Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur une manière particulière d’exprimer le temps dans les sections coniques

Joseph-Louis Lagrange

Sur une manière particulière d’exprimer le temps dans les sections coniques, décrites par des forces tendantes au foyer et réciproquement proportionnelles aux carrés des distances

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 559-582).

SUR

UNE MANIÈRE PARTICULIÈRE

D’EXPRIMER LE TEMPS DANS LES SECTIONS CONIQUES,

DÉCRITES PAR DES FORCES TENDANTES AU FOYER ET RÉCIPROQUEMENT PROPORTIONNELLES AUX CARRÉS DES DISTANCES.

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1778.)

1. Feu M. Lambert, dans son excellent Traité sur les Propriétés des Orbites des Comètes, a démontré ce beau Théorème, que dans les ellipses décrites par des forces tendantes vers l’un des foyers, et agissantes en raison inverse du carré des distances, le temps employé à parcourir un arc quelconque ne dépend que du grand axe, de la corde qui sous-tend l’arc parcouru, et de la somme des rayons vecteurs qui joignent les deux extrémités de cet arc ; en sorte que ces trois éléments étant supposés les mêmes, le temps sera aussi le même, quelle que soit d’ailleurs la forme de l’ellipse.

La démonstration qu’il en donne est purement synthétique, et dépend d’une transformation ingénieuse des secteurs elliptiques de laquelle il résulte que si, dans différentes ellipses qui aient le même grand axe, on prend des secteurs tels que les cordes et les sommes des deux rayons vecteurs soient les mêmes, ces secteurs sont proportionnels aux racines carrées des paramètres respectifs ; d’où il s’ensuit que les temps employés à parcourir les arcs de ces secteurs doivent être les mêmes, puisqu’en général le temps est comme l’aire du secteur divisée par la racine carrée du paramètre.

Ce Théorème offre, comme l’on voit, un moyen de ramener la détermination du temps par un arc d’une ellipse donnée à celle du temps par un arc d’une autre ellipse quelconque qui ait le même grand axe, et même au temps par une partie de ce grand axe, en supposant que l’ellipse se confonde avec l’axe par l’évanouissement de l’axe conjugué, et qu’un corps tombe par le même axe en partant d’une de ses extrémités, et étant continuellement attiré vers l’autre par la même force centrale par laquelle il circulerait dans l’ellipse ; et comme dans ce dernier cas l’arc se confond avec sa corde, qui devient égale à la différence des deux rayons vecteurs, il s’ensuit que si l’on nomme a le grand axe de l’ellipse proposée, $b$ la somme des deux rayons vecteurs qui répondent aux deux bouts de l’arc parcouru, $c$ la corde sous-tendue par cet arc, le temps employé à parcourir ce même arc sera égal au temps qu’un corps, qui parcourrait l’axe $a$ de la manière que nous avons dite, mettrait à s’approcher de l’extrémité inférieure de cet axe, depuis la distance ${\frac {b+c}{2}}$ jusqu’à la distance ${\frac {b-c}{2}}.$ Or en considérant la chute rectiligne d’un corps poussé vers un point fixe par une force ${\frac {\mathrm {F} }{z^{2}}},$ $z$ étant la distance du corps à ce point, on trouve aisément que si ce corps part du repos à la distance $a,$ le temps employé à arriver à la distance $z$ sera exprimé par

${\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {zdz}{\sqrt {z-{\cfrac {z^{2}}{a}}}}}\,;$

donc si l’on fait

${\frac {b+c}{2}}=p,\quad {\frac {b-c}{2}}=q,$

on aura, pour le temps employé à décrire l’arc d’ellipse qui sous-tend la corde $c,$ la différence de ces deux intégrales

${\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {pdp}{\sqrt {p-{\cfrac {p^{2}}{a}}}}}-{\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {qdq}{\sqrt {q-{\cfrac {q^{2}}{a}}}}}\,;$

expression qui est surtout remarquable en ce qu’elle ne dépend que du grand axe de l’ellipse proposée et nullement de son excentricité, et qui fournit par conséquent un moyen facile de réduire en Table la détermination du temps employé à parcourir un arc d’une orbite elliptique quelconque car si l’on fait

${\frac {b+c}{2a}}=r,\quad {\frac {b-c}{2a}}=s,$

en sorte que

$p=ar,\quad q=as,$

le temps répondant à la corde $c$ dans l’ellipse dont le grand axe est $a$ sera exprimé par

${\frac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\left(\int {\frac {rdr}{\sqrt {r-r^{2}}}}-\int {\frac {sds}{\sqrt {s-s^{2}}}}\right)\,;$

or lorsque $c=a,$ auquel cas on a aussi $b=a,$ $r$ devient $=1$ et $s=0,$ et l’on a le temps depuis une apside à l’autre, c’est-à-dire le temps de la demi-révolution ; donc, si l’on construit une Table qui, pour chaque valeur de $y$, depuis $y=0$ jusqu’à $y=1,$ donne la valeur correspondante de

$\int {\frac {ydy}{\sqrt {y-y^{2}}}}$

divisée par le double de la valeur qui répond à $y=1,$ on n’aura qu’à prendre dans cette Table la différence des nombres qui répondent à

$y={\frac {b+c}{2a}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {b-c}{2a}}$

et multiplier ensuite cette différence par le temps de la révolution entière dans l’ellipse proposée, pour avoir sur-le-champ le temps répondant à l’arc sous-tendu par la corde $c$.

Dans le troisième Volume des Tables Astronomiques de l’Académie, page 25, on trouve une pareille Table sous le nom de Chute elliptique des Comètes, dans laquelle la première colonne, intitulée Distances, représente les valeurs de $y$ en millièmes parties, et la seconde colonne, intitulée Temps, donne les nombres correspondants en parties millionièmes.

Ce que je viens de dire suffit pour faire sentir l’utilité du Théorème dont il s’agit ; mais ce Théorème mérite particulièrement l’attention des Géomètres par lui-même, et parce qu’il paraît difficile d’y parvenir par le calcul ; en sorte qu’on pourrait le mettre dans le petit nombre de ceux pour lesquels l’Analyse géométrique semble avoir de l’avantage sur l’Analyse algébrique. Il est vrai que dans mes Recherches sur le mouvement d’un corps attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces en raison inverse des carrés des distances [voyez le tome IV des Mémoires de Turin^[1]], j’ai été conduit à ce même Théorème, en supposant que la force qui agit vers l’un des centres s’évanouisse, et que ce même centre soit placé sur la circonférence de la section conique que le corps décrit alors ; mais cette méthode est indirecte et demande des calculs assez compliqués ; elle est par conséquent peu convenable pour démontrer un Théorème qui se distingue surtout par sa simplicité. J’ai donc cru qu’il serait avantageux aux progrès de l’Analyse d’avoir une voie plus simple et plus naturelle pour parvenir à ce but, et je me flatte que celle que je vais proposer ne laissera rien à désirer sur ce sujet et pourra même être utile dans plusieurs autres occasions.

2. Soient $a$ le demi-grand axe de l’ellipse proposée, $e$ son excentricité, $\varphi$ l’anomalie excentrique qui répond à une anomalie vraie quelconque $u,$ $t$ le temps employé à décrire l’angle $u\,;$ on sait que

$t=a^{\frac {3}{2}}(\varphi +e\sin \varphi ),$

le rapport entre $\varphi$ et $u$ étant donné par l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {u}{2}},$

et le rayon vecteur $r$ étant exprimé ainsi par $\varphi$

$r=a(1+e\cos \varphi ).$

Ces propositionssont démontrées dans tous les livres d’Astronomie.

Par le Théorème de M. Lambert, le temps par un arc quelconque de cette ellipse est réduit à la différence des temps par deux arcs d’une autre ellipse qui ait le même grand axe $2a,$ mais dont l’excentricité $e$ soit égale à $1,$ ce qui réduit l’ellipse au grand axe en y faisant évanouir l’axe conjugué dont la valeur est $a{\sqrt {1-e^{2}}},$ et par conséquent zéro lorsque $e=1.$

Soit $\alpha$ la valeur de $\varphi$ui répond au commencement de l’arc pour lequel on demande le temps, on aura

$a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]$

pour le temps par l’arc dont le commencement répond à l’anomalie excentrique $\alpha ,$ et dont la fin répond à l’anomalie excentrique $\varphi .$ Il faut donc réduire cette expression à la différence de deux expressions de la forme

$a^{\frac {3}{2}}(\varphi +\sin \varphi )\,;$

donc, si l’on dénote par $x$ et $y$ les deux anomalies, excentriques dans l’ellipse où $e=1,$ on aura

$a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]=a^{\frac {3}{2}}(x+\sin x)-a^{\frac {3}{2}}(y+\sin y).$

Donc, comparant ensemble les parties algébriques et les parties transcendantes, on aura ces deux équations

${\begin{aligned}&\varphi -x=x-y,\\&e(\sin \varphi -\sin \alpha )=\sin x-\sin y\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $x$ et $y$ en, ce qui n’a point de difficulté.

En effet, si l’on met la deuxième sous cette forme

$e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}},$

qu’ensuite on y substitue pour ${\frac {x-y}{2}}$ sa valeur ${\frac {\varphi -\alpha }{2}}$ tirée de la première équation, on aura

$e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}\,;$

mais

$\sin \varphi -\sin \alpha =2\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\,;$

donc, divisant de part et d’autre par $2sin{\frac {\varphi -\alpha }{2}},$ on aura

$\cos {\frac {x+y}{2}}=e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\,;$

d’où l’on tire

$\sin {\frac {x+y}{2}}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}\,;$

de là, et de ce que

$\sin {\frac {x-y}{2}}=\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}},\quad \cos {\frac {x-y}{2}}=\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}},$

on tirera sur-le-champ

${\begin{aligned}\sin x=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}+e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\sin y=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}-e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\cos x=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}},\\\cos y=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$

Ainsi l’on connaîtra par ces formules les arcs cherchés $x$ et $y$ en $\varphi$ et $\alpha .$

3. Je remarque maintenant que $r$ étant le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique $\varphi$ dans l’ellipse proposée, si l’on nomme pareillement $\rho$ le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique dans la même ellipse, on aura

$r=a(1+e\cos \varphi ),\quad \rho =a(1+e\cos \alpha ),$

d’où l’on tire

$e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}=e{\frac {\cos \varphi +\cos \alpha }{2}}={\frac {r+\rho }{2a}}-1.$

De plus, $u$ étant l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique $\varphi ,$ si l’on nomme aussi $v$ l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique $\alpha ,$ on aura

$\operatorname {tang} {\frac {u}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {v}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}},$

et il est clair que $u-v$ sera l’angle intercepté entre les rayons $r$ et $\rho \,;$ de sorte que, si l’on nomme encore $\delta$ la corde qui joint les extrémités des rayons $r$ et $\rho ,$ on aura, par la Trigonométrie,

$\delta ^{2}=r^{2}+\rho ^{2}-2r\rho \cos(u-v).$

Qu’on substitue dans cette expression à la place de $r,\rho$ et de $u,v$ leurs valeurs en $\varphi$ et $\alpha \,;$ et pour cela on remarquera que les expressions ci-dessus de $\operatorname {tang} {\frac {u}{2}}$ et $\operatorname {tang} {\frac {v}{2}}$ donnent

$\sin u={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \varphi }{r}},\quad \cos u=a{\frac {e+\cos \varphi }{r}},$

et de même

$\sin v={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \alpha }{\rho }},\quad \cos v=a{\frac {e+\cos \alpha }{\rho }},$

de sorte que, comme

$\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v,$

on trouvera

${\begin{aligned}r\rho \cos(u-v)=&a^{2}\left[(e+\cos \varphi )(e+\cos \alpha )+\left(1-e^{2}\right)\sin \varphi \sin \alpha \right]\\=&a^{2}\left[\cos(\varphi -\alpha )+e(\cos \varphi ++\cos \alpha )+e^{2}(1-\sin \varphi \sin \alpha )\right]\,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r^{2}+\rho ^{2}=&a^{2}\left[(1+e\cos \varphi )^{2}+(1+e\cos \alpha )^{2}\right]\\=&a^{2}\left[2+2e(\cos \varphi +\cos \alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha \right)\right]\,;\end{aligned}}$

donc enfin, on aura

${\begin{aligned}\delta ^{2}=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha -2+2\sin \varphi \sin \alpha \right)\right]\\=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )-e^{2}(\sin \varphi -\sin \alpha )^{2}\right]\\=&4a^{2}\left(\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}-e^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}\right),\end{aligned}}$

et, tirant la racine carrée,

$\delta =2a\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.$

Faisant donc ces substitutions dans les expressions ci-dessus de $\cos x$ et $\cos y,$ on aura

${\begin{aligned}\cos x=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}}-1,\\\cos y=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}-1,\\\end{aligned}}$

et de là

${\begin{aligned}a(1+\cos x)=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\\a(1+\cos y)=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}.\end{aligned}}$

Or $x$ et $y$ étant deux anomalies excentriques dans l’ellipse où $e=1,$ si l’on nomme $p$ et $q$ les rayons vecteurs correspondants, on aura

$p=a(1+\cos x),\quad q=a(1+\cos y),$

donc

$p={\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\quad q={\frac {r+\rho +\delta }{2a}},$

et le temps employé à parcourir l’arc sous-tendu par la corde $\delta$ dans l’ellipse dont l’excentricité est $e$ sera égal à la différence des temps qui répondent aux rayons vecteurs $p$ et $q$ dans l’ellipse où $e=1\,;$ mais nous avons déjà vu que cette ellipse se confond avec l’axe, et que ses deux foyers tombent aux extrémités de l’axe $2a\,;$ donc le temps dont il s’agit sera égal au temps employé à parcourir dans cet axe la partie interceptée entre les abscisses $p$ et $q\,;$ ce qui est le Théorème de M. Lambert.

4. Quoique la démonstration précédente soit assez simple, il semble qu’on pourrait la simplifier encore, en employant immédiatement le rayon vecteur à la place de l’anomalie excentrique ; nous allons donc envisager la question de cette manière, et sans faire usage des propriétés connues de l’anomalie excentrique.

Pour cela nous remarquerons que le temps employé à décrire un arc quelconque d’une section conique, par un corps attiré vers l’un des foyers de cette section en vertu d’une force en raison inverse du carré de la distance, est toujours proportionnel à l’aire du secteur compris par l’arc dont il s’agit et les deux rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de cet arc, divisée par la racine carrée du paramètre de la section conique ; c’est ce que Newton a démontré le premier, et une foule d’Auteurs après lui.

Or, si l’on nomme $r$ le rayon vecteur, $\varphi$ l’angle de ce rayon avec le grand axe, $p$ le demi-paramètre de l’orbite, $e$ son excentricité, on a par la nature de l’ellipse

$r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }}\,;$

donc, comme l’élément du secteur décrit par le rayon $r$ est exprimé par ${\frac {r^{2}d\varphi }{2}},$ si l’on substitue dans cette expression la valeur de $d\varphi$ en $r$ tirée de l’équation précédente, et qu’on la divise par ${\frac {\sqrt {p}}{2}},$ on aura l’élément du temps employé à parcourir l’arc $d\varphi$ égal à la quantité

${\frac {{\sqrt {p}}dr}{\sqrt {e^{2}-1+{\cfrac {2p}{r}}-{\cfrac {p^{2}}{r^{2}}}}}}.$

Mais, en nommant $a$ le demi-grand axe de l’ellipse, on a

$p=a\left(1-e^{2}\right)\,;$

substituant donc ${\frac {p}{a}}$ à la place de $1-e^{2},$ et multipliant le haut et te bas de la fraction par ${\frac {r}{\sqrt {p}}},$ on aura, pour l’élément dont il s’agit,

${\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}.$

Donc, si l’on fait

$r=az,$

et qu’on remette $1-e^{2}$ à la place de ${\frac {p}{a}},$ on aura cette formule différentielle

${\frac {a^{\frac {3}{2}}zdz}{\sqrt {e^{2}-1+2z-z^{2}}}},$

dont l’intégrale prise, par exemple, depuis $z=m$ jusqu’à $z=n,$ donnera le temps employé à parcourir l’angle compris entre les rayons vecteurs $ma$ et $na.$

5. Soit

$z=1-u,$

la formule précédente deviendra

${\frac {a^{\frac {3}{2}}(udu-du)}{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}},$

dont l’intégrale est évidemment

$a^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}\right)\,;$

et la question se réduira à faire en sorte que la différence de deux intégrales de cette espèce pour deux différentes valeurs de $u$ soit égale à la différence de deux autres intégrales semblables, mais dans lesquelles la constante $e$ soit $=1.$ Ainsi il faudra satisfaire à l’équation

${\begin{aligned}&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}+{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\\&\quad =\operatorname {arc} \cos x-{\sqrt {1-x^{2}}}-\operatorname {arc} \cos y+{\sqrt {1-y^{2}}},\end{aligned}}$

laquelle, en comparant la partie algébrique avec la partie algébrique et la transcendante avec la transcendante, se partage en ces deux-ci

${\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}-{\sqrt {1-y^{2}}},\\&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}=\operatorname {arc} \cos x-\operatorname {arc} \cos y,\end{aligned}}$

dont la seconde donne par les Théorèmes connus

${\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\,;$

et ces deux équations serviront à déterminer $x$ et $y$ en $s$ et $u.$

6. Faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}=m,\\&{\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=n,\end{aligned}}$

et les équations dont il s’agit deviendront

(1)

${\sqrt {1-x^{2}}}-{\sqrt {1-y^{2}}}=m,$

(2)

$xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}=n.$

Or l’équation (1) étant carrée et ensuite ajoutée à l’équation (2) multipliée par $2,$ on aura

$2-x^{2}-y^{2}+2xy=m^{2}+2n\,;$

d’où l’on tire sur-le-champ

$x-y={\sqrt {2-2n-m^{2}}}.$

Ensuite l’équation (1) étant multipliée par ${\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-y^{2}}}$ et divisée par $m$ donne

${\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {y^{2}-x^{2}}{m}}\,;$

cette équation étant carrée et ensuite retranchée de l’équation (2) multipliée par $2,$ on a

$2xy-2+x^{2}+y^{2}=2n-{\frac {\left(y^{2}-x^{2}\right)^{2}}{m^{2}}},$

savoir

$(x+y)^{2}=2+2n-{\frac {(x+y)^{2}(x-y)^{2}}{m^{2}}},$

et, substituant pour $(x-y)^{2}$ sa valeur ci-dessus,

$(x+y)^{2}=2+2n-(x+y)^{2}{\frac {2-2n-m^{2}}{m^{2}}},$

d’où l’on tire immédiatement

$x+y=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}.$

Ainsi, connaissant la somme et la différence de $x$ et $y,$ on aura chacune de ces deux quantités.

Donc le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs $a(1-u),a(1-s),$ dans une ellipse dont le demi-grand axe serait $a$ et l’excentricité $e,$ sera égal au temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs $a(1-x),a(1-y),$ dans une autre ellipse qui aurait le même grand axe et où l’excentricité serait $1,$ c’est-à-dire égale au temps employé à parcourir dans le grand axe même la différence de ces rayons.

7. Il reste encore à prouver qu’en nommant $aq$ la corde qui joint les deux rayons vecteurs $a(1-u)$ et $a(1-s),$ on aura

$a(1-x)={\frac {a(1-u)+a(1-s)-aq}{2}},\ \ a(1-y)={\frac {a(1-u)+a(1-s)+aq}{2}},$

savoir

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.$

Pour cela je remarque d’abord que l’on a entre ${\frac {u}{e}},{\frac {s}{e}},{\frac {m}{e}},$ $n$ les mêmes équations qu’entre $x,y,m,n,$ ce qui est visible par les premières formules du numéro précédent ; donc, en changeant ces dernières quantités en celles-là dans les formules finales du même numéro, on aura aussi

${\frac {u-s}{e}}={\sqrt {2-2n-{\frac {m^{2}}{e^{2}}}}},\quad {\frac {u+s}{e}}={\frac {m}{e}}{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}},$

savoir

$u-s={\sqrt {(2-2n)e^{2}-m^{2}}},\quad u+s=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}\,;$

mais on a

$x-y={\sqrt {2-2n-m^{2}}},\quad x+y=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}\,;$

donc

$x+y=u+s,\quad x-y={\frac {\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)m^{2}}}{e}}.$

Pour introduire maintenant la corde $aq,$ je remarque que si l’on nomme $\xi$ et $\eta$ les coordonnées rectangles de l’ellipse prises depuis le foyer et dont l’une soit dans le grand axe, on aura

$\xi ^{2}+\eta ^{2}=r^{2},\quad \xi =r\cos \varphi \,;$

de sorte que, par l’équation de l’ellipse

$p=r(1+e\cos \varphi ),$

on aura

$p=r+e\xi \,;$

donc

$\xi ={\frac {p-r}{e}},\quad \eta ={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {p-r}{e}}\right)^{2}}}\,;$

mettant $a\left(1-e^{2}\right)$ à la place de $p$ et $az=a(1-u)$ à la place de $r,$ on aura

$\xi ={\frac {a}{e}}\left(u-e^{2}\right),\quad \eta ={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}\,;$

nommant de même $\xi ',\eta '$ les coordonnées qui répondent au rayon vecteur $a(1-s),$ on aura

$\xi '={\frac {a}{e}}\left(s-e^{2}\right),\quad \eta '={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\,;$

or il est évident que la corde qui joint les extrémités des deux rayons est

${\sqrt {(\xi -\xi ')^{2}+(\eta -\eta ')^{2}}}\,;$

donc, ayant déjà nommé cette corde $aq,$ on aura

$q={\frac {\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left({\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\right)^{2}}}{e}},$

et par conséquent

$q=x-y.$

Ayant donc

$x+y=u+s,\quad x-y=q,$

on aura

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.$

Cette démonstration du Théorème dont il s’agit a, ce me semble, toute la simplicité qu’on y peut désirer.

8. De là résulte donc ce Théorème analytique assez remarquable,

${\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}-{\frac {\rho d\rho }{\sqrt {-p+2\rho -{\cfrac {\rho ^{2}}{a}}}}}={\frac {zdz}{\sqrt {2z-{\cfrac {z^{2}}{a}}}}}-{\frac {\zeta d\zeta }{\sqrt {2\zeta -{\cfrac {\zeta ^{2}}{a}}}}},$

en supposant

$r=a(1-u),\quad \rho =a(1-s),\quad z=a(1-x),\quad \zeta =a(1-y),$

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}$

et

$q={\frac {1}{e}}{\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left({\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\right)^{2}}},$

ce qui donne

$u=1-{\frac {r}{a}},\quad s=1-{\frac {\rho }{a}},\quad x=1-{\frac {r+\rho +aq}{2a}},\quad y=1-{\frac {r+\rho -aq}{2a}}\,;$

donc

$z={\frac {r+\rho +aq}{2}},\quad \zeta ={\frac {r+\rho -aq}{2}}$

et

$aq={\frac {1}{e}}{\sqrt {(r-\rho )^{2}+p\left({\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{a}}}}-{\sqrt {-p+2\rho -{\frac {\rho ^{2}}{a}}}}\right)^{2}}}.$

9. Voyons maintenant comment on peut généraliser ce Théorème, et, considérant pour cela la formule différentielle

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}},$

cherchons à la réduire à la somme ou à la différence d’autres formules semblables qui contiennent des coefficients arbitraires. Pour y parvenir de la manière la plus générale et la plus simple, je suppose

${\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}=\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s,$

$s$ étant une nouvelle variable, et $\mathrm {A,B,C}$ des coefficients constants quelconques il est clair qu’en ôtant l’irrationnalité, on aura une équation du second degré entre $r$ et $s.$ De cette manière la différentielle proposée se changera d’abord en celle-ci

${\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}.$

Maintenant je prends deux autres variables $x$ et $y$ et je suppose

$r=x+y,\quad s=xy,$

en sorte que les quantités $r$ et $s$ demeurent les mêmes en échangeant $x$ et $y$ entre elles ; on aura ainsi

$s=rx-x^{2}=ry-y^{2}.$

Or l’équation entre $r$ et $s$ étant carrée et ensuite différentiée donne

$\left[\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2\mathrm {B} (\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)\right]dr-2\mathrm {C} (\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)ds=0\,;$

mais

$ds=xdr+(r-2x)dx=xdr+(y-x)dx\,;$

donc, substituant,

$\left[\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)\right]dr-2\mathrm {C} (y-x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)dx=0\,;$

donc, à cause de

$r=x+y,$

on aura

${\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {2\mathrm {C} \left(y^{2}-x^{2}\right)dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}},$

Changeant $x$ en $y,$ on aura done aussi

${\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {2C\left(x^{2}-y^{2}\right)dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}},$

par conséquent

$0={\frac {dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}$

$+{\frac {dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}\,;$

donc, en prenant une quantité quelconque $h,$ on aura, en général,

${\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}$

$=-{\frac {2\mathrm {C} \left(x^{2}+h\right)dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}$

$-{\frac {2\mathrm {C} \left(y^{2}+h\right)dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}.$

Maintenant j’ai, à cause de $s=rx-x^{2},$

${\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}=\mathrm {A} +(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)r-\mathrm {C} x^{2},$

d’où l’on tirera $r$ en $x.$

Pour cela je carre cette équation et je l’ordonne par rapport à $r\,;$ j’ai

$\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]r^{2}+\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)\right]r+\mathrm {H} -\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)^{2}=0\,;$

d’où je tire, en multipliant par $4\mathrm {N} -4(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2},$ complétant le carré et extrayant la racine,

$2\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]r+\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)={\sqrt {\mathrm {X} }},$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} =\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)\right]^{2}-4\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]\left[\mathrm {H} -\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)^{2}\right]\,;$

or le premier membre de l’équation précédente se réduit à

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {B} r+\mathrm {C} rx+\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right),$

savoir à

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s\right),$

Ainsi l’on a

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {X} }},$

et, changeant $x$ en $y,$ on aura pareillement

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }},$

où $\mathrm {Y}$ sera une fonction de $y$ semblable à la fonction $\mathrm {X}$ de $x,$ en sorte que l’on aura

$\mathrm {Y} =\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})\right]^{2}-4\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)^{2}\right]\left[\mathrm {H} -(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})^{2}\right],$

et l’on remarquera que l’on peut prendre dans les équations précédentes les radicaux en $+$ ou $-$ en à volonté.

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, et prenant le radical ${\sqrt {\mathrm {X} }}$ en $-$ et le radical ${\sqrt {\mathrm {Y} }}$ en $+,$ on aura enfin

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {2\mathrm {C} (x^{2}+h)dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}-{\frac {2\mathrm {C} (y^{2}+h)dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

$h$ étant une quantité quelconque ; où l’on voit qu’en supposant $h$ constante, la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles analogues, mais beaucoup plus générales.

10. Si l’on développe la quantité $\mathrm {X} ,$ et qu’on fasse, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN-ABM-A^{2}N-HB^{2}}{C^{2}}} ,\\b=&-\mathrm {\frac {MA+2HB}{C}} ,\\c=&\mathrm {{\frac {MB-2NA}{C}}-4H} ,\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {X} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}\right),$

et pareillement

$\mathrm {Y} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}\right)\,;$

donc, substituant dans la formule du numéro précédent, on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}=$

${\frac {(x^{2}+h)dx}{\sqrt {a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}}}}-{\frac {(y^{2}+h)dy}{\sqrt {a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}}}}\,;$

et, comme les quantités $a,b,c$ renferment les trois constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,$ on pourra regarder ces quantités elles-mêmes comme des constantes arbitraires ; et la constante $h$ sera pareillement arbitraire.

11. En regardant les quantités $a,b,c$ comme données, on aura par les formules ci-dessus

$\mathrm {\frac {A}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} b+2\mathrm {H} (c+4\mathrm {H} )}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},\quad \mathrm {\frac {B}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} (c+4\mathrm {H} )-2\mathrm {N} b}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},$

ensuite

$c={\frac {\mathrm {\sqrt {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN}} }{\sqrt {a+\mathrm {M{\cfrac {A}{C}}{\cfrac {B}{C}}+N{\cfrac {A^{2}}{C^{2}}}+H{\cfrac {B^{2}}{C^{2}}}} }}}\,;$

ainsi l’on connaîtra les trois quantités $\mathrm {A,B,C}$ en $a,b,c,\ldots$ $\mathrm {M,N,H} .$

Ensuite, pour la détermination de $x$ et $y$ en $r,$ on aura d’abord

$s={\frac {{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}-\mathrm {A} -\mathrm {B} r}{\mathrm {C} }}\,;$

mais

$x+y=r,\quad xy=s\,;$

donc

$x={\frac {r+{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}},\quad y={\frac {r-{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}}.$

Si donc on fait

${\sqrt {r^{2}-4s}}=u,$

on aura

$x={\frac {r+u}{2}},\quad y={\frac {r-u}{2}},$

et la quantité $u$ sera

$u={\sqrt {\frac {4\mathrm {A} +4\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}-{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}{\mathrm {C} }}}.$

12. Comme les constantes $a,b,c,h$ sont arbitraires, on peut les supposer nulles ; on aura alors

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {xdx}{\sqrt {\mathrm {M} x+\mathrm {N} x^{2}}}}-{\frac {ydy}{\sqrt {\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}}}}.$

Ainsi la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles semblables dans lesquelles $\mathrm {H} =0\,;$ ce qui revient au cas du Théorème de M. Lambert.

Mais on peut faire cette même réduction d’une manière plus générale en supposant

$h=-k^{2},$

$a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}=(x-k)^{2}\left[l+\mathrm {M} (x+k)+\mathrm {N} (x+k)^{2}\right]\,;$

ce qui donne^[2]

$a+bx+cx^{2}=l(x-k)^{2}+\mathrm {M} \left(-kx^{2}-k^{2}x+k^{3}\right)+\mathrm {N} \left(-2k^{2}x^{2}+k^{4}\right),$

et par conséquent

$a=lk^{2}+\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=-2lk-\mathrm {M} k^{2},\quad c=l-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2}\,;$

de cette manière, si l’on fait, pour abréger,

$x+k=x',\quad y+k=y',$

on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {l+\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {l+\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}}\,;$

et supposant $l=0,$ ce qui donne

$a=\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=0,\quad c=-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2},$

on aura les mêmes formules que ci-dessus, mais avec cette différence que les variables $x'$ et $y'$ contiendront encore la constante arbitraire $k$.

13. Je vais faire voir maintenant que l’équation entre $u$ et $r$ du n^o 11 est celle d’une ellipse dans laquelle $r$ serait le rayon vecteur partant d’un des foyers, et où $u$ serait un autre rayon vecteur partant d’un autre point fixe quelconque placé dans le plan de l’ellipse ou non.

En nommant, comme plus haut, $p$ le paramètre, $e$ l’excentricité, $r$ le rayon vecteur, $\xi$ et $\eta$ les coordonnées rectangles, on a, comme on sait, cette équation à l’ellipse

$r+e\xi =p\,;$

d’où l’on tire, à cause de $r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2},$

$\xi ={\frac {p-r}{e}},\quad \eta ={\frac {\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}{e}}.$

Soient maintenant $\alpha ,\beta ,\gamma$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre des rayons vecteurs $u,$ on aura évidemment

$u^{2}=(\xi -\alpha )^{2}+(\eta -\beta )^{2}+\gamma ^{2},\quad {\text{savoir}}\quad u^{2}=r^{2}-2\alpha \xi -2\beta \eta +\delta ^{2}\,;$

en faisant, pour abréger,

$\delta ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},$

et substituant pour $\xi$ et $\eta$ leurs valeurs en $r,$

$u^{2}=r^{2}+{\frac {2\alpha }{e}}r-{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}-{\frac {2\beta }{e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}.$

Cette expression de $u^{2}$ en $r$ est, comme on voit, tout à fait semblable à celle du n^o 11, et, comparant les termes homologues, on aura

${\frac {2\alpha }{e}}=\mathrm {\frac {4B}{C}} ,\quad -{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}=\mathrm {\frac {4A}{C}} ,\quad {\frac {-\beta ^{2}p^{2}}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4H}{C^{2}}} ,\quad {\frac {\beta ^{2}p}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4M}{C^{2}}} ,$

${\frac {-\beta ^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4N}{C^{2}}} \,;$

et ces cinq équations serviront à déterminer les cinq quantités $p,e,\alpha ,$$\beta ,\gamma ,$ dont les deux premières déterminent l’ellipse, et dont les trois dernières déterminent la position du centre des rayons $u$ par rapport au plan de l’ellipse et au foyer des rayons $r$.

Dans ce cas le radical ${\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}$ devient

${\frac {\mathrm {C} \beta }{2e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}},$

ou, nommant le demi-grand axe $\varpi ,$ et mettant ${\frac {p}{\varpi }}$ à la place de $1-e^{2},$

${\frac {\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}{2e}}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}\,;$

de sorte que la différentielle

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}$

deviendra

${\frac {2e}{\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}}{\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}},$

c’est-à-dire proportionnelle à l’élément du temps dans la même ellipse (4).

Donc on peut représenter ce temps par la différence de deux expressions de la forme

$\int {\frac {(z^{2}+h)dz}{\sqrt {a+bz+cz^{2}+2z^{3}-{\cfrac {z^{4}}{\varpi }}}}},$

les quantités $a,b,c,h$ étant des constantes arbitraires, et la variable $z$ étant dans l’une des deux expressions la somme, et dans l’autre la différence de deux rayons vecteurs de l’ellipse, dont l’un parte à l’ordinaire du foyer, et dont l’autre parte d’un autre point fixe quelconque dépendant des constantes $a,b,c.$

14. Si l’on suppose que le centre des rayons $u$ tombe sur la circonférence même de l’ellipse, alors on aura $\gamma =0$ et entre $\alpha ,\beta$ la même équation qu’entre $\xi$ et $\eta \,;$ ainsi il faudra substituer ${\frac {p-\delta }{e}}$ à la place de $\alpha ,$ et ${\sqrt {\delta ^{2}-\left({\frac {p-\delta }{e}}\right)^{2}}}$ à la place de $\beta$ dans les formules du n^o 13 ; mais comme ces substitutions mènent à des formules un peu compliquées, voici une manière plus simple et plus directe d’analyser le cas dont il s’agit.

Je remarquequ’en faisant $r=\delta$ ($\delta$ étant $={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$ par le n^o 13, et par conséquent égale à la distance du centre des rayons $u$ au foyer des rayons $r$) on doit avoir $u=0,$ et par conséquent $x=y$ (11).

Je reprends maintenant les deux formules du n^o 9,

${\begin{aligned}\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&-{\sqrt {\mathrm {X} }},\\\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&{\sqrt {\mathrm {Y} }}\,;\end{aligned}}$

dans la première desquelles je donne le signe $-$ au radical ${\sqrt {\mathrm {X} }},$ conformément à ce que j’ai dit dans le même numéro. Soustrayant la première de la seconde, j’ai celle-ci

$2\mathrm {C} (y-x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }}+{\sqrt {\mathrm {X} }}\,;$

et il faudra qu’en faisant $r=\delta$ on ait $x=y\,;$ par conséquent, à cause de $r=x+y,$

$x={\frac {\delta }{2}},\quad y={\frac {\delta }{2}}$

sont deux valeurs de $x$ et de $y$ qui doivent satisfaire à l’équation précédente. Or par ces suppositions le premier membre devient nul, et le second devient $4\mathrm {C} {\sqrt {\Delta }}$ en supposant

$\Delta =a+b{\frac {\delta }{2}}+c\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{2}+\mathrm {M} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{3}+\mathrm {N} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{4}\,;$

donc on doit avoir $\Delta =0\,;$ par conséquent ${\frac {\delta }{2}}$ doit être une racine des équations semblables $\mathrm {X=0,\ Y} =0.$ Mais cela ne suffit pas encore pour satisfaire à l’équation ci-dessus ; il faut encore qu’en supposant $x$ et $y$ très-peu différent de ${\frac {\delta }{2}},$ l’équation puisse subsister et donne une relation possible entre $x$ et $y\,;$ donc il faudra qu’en faisant

$x={\frac {\delta }{2}}+\mu ,\quad y={\frac {\delta }{2}}+\nu ,$

et regardant $\mu$ et $\nu$ comme très-petites, on ait une équation possible entre $\mu$ et $\nu .$

Or, faisant ces substitutions et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant $\Delta '={\frac {d\Delta }{d{\cfrac {\delta }{2}}}},$

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta +\Delta '\nu }}+{\sqrt {\Delta +\Delta '\mu }}\,;$

mais $\Delta =0,$ donc l’équation devient

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta '}}\left({\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }}\right),$

laquelle, étant divisée par ${\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }},$ donne

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)\left({\sqrt {\nu }}-{\sqrt {\mu }}\right)={\sqrt {\Delta '}}\,;$

donc la quantité ${\sqrt {\Delta '}}$ doit être infiniment petite de l’ordre ${\sqrt {\nu }}\,;$ donc $\Delta '$ doit être $=0.$

De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que ${\frac {\delta }{2}}$ doit être une racine double de l’équation $\mathrm {X} =0,$ ainsi que de l’équation $\mathrm {Y} =0.$

De sorte que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+mx+nx^{2}\right),\\\mathrm {Y} =&\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+my+ny^{2}\right),\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même, de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right],\\\mathrm {Y} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right]\,;\end{aligned}}$

et comparant cette forme avec la forme générale des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ du n^o 10, on trouvera

$n=\mathrm {N} ,\quad m=\mathrm {M} ,\quad l=c+\mathrm {N} {\frac {\delta }{2}}+\mathrm {M} {\frac {\delta ^{2}}{2}},$

de sorte que la constante $l$ demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l’arbitraire $c$.

On aura donc précisément le cas du n^o 12 en prenant $k={\frac {\delta }{2}}\,;$ de sorte qu’en supposant de plus $l=0,$ on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}},$

savoir (13)

${\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{\varpi }}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}},$

où (11)

$x'=x+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta +u}{2}},\quad y'=y+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta -u}{2}}.$

Or il est visible que $r$ et $\delta$ sont deux rayons vecteurs, et que $u$ est alors la corde qui joint ces rayons ; donc, puisque $x'=y',$ lorsque $u=0,$ auquel cas $r=\delta ,$ il s’ensuit que la différence des intégrales de

${\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}}$

exprimera justement le temps employé à parcourir l’angle compris entre les deux rayons vecteurs $\delta$ et $r,$ c’est-à-dire l’arc sous-tendu par la corde $u\,;$ ce qui est le Théorème de M. Lambert.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 84.
2. Dans le texte primitif les formules qui suivent sont affectées d’erreurs légères que nous avons cru devoir faire disparaître.$\qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)