de la surface cherchée, laquelle contiendra deux fonctions arbitraires comme celle du n^o 1.

4. Si l’on fait

${\frac {da}{dc}}=\alpha ,$

on aura aussi

${\frac {db}{de}}=\alpha \,;$

si l’on suppose de plus

$c={\frac {d\beta }{d\alpha }},\quad e={\frac {d\gamma }{d\alpha }},$

$\beta$ et $\gamma$ étant des fonctions quelconques de $\alpha ,$ on aura

$da=\alpha d{\frac {d\beta }{d\alpha }},\quad db=\alpha d{\frac {d\gamma }{d\alpha }},$

et, intégrant,

$a=\alpha {\frac {d\beta }{d\alpha }}-\beta ,\quad b=\alpha {\frac {d\gamma }{d\alpha }}-\gamma$

Ainsi l’on aura la surface cherchée en éliminant $\alpha$ des deux équations

$z=\alpha {\frac {d\beta }{d\alpha }}-\beta +\left(\alpha {\frac {d\gamma }{d\alpha }}-\gamma \right)x,\quad y={\frac {d\beta }{d\alpha }}+{\frac {d\gamma }{d\alpha }}x,$

ou bien

$z=-\beta -\gamma x+\alpha y,\quad x-{\frac {d\alpha }{d\gamma }}y+{\frac {d\beta }{d\gamma }}=0.$

Or ces dernières équations sont de la même forme que celles qu’on a trouvées dans le n^o 1 ; ainsi les deux solutions sont d’accord.

Le résultat de la seconde solution est conforme à celui que M. Euler a trouvé par des considérations géométriques dans le tome XVI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourb, page 32, ce qui peut servir à confirmer la bonté de notre méthode.

5. Il est bon de remarquer que les deux équations

$da+db=0,\quad dc+xde=0,$

d’où on a déduit la condition ${\frac {db}{da}}={\frac {de}{dc}},$ donnent de plus une valeur de

$x=-{\frac {da}{db}}\,;$

cette valeur servira à déterminer le lieu de tous les points d’intersection des lignes droites sur la surface et pour cela il n’y aura qu’à combiner l’équation

$x=-{\frac {da}{db}}$

avec une des deux équations

$z=a+bx,\quad y=c+ex,$

en éliminant $a\,;$ la résultante sera celle de la projection de la courbe qui sera le lieu de tous les points dont il s’agit.

6. Il est facile maintenant de généraliser cette Théorie, et de l’appliquer à la recherche des surfaces composées de lignes quelconques d’une nature donnée.

Soient

$\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0$

les deux équations qui expriment la nature des lignes dont la surface cherchée doit être composée, $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions données des coordonnées $x,y,z$ et des constantes $a,b,c,\ldots$ qui déterminent la position et l’espèce des lignes dont il s’agit. On fera varier ces constantes dans les deux équations

$\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0,$

ce qui donnera ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {P} }{db}}db+{\frac {d\mathrm {P} }{dc}}\,dc+\ldots =0,\\{\frac {d\mathrm {Q} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Q} }{db}}db+{\frac {d\mathrm {Q} }{dc}}dc+\ldots =0.\end{aligned}}$

On éliminera au moyen de ces quatre équations les trois coordonnées $x,$

$y,z\,;$ il restera une équation différentielle du premier ordre entre $a,b,c,\ldots ,$ laquelle sera l’équation de condition qui doit avoir lieu entre ces quantités. S’il n’y a que deux quantités $a$ et $b,$ cette équation servira à déterminer $a$ en $b.$ S’il y a trois quantités $a,b,c,\ldots$ on supposera

$c=\varphi (b),$

et l’on déterminera de même $a$ en $b.$ S’il y a quatre quantités $a,b,c,e,$ on fera

$c=\varphi (b),\quad e=\psi (b),$

et l’on déterminera $a$ en $b\,;$ et ainsi de suite. On substituera maintenant ces expressions de $a,c,e,\ldots$, en $b$ dans les deux équations $\mathrm {P} =0,\mathrm {Q} =0,$ et, éliminant l’indéterminée $b,$ on aura une équation en $x,y,z$ qui sera celle de la surface cherchée, et dans laquelle les fonctions désignées par les caractéristiques $\varphi ,\psi ,\ldots$ demeureront arbitraires.

Si l’on fait les mêmes substitutions dans les deux équations

${\frac {d\mathrm {P} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {P} }{db}}db+\ldots =0,\quad {\frac {d\mathrm {Q} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Q} }{db}}db+\ldots =0,$

et qu’on élimine ensuite $b,$ on aura une autre équation en $x,y,z,$ laquelle étant combinée avec la précédente servira à déterminer le lieu de tous les points d’intersection des lignes représentées par les équations données $\mathrm {P} =0,\ \mathrm {Q} =0.$

7. Au reste parmi les différentes constantes qui peuvent entrer dans les équations $\mathrm {P} =0,\ \mathrm {Q} =0,$ il est clair qu’il ne faudra prendre pour variables que celles qui par leur variation doivent donner les différentes lignes dont on veut que la surface soit composée.

Ainsi, par exemple, si la surface ne devait être composée que des mêmes lignes mais situées différemment, il ne faudrait prendre pour variables que les constantes qui déterminent la position de la ligne, et n’avoir aucun égard à celles qui déterminent la forme et l’espèce de cette ligne ; et ainsi du reste.

On pourrait pousser cette Théorie plus loin, mais je me contente d’en avoir ici exposé les principes.

Article V. — Sur l’intégration des équations aux différences
partielles du premier ordre.

1. Je me propose ici de généraliser la méthode que j’ai donnée dans le n^o 52 du Mémoire Sur les intégrales particulières des équations différentielles [Mémoires de 1774, page 253^[5]] pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre dans lesquelles ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire.

Soit l’équation

${\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} .$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données des variables $x,y,t,\ldots ,z,$ et où $z$ soit une fonction inconnue de $x,y,t,\ldots .$

Pour intégrer cette équation, c’est-à-dire pour trouver une équation finie entre $x,y,z,t,\ldots$ je forme ces équations particulières

${\begin{aligned}dy-\mathrm {P} \,dx&=0,\\dt-\mathrm {Q} dx&=0,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\dz-\mathrm {Z} dx&=0,\end{aligned}}$

dont le nombre sera, comme on voit, égal à celui de toutes les variables moins une.

Ces équations sont des équations ordinaires du premier ordre entre les variables $x,y,t,\ldots ,z,$ et peuvent par conséquent s’intégrer par les méthodes connues. Qu’on les intègre donc, en ajoutant dans chaque intégration une constante arbitraire ; on aura, en nommant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ces constantes, autant d’équations finies entre $x,y,t,\ldots ,z$ et $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ qu’il y aura de ces constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ en sorte qu’on pourra déterminer la valeur de chacune de ces constantes en fonction connue de $x,$ $y,t,\ldots ,z.$ Ces valeurs étant ainsi trouvées, il n’y aura qu’à les substituer dans l’équation

$\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ,\ldots ),$

la caractéristique $\varphi$ dénotant une fonction arbitraire et indéterminée, et l’on aura l’intégrale cherchée de l’équation proposée ; laquelle intégrales sera complète, puisqu’elle contient une fonction arbitraire.

2. Par cette méthode on peut donc intégrer, en général, toute équation aux différences partielles du premier ordre dans laquelle ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire, quel que soit d’ailleurs le nombre des variables ; du moins l’intégration de ces sortes d’équations est ramenée à celle de quelques équations aux différences ordinaires ; mais on sait que l’art du Calcul intégral aux différences partielles ne consiste qu’à ramener ce Calcul à celui des différences ordinaires, et qu’on regarde une équation aux différences partielles comme intégré lorsque son intégrale ne dépend plus que de celle d’une ou de plusieurs équations différentielles ordinaires.

Quant à la démonstration de la méthode précédente, on peut la déduire des mêmes principes du numéro cité, et nous ne nous y arrêterons pas ; mais, pour ne laisser aucun doute sur la bonté de cette métlode, nous allons faire voir synthétiquement la justesse du résultat qu’elle donne.

3. Ne considérons, pour plus de simplicité, que l’équation entre trois variables

${\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}=\mathrm {Z} \,;$

on aura intégrer ces deux équations entre $x,y,z$

$dy-\mathrm {P} dx=0,\quad dz-\mathrm {Z} dx=0,$

dont les intégrales contiendront deux constantes arbitraires $\alpha ,\beta \,;$ regardant donc $\alpha$ et $\beta$ comme des fonctions de $x,y,z$ données par ces deux

équations, on aura, pour l’intégrale de l’équation proposée, celle-ci

$\alpha =\varphi (\beta ),$

$\varphi$ dénotant une fonction arbitraire.

Pour s’assurer maintenant si cette équation $\alpha =\varphi (\beta )$ est en effet l’intégrale de la proposée, il n’y a qu’à faire disparaître la fonction arbitraire au moyen de deux différentiationspartielles. On aura ainsi, en faisant varier successivement $x$ et $y,$

${\frac {d\alpha }{dx}}=\varphi '(\beta ){\frac {d\beta }{dx}},\quad {\frac {d\alpha }{dy}}=\varphi '(\beta ){\frac {d\beta }{dy}},$

d’où, en éliminant $\varphi '(\beta ),$ on tire

${\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=0.$

Or, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x,y,z,$ on aura en différentiant

$d\alpha =\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz,\quad d\beta =\mathrm {E} dx+\mathrm {F} dy+\mathrm {G} dz,$

d’où, en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ on tire

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\alpha }{dx}}=&\mathrm {A+C} {\frac {dz}{dx}},\qquad &{\frac {d\alpha }{dy}}=&\mathrm {B+C} {\frac {dz}{dy}},\\{\frac {d\beta }{dx}}=&\mathrm {E+G} {\frac {dz}{dx}},&{\frac {d\beta }{dy}}=&\mathrm {F+G} {\frac {dz}{dy}}.\end{alignedat}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on aura

$\left(\mathrm {A+C} {\frac {dz}{dx}}\right)\left(\mathrm {F+G} {\frac {dz}{dy}}\right)-\left(\mathrm {B+C} {\frac {dz}{dy}}\right)\left(\mathrm {E+G} {\frac {dz}{dx}}\right)=0.$

laquelle se réduit à

$\mathrm {(AF-BE)+(CF-BG)} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {(AG-CE)} {\frac {dz}{dy}}=0.$

Je considère maintenant que, puisque $\alpha$ et $\beta$ sont les constantes arbitraires des intégrales des deux équations

$dy-\mathrm {P} dx=0,\quad dz-\mathrm {Z} dx=0,$

il faut que ces équations soient identiques avec celles qui résultent de la supposition de

$d\alpha =0,\quad d\beta =0,$

c’est-à-dire avec celles-ci

$\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz=0,\quad \mathrm {E} dx+\mathrm {F} dy+\mathrm {G} dz=0\,;$

donc il faudra qu’en substituant dans ces dernières les valeurs de $dy$ et de $dz$ tirées des premières, savoir $\mathrm {P} dx$ et $\mathrm {Z} dx,$ on ait des équations identiques, lesquelles seront, en divisant par $dx,$

$\mathrm {A+BP+CZ=0,\quad E+FP+GZ} =0\,;$

ces équations donnent

$\mathrm {A=-BP-CZ,\quad E=-FP-GZ} ,$

donc

$\mathrm {AF-BE=-(CF-BG)Z,\quad AG-CE=-(BG-CF)P} \,;$

ces valeurs étant substituées dans l’équation ci-dessus, elle devient, en divisant par $\mathrm {CF-BG}$ qui en multiplie tous les termes,

$-\mathrm {Z} +{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}=0,$

qui est l’équation proposée.

4. Pour donner un exemple de la méthode précédente, soit proposée l’équation entre quatre variables

$(y+t+z){\frac {dz}{dx}}+(x+t+z){\frac {dz}{dy}}+(x+y+z){\frac {dz}{dt}}=x+y+t\,;$

on aura donc à intégrer ces trois équations particulières

${\begin{aligned}dy-\,{\frac {x+t+z}{y+t+z}}dx=&0,\\dt-{\frac {x+y+z}{y+t+z}}dx=&0,\\dz-{\frac {x+y+t}{y+t+z}}dx=&0\,;\end{aligned}}$

et, pour cet effet, j’en tire d’abord celles-ci

${\begin{aligned}dy-dx=&{\frac {x-y}{y+t+z}}dx,\\dt\,-dx=&{\frac {x-t}{y+t+z}}dx,\\dz-dx=&{\frac {x-z}{y+t+z}}dx,\\dx+dy\,+&dt+dz={\frac {3(x+y+t+z)dx}{y+t+z}}\,;\end{aligned}}$

d’où, éliminant ${\frac {dx}{y+t+z}},$ j’ai trois équations intégrables, et dont les intégrales seront

${\begin{aligned}(y-x)^{3}(x+y+t+z)=&\alpha ,\\(t\,-x)^{3}(x+y+t+z)=&\beta ,\\(z-x)^{3}(x+y+t+z)=&\gamma \,;\end{aligned}}$

de là on aura pour l’intégrale de la proposée

$\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ).$

5. Pour montrer maintenant l’usage de cette méthode dans la solution d’un Problème géométrique, je suppose qu’on demande l’équation générale de toutes les surfaces qui peuvent couper à angles droits une infinité de surfaces données, lesquelles ne diffèrent entre elles que par un paramètre constant dans la même surface, mais variable d’une surface à l’autre. Ce Problème est par rapport aux surfaces ce que le Problème connu des trajectoires rectangles est pour les lignes mais il est beaucoup plus difficile que ce dernier, à cause qu’il conduit à une équation aux différences partielles.

En effet soient $x,y,z$ les coordonnées rectangles de chacune des surfaces à couper ; on aura, par la nature de ces surfaces, une équation finie entre $x,y,z$ et le paramètre $a,$ laquelle étant différentiée, en faisant $a$ constant et éliminant $a,$ sera de la forme

$dz=pdx+qdy$

$(p$ et $q$ étant des fonctions finies et données de $x,y,z),$ et appartiendra en cet état à toutes les surfaces à couper.

Maintenant, comme dans les points d’intersection des surfaces les coordonnées doivent être les mêmes, on aura aussi dans ces points $x,y,z$ pour les coordonnées des surfaces coupantes ; et si l’on représente, en général par

$dz=rdx+sdy$

l’équation différentielle de chacune de ces surfaces, il n’est pas difficile de trouver par les méthodes connues que la condition du Problème, laquelle consiste en ce que les perpendiculaires aux deux surfaces représentées par les équations

$dz=pdx+qdy,\quad dz=rdx+sdy$

fassent entre elles un angle droit, il n’est pas difficile, dis-je, de trouver que cette condition donnera l’équation

$1+pr+qs=0\,;$

mais

$r={\frac {dz}{dx}},\quad s={\frac {dz}{dy}},$

par conséquent l’équation à résoudre ou à intégrer sera

$1+p{\frac {dz}{dx}}+q{\frac {dz}{dy}}=0,$

$p$ et $q$ étant des fonctions données de $x,y,z.$

Cette équation est, comme on voit, intégrable par notre méthode, et la difficulté se réduira à intégrer ces deux équations particulières en $x,y,z,$ savoir

$dy-{\frac {q}{p}}dx=0,\quad dz+{\frac {dx}{p}}=0,$

ou bien

$dx+pdz=0,\quad dy+qdz=0.$

Ces équations étant intégrées, et $\alpha ,\beta$ étant les deux constantes arbitraires, on fera

$\alpha =\varphi (\beta ),$

et il n’y aura plus qu’à éliminer $\alpha$ et $\beta$ au moyen des intégrales trouvées ; l’équation résultante sera celle de toutes les surfaces coupantes.

6. Supposons, par exemple, que les surfaces à couper soient sphériques, et qu’elles soient placées de manière qu’elles passent toutes par un même point, et que leurs centres soient placés sur une même ligne droite. Prenant ce point et cette ligne, l’un pour l’origine des coordonnées et l’autre pour l’axe des abscisses $x,$ et le rayon de la sphère pour le paramètre $a,$ on aura cette équation générale pour toutes les surfaces dont il s’agit

$2ax=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,;$

laquelle, étant divisée par $x$ et ensuite différentiée pour faire disparaître le paramètre $a,$ donnera

$\left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)dx+2xydy+2xzdz=0\,;$

en sorte qu’on aura

$p={\frac {y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2xz}},\quad q=-{\frac {y}{z}}.$

Les équations particulières à intégrer seront donc

$dx+{\frac {y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2xz}}dz=0,\quad dy-{\frac {y}{z}}dz=0\,;$

la seconde donne d’abord

$y=\alpha z,$

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura

$2xdx+{\frac {\left(\alpha ^{2}+1\right)z^{2}-x^{2}}{z}}dz=0,$

équation intégrale, étant divisée par $z,$ et dont l’intégrale sera

${\frac {x^{2}}{z}}+\left(\alpha ^{2}+1\right)z=\beta .$

Avant donc trouvé

$\alpha ={\frac {y}{z}},\quad \beta ={\frac {x^{2}}{z}}+\left(\alpha ^{2}+1\right)z={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z}},$

on aura, pour l’équation des surfaces coupantes,

${\frac {y}{z}}=\varphi \left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z}}\right),$

ou, ce qui revient au même,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=z\varphi \left({\frac {y}{z}}\right),$

$\varphi$ dénotant une fonction arbitraire.

7. Si l’on veut que les surfaces coupantes ne soient pas d’un ordure supérieur au second, il faudra supposer

$\varphi \left({\frac {y}{z}}\right)=2b+2c{\frac {y}{z}},$

et l’on aura alors l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2bz+2cy,$

laquelle appartient aussi à une surface sphérique passant par l’origine des coordonnées, mais dont le rayon sera ${\sqrt {b^{2}+c^{2}}},$ et dont le centre sera placé sur une droite menée par l’origine des coordonnées dans le plan des $y$ et $z,$ et faisant avec l’axe des $y$ un angle dont la tangente sera ${\frac {b}{c}}.$

Donc, puisque les constantes $b$ et $c$ sont arbitraires, toute surface sphérique, qui passera par l’origine des coordonnées et dont le centre sera placé dans le plan des $y$ et $z,$ coupera partout à angles droits toutes les sphères qui passeront par la même origine des coordonnées, et qui auront leurs centres placés dans l’axe des $x$ perpendiculaire au plan dont il s’agit.

De là résulte ce Théorème général, que : si par un point donné on mène deux droites perpendiculaires entre elles, et qu’on décrive deux sphères quelconque dont les surfaces passent par ce même point et dont les centres soient placés sur les deux lignes, ces surfaces se couperont partout à angles droits ; et, comme on peut mener par un même point trois droites perpendiculaires entre elles, il s’ensuit que si trois sphères quelconques ont leurs centres placés sur ces trois droites et que leurs surfaces passent. par le point de concours de ces droites, ces surfaces se couperont partout mutuellement à angles droits.

Au reste ce Théorème n’est pas difficile à démontrer par la Géométrie, et l’on peut prouver de plus que, si les droites sur lesquelles sont placés les centres des sphères forment entre elles des angles quelconques, les surfaces de ces sphères se couperont partout sous les mêmes angles ; ce qui suit évidemment de ce que deua sphères se coupent nécessairement dans tous les points de leurs surfaces sous le même angle.

8. On peut aussi généraliser et simplifier les méthodes des n^os 53 et 54 du même Mémoire.

Soit

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad z-px=u\,;$

on aura, en différentiant et en supposant toujours $z$ fonction de $x,y,t,\ldots ,$

$du=-xdp+{\frac {dz}{dy}}dy+{\frac {dz}{dt}}dt+\ldots .$

Mais, $p$ étant aussi fonction de $x,y,t,\ldots ,$ il est clair qu’on peut regarder $x$ et $z,$ et par conséquent aussi $u,$ comme fonctions de $p,y,t,\ldots \,;$, et dans cette hypothèse on aura

${\frac {du}{dp}}=-x,\quad {\frac {du}{dy}}={\frac {dz}{dy}},\quad {\frac {du}{dt}}={\frac {dz}{dt}},\ldots .$

Donc, si l’on a une équation de la forme

$-x+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} .$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données de ${\frac {dz}{dx}},y,t,\ldots ,z-x{\frac {dz}{dx}},$ on pourra par les substitutions précédentes lui

donner cette autre forme

${\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ seront des fonctions données de $p,y,t,\ldots ,u.$

Or cette dernière équation est intégrable par la méthode précédente, et l’on peut en conséquence trouver la valeur de $u$ en fonction de $p,y,t,\ldots \,;$, d’où, en différentient par rapport à $p,$ on tirera aussi celle de ${\frac {du}{dp}}$ en $p,y,t,\ldots .$ On aura donc ainsi les valeurs de $z-px$ et de $x$ en $p,y,t,\ldots \,;$ d’où, éliminant $p,$ on aura une équation en $z,x,y,t,\ldots$ qui sera l’intégrale de l’équation proposée.

9. Soit

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q,\quad z-px-qy=u\,;$

on aura en différentiant

$du=-xdp-ydq+{\frac {dz}{dt}}+\ldots \,;$

donc, regardant $x,y,z$ et $u$ comme fonctions de $p,q,t,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dp}}=-x,\quad {\frac {du}{dq}}=-y,\quad {\frac {du}{dt}}={\frac {dz}{dt}},\ldots .$

Donc, si l’on a une équation de la forme

$-x-\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données de ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},t\ldots ,z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}},$ on pourra par les substitutions précédentes la changer en une équation de la forme suivant

${\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dq}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ seront des fonctions données de $p,q,t,\ldots ,u.$

Cette équation étant intégrable par la méthode donnée ci-dessus, on aura la valeur de $u$ en $p,q,t,\ldots \,;$ et, différentiant successivement par rapport à $p$ et $q,$ on aura aussi les valeurs de ${\frac {du}{dp}}$ et de ${\frac {du}{dq}}$ en $p,q,t,\ldots .$ On aura ainsi les valeurs de $z-px-qy,$ de $x$ et de $y$ en $p,q,t,\ldots \,;$ d’où, chassant $p$ et $q,$ on aura une équation en $z,x,y,t,\ldots$ qui sera l’intégrale de la proposée.

On pourra intégrer de même les équations de la forme

$-x-\mathrm {P} y-\mathrm {Q} t+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans lesquelles $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ seraient des fonctions connues de ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},{\frac {dz}{dt}},$$\ldots ,z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}-t{\frac {dz}{dt}}\,;$ et ainsi de suite.

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 5.
2. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 5.
3. Il n’est question, dans cet Article, que de la génération des surfaces par des lignes d’une nature donnée, assujetties à la condition d’être tangentes à une même courbe. C’est en se plaçant ainsi exclusivementau point de vue des surfaces enveloppes, que Lagrange regarde comme nécessaire, dans le n^o 3, la rencontre de deux génératrices infiniment voisines d’une surfaces réglée. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)
4. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 75.
5. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 82.