Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l’intégration des quantités variables

Joseph-Louis Lagrange

Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l’intégration des quantités variables

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 441-476).

SUR UNE

NOUVELLE ESPÈCE DE CALCUL

RELATIF

À LA DIFFÉRENTIATION ET À L’INTÉGRATION
DES QUANTITÉS VARIABLES.

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1772.)

Leibnitz a donné, dans le premier volume des Miscellanea Berolinensia, un Mémoire intitulé Symbolismus memorabilis calculi algebraici, et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differentiarum, etc., dans lequel il fait voir l’analogie qui règne entre les différentielles de tous les ordres du produit de deux ou de plusieurs variables, et les puissances des mêmes ordres du binôme ou du polynôme composé de la somme de ces mêmes variables. Ce grand Géomètre a aussi remarqué ailleurs que la même analogie subsistait entre les puissances négatives et les intégrales (voyez le Commercium epistolicum, Epist. XVIII) ; mais ni lui ni aucun autre que je sache n’a poussé plus loin ces sortes de recherches, si l’on en excepte seulement M. Jean Bernoulli, qui, dans la Lettre XIV du Commercium cité, a montré comment on pouvait dans certains cas trouver l’intégrale d’une différentielle donnée en cherchant la troisième proportionnelle à la différence de la quantité donnée et à cette même quantité, et changeant ensuite les puissances positives en différences, et les négatives en sommes ou intégrales. Quoique le principe de cette analogie entre les puissances positives et les différentielles, et les puissances négatives et les intégrales, ne soit pas évident par lui-même, cependant, comme les conclusions qu’on en tire n’en sont pas moins exactes, ainsi qu’on peut s’en convaincre à posteriori, je vais en faire usage dans ce Mémoire pour découvrir différents Théorèmes généraux concernant les différentiations et les intégrations des fonctions de plusieurs variables, Théorèmes dont la plupart sont nouveaux, et auxquels il serait d’ailleurs très-difficile de parvenir par d’autres voies.

C’est une espèce particulière de calcul qui me paraît mériter d’être cultivée et qui peut donner lieu à beaucoup de découvertes utiles et importantes dans l’Analyse ; l’objet principal de ce Mémoire est de donner plusieurs ouvertures pour cela, en montrant les règles qu’on doit suivre dans ce calcul et la manière de l’appliquer à différentes recherches ; mais je crois devoir commencer par établir quelques notions générales et préliminaires sur la nature des fonctions d’une ou de plusieurs variables, lesquelles pourraient servir d’introduction à une théorie générale des fonctions.

1. Si $u$ est une fonction quelconque finie d’une variable $x,$ qu’on y mette $x+\xi$ à la place de $x,$ et que par la théorie connue des séries on dégage la nouvelle variable $\xi$ de la fonction, on sait que $u$ deviendra de cette forme

$u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+p'''\xi ^{4}+\ldots ,$

où $p,p',p'',\ldots$ seront de nouvelles fonctions de $x,$ dérivées d’une certaine manière de la fonction $u.$

2. Si $u$ est une fonction de deux variables $x,y,$ qu’on y mette $x+\xi$ à la place de $x,$ $y+\psi$ à la place de $y,$ qu’ensuite on dégage les quantités, par le moyen des séries, la fonction $u$ deviendra de la forme

${\begin{aligned}u+&p\ \ \xi \ \ +q\psi \\+&p'\ \xi ^{2}+q'\ \xi \ \psi +r'\psi ^{2}\\+&p''\xi ^{3}+q''\xi ^{2}\psi +r''\xi \psi ^{2}+s''\psi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où $p,q,p',q',r',p'',q'',\ldots$ seront de nouvelles fonctions de $x,y$ dérivées d’une certaine manière de la fonction $u.$

De même, si $u$ était fonction de trois variables $x,y,z,$ en mettant $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta$ à la place de $x,y,z,$ et développant par les séries, cette fonction deviendrait de la forme

${\begin{aligned}u+&p\ \ \xi \ \ +q\psi +r\zeta \\+&p'\ \xi ^{2}+q'\ \xi \,\ \psi +r'\,\ \ \psi ^{2}+\alpha '\,\xi \zeta +\beta '\ \psi \zeta \ +\gamma '\zeta ^{2}\\+&p''\xi ^{3}+q''\xi ^{2}\psi +r''\xi \psi ^{2}+s''\psi ^{3}+\alpha ''\xi \zeta ^{2}+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, si la fonction $u$ renfermait quatre variables, ou cinq, etc.

3. Le Calcul différentiel, considéré dans toute sa généralité, consiste à trouver directement, et par des procédés simples et faciles, les fonctions $p,p',p'',\ldots ,q,q',q'',\ldots ,r,r',r'',\ldots$ dérivées de la fonction $u\,;$ et le Calcul intégral consiste à retrouver la fonction $u$ par le moyen de ces dernières fonctions.

Cette notion des Calculs différentiel et intégral me paraît la plus claire et la plus simple qu’on ait encore donnée ; elle est, comme on voit, indépendante de toute métaphysique et de toute théorie des quantités infiniment petites ou évanouissantes.

4. Considérons plus particulièrement le cas du n^o 1, où $u$ est supposé une fonction de $x$ seul, et voyons comment les fonctions $u,p,p',p'',\ldots$ dépendent les unes des autres.

Puisque la fonction $u,$ en y mettant $x+\xi$ à la place de $x,$ est devenue

$u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+\ldots ,$

si dans cette dernière fonction on met de nouveau $x+\omega$ à la place de $x,$ il est clair qu’elle deviendra de la forme

${\begin{aligned}u+&p\omega +p'\omega ^{2}+p''\omega ^{3}+p'''\omega ^{4}+\ldots \\+&\left(p\ \ +\varpi \,\ \omega +\rho \ \ \omega ^{2}+\sigma \ \ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi \\+&\left(p'\ +\varpi '\,\omega +\rho '\,\omega ^{2}+\sigma '\ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{2}\\+&\left(p''+\varpi ''\omega +\rho ''\omega ^{2}+\sigma ''\omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où, $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ seront des fonctions de $x$ dérivées de la fonction $p$ de la même manière que $p,p',p'',\ldots$ le sont de la fonction $u,$ et, $\varpi ',\rho ',\sigma ',\ldots$ seront des fonctions dérivées de même de la fonction $p',$ et $\varpi '',\rho '',\sigma '',\ldots$ des fonctions dérivées de $p'',$ et ainsi des autres.

D’un autre côté, il est facile de voir que l’expression précédente ne sera autre chose que ce que devient la fonction $u$ en y mettant à la fois $x+\xi +\omega$ à la place de $x,$ ou bien ce que devient l’expression

$u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+p'''\xi ^{4}+\ldots$

en y mettant $\xi +\omega$ à la place de $\xi ,$ c’est-à-dire

$u+p(\xi +\omega )+p'(\xi +\omega )^{2}+p''(\xi +\omega )^{3}+\ldots .$

Or, en développant les puissances de $\xi +\omega$ et ordonnant les termes, on aura

${\begin{aligned}u+&p\omega +p'\omega ^{2}+p''\omega ^{3}+p'''\omega ^{4}+\ldots \\+&\left(p\,\ +2p'\ \ \omega +\ \ 3p''\ \omega ^{2}+\ \ 4p'''\omega ^{3}+\ldots \right)\xi \\+&\left(p'\,+3p''\ \omega +\ \ 6p'''\omega ^{2}+10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{2}\\+&\left(p''+4p'''\omega +10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{2}+20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, comme cette formule doit être identique avec la précédente on aura

${\begin{alignedat}{3}\omega \ \ &=2p',&\rho \ \ &=3p'',&\sigma \ \ &=4p''',\ldots ,\\\omega '\ &=3p'',&\rho '\ &=6p''',&\sigma '\ &=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,\\\omega ''&=4p''',\quad &\rho ''&=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &\sigma ''&=20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc

$p'={\frac {\varpi }{2}},\quad p''={\frac {\varpi '}{3}},\quad p'''={\frac {\varpi ''}{4}},\ldots .$

Or, de la même manière que $p$ est dérivé de $u,$ $\varpi$ l’est de $p,$ $\varpi '$ l’est de $p',$ $\varpi ''$ l’est de $p'',$ et ainsi de suite ; donc, si l’on fait $p=u',$ et qu’on désigne de même par $u''$ une fonction dérivée de $u'$ de la même manière que $u'$ l’est de $u,$ et par $u'''$ une fonction dérivée de même de $u'',$ et ainsi de suite, on

aura

${\begin{array}{rlll}p=u',&\varpi \ \ =u'',&\mathrm {donc} &p'\ ={\dfrac {u''}{2}},\\\mathrm {donc} &\varpi '\ ={\dfrac {u'''}{2}},&\mathrm {donc} &p''\ ={\dfrac {u'''}{2.3}},\\\mathrm {donc} &\varpi ''={\dfrac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2.3}},&\mathrm {donc} &p'''={\dfrac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2.3.4}},\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Ainsi la fonction $u$ deviendra, en mettant $x+\xi$ à la place de $x,$

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\xi ^{4}}{2.3.4}}+\ldots ,$

où les fonctions $u,u',u'',u''',u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ dérivent l’une de l’autre par une même loi, de sorte qu’on pourra les trouver aisément par une même opération répétée.

5. Si maintenant on suppose que $u$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ et qu’on cherche ce qu’elle devient en y mettant à la fois $x+\xi$ à la place de $x$ et $y+\psi$ à la place de $y,$ on fera d’abord la première de ces deux substitutions, ce qui réduira la fonction $u$ à celle-ci (4)

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots \,;$

ensuite on fera la substitution de $y+\psi$ à la place de $y$ dans les fonctions $u,u',u'',u''',\ldots ,$ et elles se changeront, savoir

${\begin{aligned}&u\ \ \mathrm {en} \ u\,\ +u^{\ ,'}\psi +{\frac {u^{\ \ ,''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{\ \ ,'''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&u'\ \mathrm {en} \ u'\,+u^{','}\psi +{\frac {u^{\ ',''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{\ ','''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&u''\mathrm {en} \ u''+u^{'','}\psi +{\frac {u^{'',''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{'','''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi la fonction $u$ deviendra, après les deux substitutions dont il s’agit,

${\begin{aligned}u+&u'\xi +u^{\ ,'}\psi \\+&{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}\,+{\frac {u^{','}\xi \psi }{1.1}}\ \ +{\frac {u^{\ ,''}\psi ^{2}}{2}}\\+&{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{'','}\xi ^{2}\psi }{2.1}}+{\frac {u^{',''}\xi \psi ^{2}}{1.2}}+{\frac {u^{\ ,'''}\psi ^{3}}{2.3}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les accents qui sont avant la virgule se rapportent au changement de $x$ en $x+\xi ,$ et ceux qui sont après la virgule se rapportent au changement de $y$ en $y+\psi .$

En général, si $u$ est une fonction de $x,y,z,t,\ldots ,$ et qu’on y mette, à la place de ces variables, $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots ,$ la fonction dont il s’agit deviendra $u$ plus un nombre indéfini de termes, tels que

${\frac {u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},$

$\mu ,\nu ,\varpi ,\rho$ étant supposés successivement $0,1,2,3,\ldots .$

6. Puisqu’en mettant $x+\xi$ à la place de $x$ dans $u,$ cette fonction devient

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

si l’on regarde $\xi$ comme infiniment petit et qu’on néglige les puissances $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots ,$ on aura simplement $u'\xi$ pour l’accroissement de $u\,;$ de sorte que, désignant cet accroissement par $du,$ et l’accroissement $\xi$ de $x$ par $dx,$ on aura

$du=u'dx\quad {\text{et}}\quad u'={\frac {du}{dx}}\,;$

ainsi, pour avoir la fonction $u',$ il n’y aura qu’à chercher li différentielle $du$ par les règles du calcul des infiniment petits, et la diviser ensuite par la différentielle $dx.$

Ayant $u'={\frac {du}{dx}},$ on aura de même

$u''={\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},\quad u'''={\frac {d{\cfrac {d^{2}u}{dx^{2}}}}{dx}}={\frac {d^{3}u}{dx^{3}}},\ldots \,;$

de sorte que $x$ devenant $x+\xi ,$ la fonction $u$ deviendra

$u+{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}{\frac {\xi ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}{\frac {\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

où $du,d^{2}u,d^{3}u,\ldots$ désignent les différences première, seconde, troisième, etc., de $u$ prises en faisant varier $x$ de la différence infiniment petite $dx.$

Ce Théorème est connu depuis longtemps, et M. Taylor en est, si je ne me trompe, le premier Auteur ; on peut le démontrer de différentes manières la précédente me paraît une des plus simples.

7. Si, au lieu de faire varier $x,$ on fait varier $y$ dans la supposition que $u$ soit une fonction de $x$ et de $y,$ on aura de même

$du=u'dy,$

et de là

$u'={\frac {du}{dy}},$

donc

$u''={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}},\quad u'''={\frac {d^{3}u}{dy^{3}}},\ldots .$

Par le même principe on aura

$u^{','}={\frac {du'}{dy}}={\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{dy}}={\frac {d^{2}u}{dxdy}},$

où $d^{2}u$ indique la différentielle seconde de $u,$ en faisant varier d’abord $x,$ ensuite $y\,;$ or, comme les variations de $x$ et de $y$ sont indépendantes l’une de l’autre, il est facile de comprendre qu’on aura également

$u^{','}={\frac {du'}{dx}}={\frac {d{\cfrac {du}{dy}}}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dydx}},$

où $d^{2}u$ exprime maintenant la différentielle seconde de $u$ prise en faisant varier d’abord $y$ et ensuite $x,$ de sorte qu’on aura

${\frac {d^{2}u}{dxdy}}={\frac {d^{2}u}{dydx}},$

ce qui montre qu’il est indifférent dans quel ordre soient écrites les différences $dx,dy.$ En général donc on aura

$u^{(\mu ),(\nu )}={\frac {d^{\mu +\nu }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }}},$

où $d^{\mu +\nu }u$ indiquera la différentielle $(\mu +\nu )$^ième de $u$ prise en faisant varier $\mu$ fois $x$ et $\nu$ fois $y,$ quelque ordre qu’on suive d’ailleurs dans ces variations de sorte qu’il y aura autant de manières différentes de trouver la valeur de ${\frac {d^{\mu +\nu }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }}}$ qu’il y aura de permutations entre deux choses différentes répétées l’une $\mu ,$ fois, l’autre $\nu$ fois ; or le nombre de ces permutations est, comme on sait, égal à

${\frac {1.2.3\ldots (\mu +\nu )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu }}.$

Et si $u$ est une fonction de plusieurs variables $x,y,z,t,\ldots ,$ on aura

$u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }={\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

et cette fonction pourra se produire d’autant de manières différentes qu’il y aura de permutations entre différentes choses dont l’une serait répétée $\mu$ fois, l’autre $\nu$ fois, la troisième $\varpi$ fois, la quatrième $\rho$ fois, etc. ; en sorte que par les règles connues le nombre dont il s’agit sera

${\frac {1.2.3.4.5\ldots (\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},$

lequel est aussi le coefficient du terme $x^{\mu }y^{\nu }z^{\varpi }t^{\rho }\ldots$ dans la puissance

$(x+y+z+t+\ldots )^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }$

8. De là et de ce qu’on a dit dans le n^o 5 il s’ensuit que, si dans une fonction $u$ d’un nombre quelconque de variables $x,y,z,t,\ldots$ on met $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots$ à la place de ces variables, la fonction proposée sera augmentée d’un nombre indéfini de termes représentés chacun par

${\frac {\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

ou, ce qui revient au même, par

${\frac {\mathrm {M} \xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \left(\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots \right)}}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

$\mathrm {M}$ étant le coefficient du terme $x^{\mu }y^{\nu }z^{\varpi }t^{\rho }\ldots$ dans le polynôme

$x+y+z+t+\ldots$

élevé à la puissance

$\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots .$

Ainsi, pour avoir aisément les différents termes qui doivent composer l’accroissement de la valeur de la fonction $u$ lorsque $x,y,z,t,$ deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots ,$ il n’y aura qu’à considérer la série

${\begin{aligned}&{\frac {x+y+z+t+\ldots }{1}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{2}}{1.2}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{3}}{1.2.3}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, après avoir développé les puissances de $x+y+z+t+\ldots ,$ on changera, dans chaque terme, $x$ en ${\frac {\xi }{dx}},$ $y$ en ${\frac {\psi }{dy}},$ $z$ en ${\frac {\zeta }{dz}},$ $t$ en ${\frac {\theta }{dt}},\ldots ,$ et l’on multipliera le même terme par $d^{\lambda }u,$ l’exposant de la différentiation $\lambda ,$ étant égal à la somme des exposants de $x,y,z,t,\ldots$ dans le même terme.

Or on sait que

${\frac {x+y+z+t+\ldots }{1}}+{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{2}}{1.2}}+{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

${\begin{aligned}&=e^{x+y+z+t+\ldots }-1=e^{x}\times e^{y}\times e^{z}\times e^{t}\times \ldots -1\\&=\left(1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\times \left(1+{\frac {y}{1}}+{\frac {y^{2}}{1.2}}+{\frac {y^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\\&\times \left(1+{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\times \left(1+{\frac {t}{1}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\ldots -1.\end{aligned}}$

Par conséquent il n’y aura qu’à faire le produit de ces différentes séries et changer ensuite chaque terme comme nous l’avons dit ci-dessus.

9. De là il est facile de conclure que si l’on considère l’expression

$e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1$

et qu’après l’avoir développée suivant les puissances de $du,$ on applique les exposants de ces puissances à la caractéristique $d$ pour indiquer des différences du même ordre que les puissances, c’est-à-dire qu’on change $du^{\lambda }$ en $d^{\lambda }u,$ on aura l’accroissement cherché de la fonction $u$ lorsque $x,y,z,$ y deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots .$

Ainsi dénotant cet accroissement par $\Delta u,$ on aura la formule générale

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1.$

10. Maintenant, comme $\Delta u$ exprime la différence première finie de $u,$ si l’on dénote de même par $\Delta ^{2}u,\Delta ^{3}u,\ldots$ les différences finies de $u$ des ordres ultérieurs, on pourra trouver la valeur de chacune de ces différences en ne faisant qu’élever l’équation précédente au carré, au cube, etc. et y changeant ensuite les exposants des puissances en exposants des différences.

De cette manière on aura donc, en général,

$\Delta ^{\lambda }u=\left(e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\right)^{\lambda },$

et il ne s’agira plus que de développer le second membre de cette équation de la manière que nous l’avons dit à l’égard de celle du numéro précédent.

Mais il y a plus on peut supposer que l’exposant devienne négatif, auquel cas l’équation subsistera également si ce n’est que les différences qui auront un exposant négatif devront être censées changées en sommes du même ordre. Ainsi désignant, comme à l’ordinaire, par $\int$ les sommes ou les intégrales ordinaires, qui répondent aux différences infiniment petites marquées par la caractéristique $d,$ et par $\sum$ les sommes finies qui répondent aux différences finies marquées par la caractéristique $\Delta ,$ on aura

$d^{-1}=\int ,\quad d^{-2}=\int ^{2},\ldots ,$

et de même

$\Delta ^{-1}=\sum ,\quad \Delta ^{-2}=\sideset {}{^{2}}\sum ,\ldots ,$

et l’équation précédente deviendra, en faisant $\lambda$ négatif, ou bien mettant $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ et par conséquent $\sideset {}{^{\lambda }}\sum$ à la place de $\Delta ^{\lambda },$

$\sideset {}{^{\lambda }}\sum u={\frac {1}{\left(e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\right)^{\lambda }}}.$

On traitera le second membre de cette équation d’une manière semblable à celle que nous avons prescrite ci-dessus.

Quoique l’opération, par laquelle nous avons passé de la différence $\Delta u$ à la différence $\Delta ^{\lambda }u$ et à la somme $\sideset {}{^{\lambda }}\sum u,$ ne soit pas fondée sur des principes clairs et rigoureux, elle n’en est cependant pas moins exacte, comme on. peut s’en assurer à posteriori ; mais il serait peut-être très-difficile d’en donner une démonstration directe et analytique ; cela tient, en général, à l’analogie qu’il y a entre les puissances positives et les différentiations, aussi bien qu’entre les puissances négatives et les intégrations ; analogie dont nous verrons encore d’autres exemples dans la suite de ce Mémoire.

11. Supposons que $u$ soit une fonction de $x$ seul, on aura dans ce cas

${\frac {du}{dy}}=0,\quad {\frac {du}{dz}}=0,\ldots ,$

par conséquent

$\Delta ^{\lambda }u=\left(e^{{\frac {du}{dx}}\xi }-1\right)^{\lambda }.$

Considérons donc l’expression $\left(e^{\omega }-1\right)^{\lambda },$ et voyons comment elle peut se développer en une série réglée sur les puissances de $\omega .$ Il est d’abord clair que, si l’on fait $\omega$ très-petit, on aura $e^{\omega }-1=\omega ,$ d’où il s’ensuit que le premier terme de la série sera nécessairement $\omega ^{\lambda }.$ Supposons donc

$\left(e^{\omega }-1\right)^{\lambda }=\omega ^{\lambda }\mathrm {\left(1+A\omega +B\omega ^{2}+C\omega ^{3}+D\omega ^{4}+\ldots \right)} ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre, on aura

$\lambda \log \left(e^{\omega }-1\right)-\lambda \log \omega =\log \mathrm {\left(1+A\omega +B\omega ^{2}+C\omega ^{3}+D\omega ^{4}+\ldots \right)} ,$

et différentiant

$\lambda \left({\frac {e^{\omega }}{e^{\omega }-1}}-{\frac {1}{\omega }}\right)=\mathrm {\frac {A+2B\omega +3C\omega ^{2}+4D\omega ^{3}+\ldots }{1+A\omega +B\omega ^{2}+C\omega ^{3}+D\omega ^{4}+\ldots }} \,;$

or

${\frac {e^{\omega }}{e^{\omega }-1}}={\frac {1}{1-e^{-\omega }}}={\frac {1}{\omega -{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}+{\dfrac {\omega ^{3}}{2.3}}-{\dfrac {\omega ^{4}}{2.3.4}}+\ldots }},$

donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, on aura

${\begin{aligned}\lambda &\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\omega }{2.3}}+{\frac {\omega ^{2}}{2.3.4}}-\ldots \right)\mathrm {\left(1+A\omega +B\omega ^{2}+C\omega ^{3}+\ldots \right)} \\&=\left(1-{\frac {\omega }{2}}+{\frac {\omega ^{2}}{2.3}}-{\frac {\omega ^{3}}{2.3.4}}+\ldots \right)\mathrm {\left(A+2B\omega +3C\omega ^{2}+\ldots \right)} ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}{\frac {\lambda }{2}}+&\lambda \mathrm {\left({\frac {A}{2}}-{\frac {1}{2.3}}\right)} \omega +\lambda \mathrm {\left({\frac {B}{2}}-{\frac {A}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}\right)} \omega ^{2}\\&+\lambda \mathrm {\left({\frac {C}{2}}-{\frac {B}{2.3}}+{\frac {A}{2.3.4}}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\right)} \omega ^{3}+\ldots \\=&\mathrm {A} +\mathrm {\left(2B-{\frac {A}{2}}\right)} \omega +\mathrm {\left(3C-{\frac {2B}{2}}+{\frac {A}{2.3}}\right)} \omega ^{2}\\&+\mathrm {\left(4D-{\frac {3C}{2}}+{\frac {2B}{2.3}}-{\frac {A}{2.3.4}}\right)} \omega ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où, en comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {\lambda }{2}},\\2\mathrm {B} &={\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2}}-{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\mathrm {C} &={\frac {(\lambda +2)\mathrm {B} }{2}}-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2.3}}+{\frac {\lambda }{2.3.4}},\\4\mathrm {D} &={\frac {(\lambda +3)\mathrm {C} }{2}}-{\frac {(\lambda +2)\mathrm {B} }{2.3}}+{\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2.3.4}}-{\frac {\lambda }{2.3.4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ayant ainsi déterminé les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on mettra ${\frac {du}{dx}}\xi$ à la place de $\omega ,$ et changeant les puissances de $du$ en des différentielles de $u,$ on aura, en général,

$\Delta ^{\lambda }u={\frac {d^{\lambda }u}{dx^{\lambda }}}\xi ^{\lambda }+\mathrm {A} {\frac {d^{\lambda +1}u}{dx^{\lambda +1}}}\xi ^{\lambda +1}+\mathrm {B} {\frac {d^{\lambda +2}u}{dx^{\lambda +2}}}\xi ^{\lambda +2}+\mathrm {C} {\frac {d^{\lambda +3}u}{dx^{\lambda +3}}}\xi ^{\lambda +3}+\ldots .$

Cette formule servira donc à trouver immédiatement la différence d’un ordre quelconque d’une fonction quelconque de $x$ lorsque $x$ augmente successivement de, $\xi ,2\xi ,3\xi ,\ldots ,$ et cela au moyen des différentielles ordinaires ce qui peut être d’une grande utilité dans la théorie des séries.

Faisons maintenant $\lambda$ négatif, c’est-à-dire mettons $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ pour changer les différences en sommes, et l’on aura dans ce cas

$\sideset {}{^{\lambda }}\sum u={\frac {\int ^{\lambda }udx^{\lambda }}{\xi ^{\lambda }}}-\alpha {\frac {\int ^{\lambda -1}udx^{\lambda -1}}{\xi ^{\lambda -1}}}+\beta {\frac {\int ^{\lambda -2}udx^{\lambda -2}}{\xi ^{\lambda -2}}}-\gamma {\frac {\int ^{\lambda -3}udx^{\lambda -3}}{\xi ^{\lambda -3}}}+\ldots ,$

où

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {\lambda }{2}},\\2\beta &={\frac {(\lambda -1)\alpha }{2}}+{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\gamma &={\frac {(\lambda -2)\beta }{2}}+{\frac {(\lambda -1)\alpha }{2.3}}+{\frac {\lambda }{2.3.4}},\\4\delta &={\frac {(\lambda -3)\gamma }{2}}+{\frac {(\lambda -2)\beta }{2.3}}+{\frac {(\lambda -1)\alpha }{2.3.4}}+{\frac {\lambda }{2.3.4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si $\lambda =1,$ on aura donc

$\sum u={\frac {\int udx}{\xi }}-\alpha u+\beta {\frac {du}{dx}}\xi -\gamma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\xi ^{2}+\delta {\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\xi ^{3}-\ldots ,$

parce que

$\int ^{-1}udx^{-1}={\frac {du}{dx}},\quad \int ^{-2}udx^{-2}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},\ldots .$

C’est la formule connue pour trouver la somme d’une série dont on connaît le terme général.

En effet soit $u=\varphi (x),$ on aura, par la nature des sommations,

$\sum u=\varphi (x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\ldots \,;$

donc, si suivant la notation reçue on fait

$\int \varphi (x)dx=^{\text{‵}}\!\varphi (x),\quad {\frac {d\varphi (x)}{dx}}=\varphi '(x),\quad {\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}=\varphi ''(x),\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\varphi &(x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\varphi (x-3\xi )+\ldots \\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x)}{\xi }}-\alpha \varphi (x)+\beta \varphi '(x).\xi -\gamma \varphi ''(x).\xi ^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Si maintenant dans cette formule on écrit $x-n\xi$ à la place de $x,$ on

aura de même

${\begin{aligned}\varphi &\left[x-(n+1)\xi \right]+\varphi \left[x-(n+2)\xi \right]+\ldots \\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x-n\xi )}{\xi }}-\alpha \varphi (x-n\xi )+\beta \varphi '(x-n\xi ).\xi -\gamma \varphi ''(x-n\xi ).\xi ^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

${\begin{aligned}\varphi &(x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\varphi (x-3\xi )+\ldots +\varphi (x-n\xi )\\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x)-^{\text{‵}}\!\varphi (x-n\xi )}{\xi }}-\alpha \left[\varphi (x)-\varphi (x-n\xi )\right]\end{aligned}}$

$+\beta \xi \left[\varphi '(x)-\varphi '(x-n\xi )\right]-\gamma \xi ^{2}\left[\varphi ''(x)-\varphi ''(x-n\xi )\right]+\ldots .$

Nous ne nous étendrons pas en détails sur cette matière parce qu’elle a déjà été traitée dans différents Ouvrages, et surtout dans le Traité des Fluxions de M. Maclaurin, et dans les Institutions du Calcul différentiel de M. Euler ; on trouve dans ce dernier Ouvrage des Remarques curieuses et importantes sur la nature et les propriétés des nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dans le cas de $\lambda =1\,;$ mais personne que je sache n’avait encore donné l’expression générale de ces nombres pour les différences et les sommes d’un ordre quelconque.

12. Reprenons l’équation du n^o 10, savoir

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\,;$

elle donnera celle-ci

${\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots =\log(1+\Delta u),$

ou il faudra, après avoir développé le logarithme $\log(1+\Delta u)$ suivant les puissances de $\Delta u,$ appliquer les exposants de ces puissances à la caractéristique $\Delta .$ De cette manière on aura donc

${\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots =\Delta u-{\frac {\Delta ^{2}u}{2}}+{\frac {\Delta ^{3}u}{3}}-{\frac {\Delta ^{4}u}{4}}+\ldots ,$

ce qui donne un moyen de trouver les valeurs de ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},\ldots$ à l’aide des différences finies de la fonction $u.$

Mais ce n’est pas tout : on peut également élever les deux membres de l’équation à une puissance quelconque $\lambda ,$ positive ou négative, en sorte qu’on ait

$\left({\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots \right)^{\lambda }=\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda },$

et cette équation sera toujours vraie pourvu qu’après le développement des deux membres suivant les puissances de $du$ et de $\Delta u,$ on change les puissances positives en différences, et les négatives en sommes.

Pour cet effet, considérons la quantité $\left[\log(1+\omega )\right]^{\lambda },$ et voyons comment elle peut se développer en une série qui procède suivant les puissances de $\omega .$ Il est d’abord clair que si $\omega$ était très-petit, on aurait $\log(1+\omega )=\omega ,$ d’où il s’ensuit que le premier terme de la série dont il s’agit sera $\omega ^{\lambda },$ et qu’ainsi elle aura cette forme

$\omega ^{\lambda }\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+Q\omega ^{4}+\ldots \right)} .$

Supposons donc

$\left[\log(1+\omega )\right]^{\lambda }=\omega ^{\lambda }\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre, on aura

$\lambda \left[\log .\log(1+\omega )-\log \omega \right]=\log \mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} ,$

d’où l’on tirera par la différentiation

$\lambda \left[{\frac {1}{(1+\omega )\log(1+\omega )}}-{\frac {1}{\omega }}\right]=\mathrm {\frac {M+2N\omega +3P\omega ^{2}+4Q\omega ^{3}+\ldots }{1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+Q\omega ^{4}+\ldots }} .$

Or

$\log(1+\omega )=\omega -{\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega ^{3}}{3}}-{\frac {\omega ^{4}}{4}}+\ldots \,;$

donc, multipliant cette série par $1+\omega ,$ on aura

$(1+\omega )\log(1+\omega )=\omega +{\frac {\omega ^{2}}{2}}-{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+{\frac {\omega ^{4}}{3.4}}-{\frac {\omega ^{5}}{4.5}}+\ldots ,$

donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, il viendra

${\begin{aligned}\lambda &\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{2.3}}-{\frac {\omega ^{2}}{3.4}}+\ldots \right)\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} \\&=\left(1+{\frac {\omega }{2}}-{\frac {\omega ^{2}}{2.3}}+{\frac {\omega ^{3}}{3.4}}-\ldots \right)\mathrm {\left(M+2N\omega +3P\omega ^{2}+\ldots \right)} .\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}-{\frac {\lambda }{2}}+&\lambda \mathrm {\left(-{\frac {M}{2}}+{\frac {1}{2.3}}\right)} \omega +\lambda \mathrm {\left(-{\frac {N}{2}}+{\frac {M}{2.3}}-{\frac {1}{3.4}}\right)} \omega ^{2}\\&+\lambda \mathrm {\left(-{\frac {P}{2}}+{\frac {N}{2.3}}-{\frac {M}{3.4}}+{\frac {1}{4.5}}\right)} \omega ^{3}+\ldots \\\\=&\mathrm {M} +\mathrm {\left(2N+{\frac {M}{2}}\right)} \omega +\mathrm {\left(3P+{\frac {2N}{2}}-{\frac {M}{2.3}}\right)} \omega ^{2}\\&+\mathrm {\left(4Q+{\frac {3P}{2}}-{\frac {2N}{2.3}}+{\frac {M}{3.4}}\right)} \omega ^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte qu’en comparant les termes on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-{\frac {\lambda }{2}},\\2\mathrm {N} &=-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{2}}+{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\mathrm {P} &=-{\frac {(\lambda +2)\mathrm {N} }{2}}+{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{2.3}}-{\frac {\lambda }{3.4}},\\4\mathrm {Q} &=-{\frac {(\lambda +3)\mathrm {P} }{2}}+{\frac {(\lambda +2)\mathrm {N} }{2.3}}-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{3.4}}+{\frac {\lambda }{4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Connaissant de cette manière les coefficients numériques $\mathrm {M,N,P} ,\ldots ,$ on aura donc

$\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda }=\Delta ^{\lambda }u+\mathrm {M} \Delta ^{\lambda +1}u+\mathrm {N} \Delta ^{\lambda +2}u+\ldots ,$

ce qu’il faudra substituer dans l’équation ci-dessus.

13. Soit, comme dans le n^o 11, $u$ une fonction de $x$ seul : alors l’équation dont il s’agit deviendra

$\left({\frac {du}{dx}}\xi \right)^{\lambda }=\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda },$

savoir

${\frac {d^{\lambda }u}{dx^{\lambda }}}\xi ^{\lambda }=\Delta ^{\lambda }u+\mathrm {M} \Delta ^{\lambda +1}u+\mathrm {N} \Delta ^{\lambda +2}u+\mathrm {P} \Delta ^{\lambda +3}u+\ldots ,$

ce qui donne le moyen de trouver la valeur de la différentielle d’un ordre quelconque de la fonction $u$ à l’aide des différences finies de la même fonction.

Or, si dans la même formule on fait $\lambda$ négatif, c’est-à-dire si l’on y met $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ on aura, en changeant les différences en sommes,

${\frac {\int ^{\lambda }udx^{\lambda }}{\xi ^{\lambda }}}=\sideset {}{^{\lambda }}\sum u+\mu \sideset {}{^{\lambda -1}}\sum u+\nu \sideset {}{^{\lambda -2}}\sum u+\varpi \sideset {}{^{\lambda -3}}\sum u+\ldots ,$

où les coefficients $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots$ seront déterminés par les formules suivantes

${\begin{aligned}\mu &={\frac {\lambda }{2}},\\2\nu &={\frac {(\lambda -1)\mu }{2}}-{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\varpi &={\frac {(\lambda -2)\nu }{2}}-{\frac {(\lambda -1)\mu }{2.3}}+{\frac {\lambda }{3.4}},\\4\chi &={\frac {(\lambda -3)\varpi }{2}}-{\frac {(\lambda -2)\nu }{2.3}}+{\frac {(\lambda -1)\mu }{3.4}}-{\frac {\lambda }{4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $\lambda =1,$ on aura donc

${\frac {\int udx}{\xi }}=\sum u+\mu u+\nu \Delta u+\varpi \Delta ^{2}u+\chi \Delta ^{3}u\ldots ,$

formule qui peut servir à calculer les aires des courbes par les sommes et les différences des coordonnées équidistantes. Cotes, Stirling et d’autres ont déjà donné des formules pour calculer l’aire d’une courbe dont on connaît un certain nombre de coordonnées équidistantes ; mais la formule précédente est différente de celles de ces Auteurs, et me paraît préférable en ce qu’on y emploie les différences successives des cordonnées, lesquelles vont ordinairement en diminuant, et surtout en ce qu’on y voit aisément la loi des termes, de manière qu’on peut continuer la série aussi loin qu’on veut.

Pour donner un exemple de l’usage de cette formule, soit proposé de trouver l’intégrale de ${\frac {dx}{x}},$ qu’on sait d’ailleurs être égale à $\log x\,;$ on aura donc dans ce cas $u={\frac {1}{x}},$ et faisant, pour plus de simplicité, $\xi =1,$ on aura

$\log x=\sum {\frac {1}{x}}+{\frac {\mu }{x}}+\nu \Delta {\frac {1}{x}}+\varpi \Delta ^{2}{\frac {1}{x}}+\chi \Delta ^{3}{\frac {1}{x}}+\ldots .$

Or puisque $\xi =1,$ on aura

${\begin{aligned}\sum {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots ,\\\Delta \ \ {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x(x+1)}},\\\Delta ^{2}{\frac {1}{x}}=&-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {2}{x(x+1)(x+2)}},\\\Delta ^{3}{\frac {1}{x}}=&{\frac {2}{(x+1)(x+2)(x+3)}}-{\frac {2}{x(x+1)(x+2)}}=-{\frac {2.3}{x(x+1)(x+2)(x+3)}},\end{aligned}}$

et, en général,

$\Delta ^{\lambda }{\frac {1}{x}}=\pm {\frac {1.2.3\ldots \lambda }{x(x+1)(x+2)\ldots (x+\lambda )}},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\lambda$ est pair, et l’inférieur pour le cas où $\lambda$ est impair.

Donc, substituant ces valeurs, on aura

${\begin{aligned}\log x=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x}}-{\frac {\nu }{x(x+1)}}+{\frac {2\varpi }{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {2.3.\chi }{x(x+1)(x+2)(x+3)}}+\ldots .\end{aligned}}$

De même, si l’on met $x-n$ à la place de $x,$ $n$ étant un nombre entier quelconque, on aura

${\begin{aligned}\log(x-n)=&{\frac {1}{x-n-1}}+{\frac {1}{x-n-2}}+{\frac {1}{x-n-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x-n}}-{\frac {\nu }{x-n(x-n+1)}}\\&+{\frac {2\varpi }{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)}}-\ldots \,;\end{aligned}}$

par conséquent, en retranchant cette équation de la précédente, on aura

${\begin{aligned}&\log {\frac {x}{x-n}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots +{\frac {1}{x-n}}\\&+\mu \left[{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x-n}}\right]-\nu \left[{\frac {1}{x(x+1)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)}}\right]\\&+2\varpi \left[{\frac {1}{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)}}\right]\\&-2.3.\chi \left[{\frac {1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)(x-n+3)}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $n=1,$ on aura

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{x-1}}=&{\frac {1}{x-1}}-{\frac {\mu }{(x-1)x}}+{\frac {2\nu }{(x-1)x(x+1)}}\\&-{\frac {2.3.\varpi }{(x-1)x(x+1)(x+2)}}+\ldots ,\end{aligned}}$

ou bien, en mettant $x$ à la place de $x-1,$ et par conséquent $x+1$ à la place de $x,$

${\begin{aligned}&\log \left(1+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{x}}-{\frac {\mu }{x(x+1)}}+{\frac {2\nu }{x(x+1)(x+2)}}\\&\quad -{\frac {2.3.\varpi }{x(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {2.3.4.\chi }{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}-\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

$\log \left(1+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{x}}\left[1-{\frac {\mu }{1+x}}+{\frac {\nu }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)}}-{\frac {\varpi }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)\left(1+{\frac {x}{3}}\right)}}\right.$

$\left.+{\frac {\chi }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)\left(1+{\frac {x}{3}}\right)\left(1+{\frac {x}{4}}\right)}}-\ldots \right].$

14. Nous avons vu que toute fonction $u$ de plusieurs variables $x,y,z,\ldots$ devient $u+\Delta u$ lorsque ces variables deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots ,$ où l’accroissement $\Delta u$ est déterminé par la formule

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1.$

De même, si l’on suppose que les variables $x,y,z,\ldots$ deviennent $x+\xi ',$$y+\psi ',\ z+\zeta ',\ldots ,$ $\xi ',\psi ',\zeta ',\ldots$ étant des quantités différentes de $\xi ,\psi ,$$\zeta ,\ldots ,$ et qu’on désigne par $\Delta 'u$ l’accroissement correspondant de $u,$ on aura

$\Delta 'u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi '+{\frac {du}{dy}}\psi '+{\frac {du}{dz}}\zeta '+\ldots }-1.$

Or la première équation donne, comme on l’a déjà vu plus haut,

$\log(1+\Delta u)={\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots ,$

et comme les quantités $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ sont indépendantes les unes des autres, il est clair qu’en supposant d’abord $\psi =0,\ \zeta =0,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dx}}\xi =\log(1+\Delta u),$

où $\Delta u$ désigne l’accroissementde $u$ qui a lieu tandis que $x$ seul croit de $\xi \,;$ de sorte qu’en désignant cet accroissement partiel de $u$ par $\Delta _{\xi }u,$ on aura

${\frac {du}{dx}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)}{\xi }}.$

De même, si l’on désigne par $\Delta _{\psi }u,\Delta _{\zeta }u,\ldots$ les accroissements partiels de $u$ qui ont lieu lorsque $y,z,\ldots$ deviennent chacun à part $y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dy}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\psi }u\right)}{\psi }},\quad {\frac {du}{dz}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\zeta }u\right)}{\zeta }},\ldots .$

Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&\xi '+{\frac {du}{dy}}\psi '+{\frac {du}{dz}}\zeta '+\ldots \\&={\frac {\xi '}{\xi }}\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)+{\frac {\psi '}{\psi }}\log \left(1+\Delta _{\psi }u\right)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}\log \left(1+\Delta _{\zeta }u\right)+\ldots \\&=\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots .\end{aligned}}$

Donc

$e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots .$

Et par conséquent

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1,$

équation par laquelle on pourra déterminer la valeur complète de la différence $\Delta 'u$ de la fonction $u$ lorsque les variables $x,y,z,\ldots$ y croissent en même temps de $\xi ',\psi ',\zeta ',\ldots ,$ au moyen des différences partielles $\Delta _{\xi }u,\Delta _{\psi }u,\ldots$ de la même fonction, lesquelles résultent lorsque les variables $x,y,z,$ croissent séparément des quantités, $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots .$

Pour pouvoir faire usage de cette équation il faudra développer les puissances de $1+\Delta _{\xi }u,\ 1+\Delta _{\psi }u,\ldots$ et le produit de ces puissances, suivant les puissances de $\Delta u,$ ensuite on appliquera à la caractéristique $\Delta$ l’exposant de la puissance à laquelle la quantité $\Delta u$ se trouvera élevée, et l’on multipliera ensemble les quantités qui se trouveront au-dessous de la lettre $\Delta \,;$ ainsi par exemple $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}$ donnera $\Delta _{\xi \xi }^{2}u,$ ce qui indiquera la différence seconde de $u$ prise en faisant varier $x$ seul successivement de $\xi \,;$ mais $\Delta _{\xi }u\times \Delta _{\psi }u$ donnera $\Delta _{\xi \psi }^{2}u,$ ce qui indiquera de même la différence seconde de $u,$ mais prise en faisant varier d’abord $x$ de $\xi ,$ et ensuite $y$ de $\psi ,$ et ainsi des autres. La raison de cette opération est facile à apercevoir par la nature de notre calcul.

On pourra aussi tirer de là la valeur de la différence d’un degré quelconque, et pour cela il n’y aura qu’à élever les deux membres de l’équation à une puissance dont l’exposant soit le même que celui du degré de la différence ; de cette manière on aura, en général,

$\Delta ^{'\lambda }u=\left[\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1\right]^{\lambda },$

et, changeant $\lambda$ en $-\lambda ,$ on aura aussi

$\sideset {}{^{'\lambda }}\sum u={\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1\right]^{\lambda }}},$

où il faudra développer le second membre de la manière que nous l’avons dit ci-dessus.

15. Les formules précédentes renferment la théorie des interpolations prise dans toute la généralité possible ; par exemple, supposons d’abord que l’on ait une fonction $u$ de $x$ seul, dont on connaisse les différentes valeurs lorsque $x$ devient successivement $x+\xi ,\ x+2\xi ,\ x+3\xi ,\ldots ,$ et qu’on demande la valeur de la même fonction lorsque $x$ devient $x+\xi ',$ $\xi '$ étant une quantité quelconque. On aura donc dans ce cas $\psi =0,\ \zeta =0,\ldots ,$ et par conséquent

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}-1.$

Or la puissance $\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}$ étant développée suivant la méthode ordinaire donne

$1+{\frac {\xi '}{\xi }}\left(\Delta _{\xi }u\right)+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\left(\Delta _{\xi }u\right)^{3}+\ldots .$

Donc, changeant $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}$ en $\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u,$ $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{3}$ en $\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u$ et ainsi de suite, on aura

$\Delta 'u={\frac {\xi '\Delta _{\xi }u}{\xi }}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u}{2\xi ^{2}}}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u}{2.3.\xi ^{3}}}+\ldots \,;$

c’est l’accroissement que doit prendre la fonction $u$ lorsque $x$ devient égal à $x+\xi '\,;$ de sorte que la valeur de la fonction $u$ répondante à $x+\xi '$ sera exprimée par la série

$u+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+\ldots .$

Ainsi, si l’on a une série dont les termes successifs soient exprimés par une même fonction de $x,\ x+\xi ,\ x+2\xi ,\ x+3\xi ,\ldots ,$ la formule précédente donnera la valeur d’un terme quelconque intermédiaire répondant à $x+\xi ',$ en prenant pour $u$ le terme répondant à $x,$ pour $\Delta _{\xi }u$ la différence entre les deux termes répondants à $x+\xi$ et $x,$ pour $\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u$ la différence seconde entre les trois termes répondants à $x+2\xi ,\ x+\xi ,x,$ et ainsi de suite.

16. Supposons maintenant que $u$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ on aura dans ce cas, en faisant $\zeta '=0,\ldots ,$

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}-1.$

La quantité $\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}$ donne comme ci-dessus la série

$1+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+\ldots ,$

et de même la quantité $\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}$ donnera la série

$1+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u+\ldots .$

Donc, multipliant une série par l’autre et ayant égard aux remarques faites vers la fin du n^o 13, on aura

${\begin{aligned}1&+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '\psi '}{\xi \psi }}\Delta _{\xi \psi }^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\xi ^{2}\psi }^{3}u\\&+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\psi ^{2}\xi }^{3}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\Delta 'u&={\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '\psi '}{\xi \psi }}\Delta _{\xi \psi }^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\xi ^{2}\psi }^{3}u\\&+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\psi ^{2}\xi }^{3}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est l’accroissement que doit prendre la fonction $u$ lorsque $x$ et $y$ y deviennent à la fois $x+\xi ',\ y+\psi '.$

Cette formule servira, comme on voit, pour l’interpolation des Tables à double entrée ; et elle s’accorde avec celle que M. Lambert a donnée pour le même objet dans la troisième Partie de ses Beytrœge etc.

On pourra déduire avec la même facilité, de notre équation générale, les formules pour l’interpolation des Tables à triple, quadruple, etc., entrée c’est sur quoi il ne nous paraît pas nécessaire de nous étendre davantage.

17. Nous allons donner maintenant une méthode facile et générale de trouver immédiatement les différences d’un ordre quelconque d’une fonction quelconque de plusieurs variables, sans passer par les différences des ordres inférieurs. Pour cela on considérera que, puisque $\Delta u$ désigne, en général, la différence première de $u,$ $\Delta ^{2}u$ la différence première de $\Delta u$ ou la différence seconde de $u,$ et ainsi de suite, les valeurs successives de $u$ seront

${\begin{aligned}&u,\\&u+\Delta u,\\&u+2\Delta u+\Delta ^{2}u,\\&u+3\Delta u+3\Delta ^{2}u+\Delta ^{3}u,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$u+m\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}u+\ldots .$

De même, en désignant par $\Delta x,\Delta ^{2}x,\ldots ,\ \Delta y,\Delta ^{2}y,\ldots ,\ \Delta z,\Delta ^{2}z,\ldots$ les différences premières, secondes, etc., des variables $x,y,z,\ldots ,$ on aura pour les valeurs successives de $x,$

${\begin{aligned}&x,\\&x+\Delta x,\\&x+2\Delta x+\Delta ^{2}x,\\&x+3\Delta x+3\Delta ^{2}x+\Delta ^{3}x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}x+\ldots ,$

et ainsi de suite pour les valeurs successives de $y,z,\ldots .$

Donc, en général, si $u$ est une fonction quelconque de $x,y,z,\ldots ,$ il est clair que, tandis que $u$ devient

$u+m\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}u+\ldots ,$

$x,y,z,\ldots$ deviendront

${\begin{aligned}&x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}x+\ldots ,\\&y+m\Delta y\,+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}y+\ldots ,\\&z+m\Delta z\ +{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}z+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}z+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit qu’en désignant par $\varphi (x,y,z,\ldots )$ la valeur de $u,$ en sorte que

$u=\varphi (x,y,z,\ldots ),$

on aura aussi

${\begin{aligned}u+m&\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+\ldots \\=\varphi &\left[x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+\ldots \right.,\\&\ \ y\,+m\Delta y+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}y+\ldots ,\\&\ \ z\,+m\Delta z+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}z+\ldots ,\\&\ \ {\Bigl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\Bigr ]},\end{aligned}}$

équation qui devra avoir lieu, quel que soit le nombre $m\,;$ de sorte qu’après le développement des termes il n’y aura qu’à comparer ceux qui seront affectés d’une même puissance de $m,$ et l’on aura autant d’équations qu’il en faudra pour déterminer les valeurs de chacune des différences $\Delta u,\Delta ^{2}u,\ldots .$

18. Supposons que les différences deviennent infiniment petites et qu’en même temps le nombre $m$ devienne infiniment grand, on aura dans cette hypothèse

$m(m-1)=m^{2},\quad m(m-1)(m-2)=m^{3},\ldots \,;$

donc, changeant la caractéristique $\Delta$ en $d,$ on aura l’équation

${\begin{aligned}u+m&du+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots \\=\varphi &\left(x+mdx+{\frac {m^{2}d^{2}x}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}x}{2.3}}+\ldots \right.,\\&\ \ y+mdy+{\frac {m^{2}d^{2}y}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}y}{2.3}}+\ldots ,\\&\ \ z+mdz+{\frac {m^{2}d^{2}z}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}z}{2.3}}+\ldots ,\\&\ \ {\Bigl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\Bigr )},\end{aligned}}$

Ainsi, si l’on développe la fonction $\varphi (\ldots )$ suivant les puissances de $m,$ en sorte qu’il en résulte une série de cette forme

$\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +m^{2}\mathrm {R} +m^{3}\mathrm {S} +\ldots ,$

on aura

$u=\mathrm {P} ,\quad du=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d^{2}u}{2}}=\mathrm {R} ,\quad {\frac {d^{3}u}{2.3}}=\mathrm {S} ,\ldots .$

Par où l’on voit comment on peut trouver sur-le-champ toutes les différentielles de $u\,;$ c’est ce que nous allons éclaircir par quelques Exemples.

19. Supposons que $u$ soit une fonction de $x$ seul, et que $dx$ soit supposé constant, on aura donc dans ce cas l’équation $u=\varphi (x)$ et

$u+mdu+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots =\varphi (x+mdx),$

de sorte qu’il ne s’agira que de développer la quantité $\varphi (x+mdx)$ suivant les puissances de $m.$

Soit, par exemple,

$\varphi (x)=(a+bx)^{r},$

on aura

${\begin{aligned}\varphi (x+mdx)=&(a+bx+mbdx)^{r}\\=&(a+bx)^{r}+mrb(a+bx)^{r-1}dx+m^{2}{\frac {r(r-1)b^{2}}{2}}(a+bx)^{r-2}dx^{2}\\&+m^{3}{\frac {r(r-1)(r-2)b^{3}}{2.3}}(a+bx)^{r-3}dx^{3}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de $m,$

${\begin{aligned}u&=(a+bx)^{r},\\du&=rb(a+bx)^{r-1}dx,\\d^{2}u&=r(r-1)b^{2}(a+bx)^{r-2}dx^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$d^{\lambda }=r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)b^{\lambda }(a+bx)^{r-\lambda }dx^{\lambda }.$

On remarquera ici, et la même remarque aura toujours lieu dans les cas semblables, que puisque l’on a l’expression générale de la différentielle de l’ordre $\lambda ,$ on pourra, en faisant $\lambda$ négatif, avoir celle de l’intégrale du même ordre $\lambda \,;$ ainsi l’on aura

$\int ^{\lambda }u=r(r-1)(r-2)\ldots (r+\lambda +1){\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{b^{\lambda }dx^{\lambda }}}\,;$

or comme les facteurs $r,\ r-1,\ r-2,\ldots$ vont en diminuant, et que le dernier doit être $r+\lambda +1$ qui est au contraire plus grand que $r,$ cela indique qu’il faut continuer la série de ces facteurs du côté opposé, en employant les divisions au lieu des multiplications, de cette manière

${\frac {1}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )}}\,;$

on aura donc en multipliant par $dx^{\lambda }$

$\int ^{\lambda }udx={\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )b^{\lambda }}}\,;$

ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

20. Dans le cas de l’Exemple précédent, il aurait été facile de trouver la valeur générale de $d^{\lambda }u$ par la méthode ordinaire des différentiations, mais il n’en serait pas de même si la fonction $\varphi (x)$ était tant soit peu plus compliquée. Supposons en effet

$\varphi (x)=\left(a+bx+cx^{2}\right)^{r}=u,$

on verra aisément que les différentielles de $\varphi (x)$ seront exprimées par des séries dont il ne sera pas aisé de trouver la loi, pour avoir l’expression de $d^{\lambda }\varphi (x)\,;$ suivant notre méthode il n’y aura qu’à mettre $x+mdx$ à la place de $x,$ ce qui rendra $a+bx+cx^{2}$ égal à

$a+bx+cx^{2}+m(b+2cx)dx+m^{2}cdx^{2}\,;$

de sorte que la difficulté ne consistera qu’à réduire l’expression

$\left[a+bx+cx^{2}+m(b+2cx)dx+m^{2}cdx^{2}\right]^{r}$

en une série qui procède suivant les puissances de $m.$

Faisons pour plus de simplicité

${\begin{aligned}&a+bx+cx^{2}=p,\\&b+2cx=q,\end{aligned}}$

en sorte que la quantité proposée devienne

$\left(p+mqdx+m^{2}cdx^{2}\right)^{r}.$

Je la développe d’abord ainsi

$(p+mqdx)^{r}+r(p+mqdx)^{r-1}cm^{2}dx^{2}+{\frac {r(r-1)}{2}}(p+mqdx)^{r-2}c^{2}m^{4}dx^{4}$

$+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}(p+mqdx)^{r-3}c^{3}m^{6}dx^{6}+\ldots ,$

et il ne s’agira plus que de développer de même les différentes puissances de $p+qmdx.$

Supposons qu’on veuille avoir, en général, le terme qui sera affecté de la puissance $m^{\lambda },$ il est clair que si l’on dénote par $\mathrm {A} m^{\lambda }dx^{\lambda }$ le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r},$ par $\mathrm {B} m^{\lambda -2}dx^{\lambda -2}$ le terme affecté de $m^{\lambda -2}$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r-1},$ par $\mathrm {C} m^{\lambda -4}dx^{\lambda -4}$ le terme affecté de $m^{\lambda -4}$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r-2},$ et ainsi de suite, il est clair, dis-je, que le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la série précédente sera représenté par

$\left[\mathrm {A} +r\mathrm {B} c+{\frac {r(r-1)}{2}}\mathrm {C} c^{2}+{\frac {r(r-1)(r-3)}{2.3}}\mathrm {D} c^{3}+\ldots \right]m^{\lambda }dx^{\lambda }\,;$

or le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la série

$u+mdu+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+\ldots$

est évidemment

${\frac {m^{\lambda }d^{\lambda }u}{1.2.3\ldots \lambda }}\,;$

ainsi, comparant ces deux termes, on aura

$d^{\lambda }u=1.2.3\ldots \lambda \left[\mathrm {A} +r\mathrm {B} c+{\frac {r(r-1)}{2}}\mathrm {C} c^{2}+\ldots \right]dx^{\lambda },$

où $u=p^{r}.$

Mais il est facile de voir que l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}p^{r-\lambda }q^{\lambda },\\\mathrm {B} =&{\frac {(r-1)(r-2)(r-3)\ldots (r-\lambda +2)}{1.2.3\ldots (\lambda -2)}}p^{r-\lambda +1}q^{\lambda -2},\\\mathrm {C} =&{\frac {(r-2)(r-3)(r-4)\ldots (r-\lambda +3)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}p^{r-\lambda +2}q^{\lambda -4},\\\mathrm {D} =&{\frac {(r-3)(r-4)(r-5)\ldots (r-\lambda +4)}{1.2.3\ldots (\lambda -6)}}p^{r-\lambda +3}q^{\lambda -6},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant ces valeurs, et faisant attention que

${\begin{aligned}&{\frac {(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +2)}{1.2\ldots (\lambda -2)}}\\&\quad ={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{r(r-\lambda +1)}},\\\\&{\frac {(r-2)(r-3)\ldots (r-\lambda +3)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}\\&\quad ={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{r(r-1)(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, on aura

${\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)p^{r-\lambda }q^{\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{r-\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$+\left.{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2.3.(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)(r-\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right],$

où

${\begin{aligned}p=&a+bx+cx^{2},\\q=&b+2cx.\end{aligned}}$

De là on peut, en changeant $\lambda$ en $-\lambda ,$ tirer la valeur de $\int ^{\lambda }p^{r}dx^{\lambda },$ et l’on trouvera, d’après ce qui a été remarqué dans le numéro précédent,

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}d^{\lambda }=&{\frac {p^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)\ldots (r+\lambda )q^{\lambda }}}\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{r+\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$+\left.{\frac {\lambda (\lambda +1)\ldots (\lambda +5)}{2.3.(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)(r+\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right].$

Ainsi, faisant $\lambda =1,$ on aura

${\begin{aligned}\int p^{r}dx={\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}&\left[1+{\frac {2cp}{(r+2)q^{2}}}+{\frac {3.4.c^{2}p^{2}}{(r+2)(r+3)q^{4}}}\right.\\&\quad +\left.+{\frac {4.5.6.c^{3}p^{3}}{(r+2)(r+3)(r+4)q^{6}}}+\ldots \right],\end{aligned}}$

ce qu’on peut aisément vérifier par la différentiation.

Si dans l’expression précédente on fait $2c=k,$ on aura plus simplement

${\begin{aligned}\int p^{r}dx=&{\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}+{\frac {kp^{r+2}}{(r+1)(r+2)q^{3}}}+{\frac {1.3.k^{2}p^{r+3}}{(r+1)(r+2)(r+3)q^{5}}}\\&+{\frac {1.3.5.k^{3}p^{r+5}}{(r+1)(r+2)(r+3)(r+4)q^{7}}}+\ldots .\end{aligned}}$

et l’on reconnaîtra facilement la vérité de cette formule en remarquant que $dp=qdx$ et $dq=kdx.$

21. On peut encore trouver une autre expression de $d^{\lambda }u,$ laquelle reviendra au même pour le fond, mais qui pourra être regardée comme plus simple pour la forme.

Pour cela je reprends la quantité

$\left(p+mqdx+m^{2}cdx^{2}\right)^{r},$

dont il s’agit de trouver le terme affecté de $m^{\lambda },$ et je fais pour un moment $dx=2pdt\,;$ elle deviendra

$p^{r}\left(1+2mqdt+4m^{2}pcdt^{2}\right)^{r}\,;$

je considère maintenant que

$4pc-q^{2}=4c\left(a+bx+cx^{2}\right)-(b+2cx)^{2}=4ca-b^{2}\,;$

d’où il s’ensuit que si l’on fait, pour abréger,

$4ca-b^{2}=h,$

on aura $4pc=h+q^{2},$ ce qui réduira l’expression précédente à celle-ci

$p^{r}\left[(1+mqdt)^{2}+m^{2}hdt^{2}\right]^{r}.$

Or la quantité

$\left[(1+mqdt)^{2}+m^{2}hdt^{2}\right]^{r}$

se développe d’abord en cette série

${\begin{aligned}&(1+mqdt)^{2r}+r(1+mqdt)^{2r-2}hm^{2}dt^{2}+{\frac {r(r-1)}{2}}(1+mqdt)^{2r-4}h^{2}m^{4}dt^{4}\\&\quad +{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}(1+mqdt)^{2r-6}h^{3}m^{6}dt^{6}+\ldots \,;\end{aligned}}$

ensuite, développant encore chaque puissance de $1+mqdt,$ on trouvera que le terme affecté de $m^{\lambda }$ sera représenté par la série

${\begin{aligned}&{\frac {2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}m^{\lambda }q^{\lambda }dt^{\lambda }\\&\quad +r{\frac {(2r-2)(2r-3)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots (\lambda -2)}}m^{\lambda }q^{\lambda -2}hdt^{\lambda }\\&\quad +{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {(2r-4)(2r-5)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}m^{\lambda }q^{\lambda -4}h^{2}dt^{\lambda }\\&\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Ainsi cette série, multipliée par $p^{r},$ sera égale au terme

${\frac {m^{\lambda }d^{\lambda }u}{1.2.3\ldots \lambda }},$

de sorte qu’on aura, en remettant ${\frac {dx}{2p}}$ à la place de $dt$ et $p^{r}$ à la place de $u,$

${\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-\lambda +1)\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }p^{r-\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\\\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2r(2r-1)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}\right].$

Si dans cette formule on fait

$r=-{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad p=1-x^{2},$

par conséquent

$a=1,\quad b=0,\quad c=-1,\quad q=-2x,\quad h=-4,$

on aura

${\begin{aligned}d^{\lambda }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&{\frac {1.2.3\ldots \lambda .x^{\lambda }dx^{\lambda }}{\left(1-x^{2}\right)^{\lambda +{\frac {1}{2}}}}}\\&\times \left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1.2.x^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{1.2.3.4.x^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{1.2\ldots 6.x^{6}}}+\ldots \right].$

C’est la formule que M. Euler a trouvée par induction dans ses Institutions du Calcul différentiel.

On peut aussi, dans la formule générale ci-dessus, faire $\lambda$ négatif, et l’on aura alors, comme dans le numéro précédent,

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}dx^{\lambda }&={\frac {p^{r+\lambda }}{(2r+1)(2r+2)\ldots (2r+\lambda )\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }}}\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)\ldots (\lambda +5)}{2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}=\ldots \right].$

Ainsi, faisant $\lambda =1,$ on aura

${\begin{aligned}\int p^{r}dx={\frac {2p^{r+1}}{(2r+1)q}}&\left[1+{\frac {h}{(2r-1)q^{2}}}+{\frac {3h^{2}}{(2r-1)(2r-3)q^{4}}}\right.\\&\quad +\left.{\frac {3.5.h^{3}}{(2r-1)(2r-3)(2r-5)q^{6}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Au reste, ces formules pour les intégrations sont en quelque sorte plus curieuses qu’utiles, parce qu’elles ont toujours l’inconvénient d’aller à l’infini, même quand l’intégrale peut être exprimée d’une manière finie ; mais elles n’en sont pas moins remarquables, puisqu’elles servent à montrer de plus en plus l’analogie qu’il y a entre les différentiations et les intégrations.

22. Soit à présent $u$ une fonction de $x$ et $y,$ et supposons par exemple $u=xy,$ on aura donc (18)

${\begin{aligned}u+m&du+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots \\=&\left(x+mdx+{\frac {m^{2}d^{2}x}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}x}{2.3}}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(y+mdy+{\frac {m^{2}d^{2}y}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}y}{2.3}}+\ldots \right)\\=&xy+m(xdy+ydx)+m^{2}\left({\frac {xd^{2}y}{2}}+dxdy+{\frac {yd^{2}x}{2}}\right)\\&+m^{3}\left({\frac {xd^{3}y}{1.2.3}}+{\frac {dxd^{2}y}{1\times 1.2}}+{\frac {dyd^{2}x}{1\times 1.2}}+{\frac {yd^{3}x}{1.2.3}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de $m,$ on aura

${\begin{aligned}u&=xy,\\du&=xdy\ \,+ydx,\\d^{2}u&=xd^{2}y+2dxdy\ \,+yd^{2}x,\\d^{3}u&=xd^{3}y+3dxd^{2}y+3dyd^{2}x+yd^{3}x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

${\begin{aligned}d^{\lambda }=&yd^{\lambda }x+\lambda dyd^{\lambda -1}x+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}d^{2}yd^{\lambda -2}x\\&+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)}{2.3}}d^{3}yd^{\lambda -3}x+\ldots \,;\end{aligned}}$

c’est la série que Leibnitz a donnée dans le tome cité des Miscellanea Berolinensia.

Si dans cette série on fait $\lambda ,$ négatif, c’est-à-dire qu’on y mette $-\lambda ,$ à la place de $\lambda ,$ et qu’on change en conséquence les différences dont l’exposant sera négatif en intégrales du même ordre, on aura

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }=&y\int ^{\lambda }x-\lambda dy\int ^{\lambda +1}x+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}d^{2}y\int ^{\lambda +2}x\\&-{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}d^{3}y\int ^{\lambda +3}x+\ldots \,;\end{aligned}}$

or si l’on suppose, ce qui est permis, que la différentielle $dx$ soit constante, on aura

$\int x={\frac {x^{2}}{2dx}},\quad \int ^{2}x={\frac {x^{3}}{2.3.dx^{2}}},$

et, en général,

$\int ^{\mu }x={\frac {x^{\mu +1}}{2.3.4\ldots (\mu +1)dx^{\mu }}}\,;$

donc substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et la multipliant toute par $dx^{\lambda },$ elle deviendra

$\int ^{\lambda }udx^{\lambda }={\frac {x^{\lambda +1}y}{2.3\ldots (\lambda +1)}}-{\frac {\lambda x^{\lambda +2}dy}{2.3\ldots (\lambda +2)dx}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)x^{\lambda +3}d^{2}y}{2\times 2.3\ldots (\lambda +3)dx^{2}}}-\ldots .$

Si dans la formule ci-dessus on met $dx$ à la place de $x,$ en sorte que $u=ydx,$ il faudra mettre $\int ^{\lambda }dx=\int ^{\lambda -1}x$ à la place de $\int ^{\lambda }x,$ et ainsi des autres, et l’on aura

$\int ^{\lambda }ydx=y\int ^{\lambda -1}x-\lambda dy\int ^{\lambda }x+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}d^{2}y\int ^{\lambda +1}x-\ldots ,$

ou bien, en substituant les valeurs de $\int ^{\lambda -1}x,\ \int ^{\lambda }x,\ldots ,$ et multipliant toute l’équation par $dx^{\lambda -1},$

$\int ^{\lambda }ydx^{\lambda }={\frac {x^{\lambda }y}{2.3\ldots \lambda }}-{\frac {\lambda x^{\lambda +1}dy}{2.3\ldots (\lambda +1)dx}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {x^{\lambda +2}d^{2}y}{2.3\ldots (\lambda +2)dx^{2}}}-\ldots .$

Si $\lambda =1,$ on aura donc

$\int ydx=xy-{\frac {x^{2}dy}{2dx}}+{\frac {x^{3}d^{2}y}{2.3.dx^{2}}}-\ldots \,;$

c’est la série que M. Jean Bernoulli a donnée dans les Actes de Leipsick de 1694.