Le nouvel enseignement doit essentiellement satisfaire aux deux conditions suivantes :
1o Écarter à tout jamais la division de la science en Mathématiques pures et en Mathématiques appliquées.
La première classe n’existe plus aujourd’hui. L’arithmétique est éminemment pratique ; la théorie des nombres elle-même retrouve ses plus beaux théorèmes dans l’étude des vibrations. La Géométrie et la Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient deux propriétés distinctes de la matière, l’étendue et le mouvement. L’Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des phénomènes qu’on étudie. Le Calcul intégral, traité isolément, est un non-sens, car chacun de ses progrès a son origine naturelle dans une application.
2o Présenter toutes les parties de chaque science à l’aide de leurs propres méthodes d’invention, en se gardant soigneusement de ne parler que des méthodes d’après-coup ou de pure vérification, dites plus rigoureuses, mais complètement stériles.
Il ne saurait exister de méthode générale pour inventer. Chaque découverte a la sienne, qui lui est propre et même exclusive. Le seul moyen d’exercer l’esprit de recherche consiste à retracer toutes les découvertes déjà connues, telles qu’elles ont été faites. La multiplicité de ces exemples peut seule éveiller la faculté d’en accroître le nombre. Et si, dans la série des méthodes d’invention, l’Analyse et la Géométrie agissent, tantôt
