Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 11

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 127-141).

CHAPITRE XI.

Où l’on donne l’équation primitive d’une équation du premier ordre dans laquelle les variables sont séparées, mais où l’on ne peut point obtenir directement les fonctions primitives de chacun des deux membres. Propriétés remarquables de ces fonctions primitives.

---

67. Prenons pour dernier exemple l’équation du premier ordre

$y'={\frac {\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}}.$

En la divisant par le radical en $y,$ on aurait une équation où les variables $x$ et y seraient séparées ; mais il serait impossible d’obtenir ainsi l’équation primitive, parce que les deux membres ne sont point réductibles en particulier à des fonctions primes.

Voici néanmoins comment on y peut parvenir par le moyen des fonctions dérivées.

Je suppose d’abord que $x$ et $y$ soient fonctions d’une autre variable $t\,;$ il faudra, pour cela, substituer ${\frac {y'}{x'}},$ à la place de $y'$ (n^o 50) ; $x'$ et $y'$ seront alors les fonctions primes de $x$ et $y,$ regardées comme fonctions de $t.$ En supposant que $x$ soit une fonction quelconque de $t,$ l’équation donnera pour $y$ une fonction déterminée de $t\,;$ ainsi je puis supposer que $x$ soit une telle fonction de $t$ que l’on ait l’équation

$x'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}\,;$

l’équation précédente, où l’on a mis ${\frac {y'}{x'}}$ pour $y',$ donnera pareillement

$y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}.$

Qu’on fasse disparaître les radicaux dans ces deux équations, qu’ensuite on prenne les fonctions primes, on aura, après avoir divisé l’une par $x',$ l’autre par $y',$

${\begin{aligned}2x''=&\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+3\mathrm {D} x^{2}+4\mathrm {E} x^{3},\\2y''=&\mathrm {B} +2\mathrm {C} y\,+3\mathrm {D} y^{2}+4\mathrm {E} y^{3}.\end{aligned}}$

Faisons $x+y=p,$ $x-y=q,$ ce qui donne

$x={\frac {p+q}{2}},\quad y={\frac {p-q}{2}}\,;$

les deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, donneront

${\begin{aligned}p''=&\mathrm {B+C} p+{\frac {3\mathrm {D} }{4}}\left(p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(p^{3}+3pq^{2}\right),\\q''=&\mathrm {C} q+{\frac {3\mathrm {D} }{2}}pq+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right).\end{aligned}}$

De plus, comme $p'q'=x'^{2}-y'^{2},$ si l’on substitue les valeurs de $x'$ et de $y'$ tirées des premières équations, on aura

$p'q'=\mathrm {B} q+\mathrm {C} pq+{\frac {\mathrm {D} }{4}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right)+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(p^{3}q+pq^{3}\right).$

Maintenant je fais cette combinaison :

$qp''-p'q'={\frac {\mathrm {D} }{2}}q^{3}+\mathrm {E} pq^{3}\,;$

multipliant les deux membres par ${\frac {2p'}{q^{3}}},$ ils deviennent les fonctions primes de ${\frac {p'^{2}}{q^{2}}}$ et de $\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2},$ de sorte que j’aurai d’abord cette équation primitive du premier ordre

${\frac {p'^{2}}{q^{2}}}=\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}+a,$

où $a$ est une constante arbitraire.

Pour la déterminer, soit $m$ la valeur de $y$ lorsque $x=0\,;$ on aura dans ce cas, par les équations ci-dessus,

$x'={\sqrt {\mathrm {A} }},\quad y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2}+\mathrm {D} m^{3}+\mathrm {E} m^{4}}}\,;$

je fais cette dernière quantité égale à $n,$ pour abréger.

Ainsi, puisque $p=x+y,$ $q=x-y,$ $p'=x'+y',$ $q'=x'-y',$ on aura, lorsque $x=0,$

$p=m\quad q=-m\quad p'={\sqrt {\mathrm {A} }}+n\quad q'={\sqrt {\mathrm {A} }}-n.$

Faisant ces substitutions dans l’équation qu’on vient de trouver, on aura

$a={\frac {\left({\sqrt {\mathrm {A} }}+n\right)^{2}}{m^{2}}}-\mathrm {D} m-\mathrm {E} m^{2},$

où l’on voit que, puisque $m$ est une quantité indéterminée, la constante $a$ demeure aussi indéterminée ; mais les déterminations précédentes seraient utiles si, par d’autres combinaisons, on trouvait de nouvelles équations primitives avec des constantes arbitraires.

Nous avons donc l’équation

$p'=q{\sqrt {a+\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}}},$

qui, quoique du premier ordre, peut néanmoins donner tout de suite l’équation primitive en $x$ et $y$ de la proposée, puisque la valeur de $p',$ qui est $x'+y',$ est déjà connue en $x$ et $y.$ En effet, substituant les valeurs de $p,q$ et $p',$ on aura

${\begin{aligned}&{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}+{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {a+\mathrm {D} (x+y)+\mathrm {E} (x+y)}},\end{aligned}}$

où $a$ est la constante arbitraire.

Cette équation en $x$ et $y$ est, comme l’on voit, sous une forme assez simple, et la méthode par laquelle nous y sommes parvenus est fort remarquable ; mais cette équation n’est pas la seule qu’on puisse obtenir par les formules que nous venons de trouver.

En effet, si l’on substitue la valeur précédente de $p'$ dans l’équation trouvée plus haut, qui donne la valeur de $p'q',$ on en tirera

$q'={\frac {\mathrm {B+C} p+{\frac {1}{4}}\mathrm {D} \left(3p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {E} \left(p^{3}+pq^{2}\right)}{\sqrt {a+\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}}}}.$

Ici, remettant pour $p$ et $q$ leurs valeurs $x+y$ et $x-y,$ et pour $q'$ sa valeur

$x'-y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}-{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}-\mathrm {E} y^{2}}},$

on aura une nouvelle équation en $x$ et $y$ avec la constante arbitraire a, qui sera également l’équation primitive de la proposée, mais qui ne sera qu’une transformée de l’équation précédente.

68. L’équation du premier ordre dont nous venons de trouver l’équation primitive peut toujours, par des transformations convenables, se réduire à la forme

$z'={\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},$

$z$ étant ici une fonction de $u.$ Comme cette équation, traitée directement de la même manière, est susceptible d’une analyse beaucoup plus simple et plus élégante, j’ai cru qu’on ne serait pas fâché de la trouver ici.

On regardera $u$ et $z$ comme fonctions d’une autre variable $t,$ et, après avoir substitué, en conséquence, ${\frac {z'}{u'}}$ à la place de $z'$ (n^o 50), on fera ces deux équations séparées

$u'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}},\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}\,;$

après les avoir carrées, on en prendra les fonctions primes ; on aura, en divisant l’une par $u'$ et l’autre par $z',$ ces deux-ci du second ordre :

$2u''=-\mathrm {B} \sin u,\quad 2z''=-\mathrm {B} \sin z.$

Soient maintenant $z+u=2p,$ $z-u=2q\,;$ les deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, deviendront par les théorèmes connus,

$2p''=-\mathrm {B} \sin p\cos q,\quad 2q''=-\mathrm {B} \cos p\sin q.$

Il est d’abord visible que, si l’on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par $q'$ et la seconde par $p',$ le premier membre deviendra la fonction prime de $2p'q',$ et le second la fonction prime de $\mathrm {B} \sin p\sin q,$ de sorte qu’on aura d’abord cette équation primitive du premier ordre,

$2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q+a,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, supposons que $u=0$ donne $z=m,;$ on aura donc dans ce cas

$u'=\mathrm {\sqrt {A+B}} ,\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}},\quad p=q={\frac {m}{2}},$

$p'={\frac {z'+u'}{2}},\quad q'={\frac {z'-u'}{2}}\,;$

donc

$2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} (\cos m-1)}{2}},$

$\sin p\sin q=\sin ^{2}{\frac {m}{2}}={\frac {1-\cos m}{2}},$

de sorte que l’on aura

$a=2p'q'+\mathrm {B} \sin p\sin q=0.$

On aura donc simplement l’équation

$2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q,$

d’où l’on peut conclure que cette équation primitive, ne renfermant point de constante arbitraire, doit être comprise dans les équations du premier ordre en $z$ et $u,$ d’oà nous sommes partis. En effet, ces équations donnent, en substituant les valeurs de $p$ et $q,$

$2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} }{2}}(\cos z-\cos u)=-\mathrm {B} \sin p\sin q.$

Divisons maintenant par cette équation du premier ordre les deux équations ci-dessus du second en $p$ et $q\,;$ on aura ces deux-ci,

${\frac {p''}{p'q'}}={\frac {\cos q}{\sin q}},\quad {\frac {q''}{p'q'}}={\frac {\cos p}{\sin p}},$

dont la première étant multipliée par $q'$ et la seconde par $p'$ donneront ces équations primitives

$\operatorname {l} p'=\operatorname {l} \sin q+\operatorname {l} a,\quad \operatorname {l} q'=\operatorname {l} \sin p+\operatorname {l} b,$

ou bien, en passant des logarithmes aux nombres,

$p'=a\sin q,\quad q'=b\sin p,$

$a$ et $b$ étant des constantes arbitraires qu’on déterminera par les mêmes suppositions que ci-dessus, d’où l’on aura

${\begin{aligned}a=&{\cfrac {{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}+{\sqrt {\mathrm {A+B} }}}{2\sin {\cfrac {m}{2}}}},\\b=&{\cfrac {{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}-{\sqrt {\mathrm {A+B} }}}{2\sin {\cfrac {m}{2}}}},\end{aligned}}$

Les deux équations qu’on vient de trouver pourraient donner chacune une équation primitive en $u$ et $z$ par la substitution des valeurs de $p,q,p',q'\,;$ on aurait ainsi

${\begin{aligned}&{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}+{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}=2a\sin {\frac {z-u}{2}},\\&{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}-{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}=2b\sin {\frac {z+u}{2}}.\end{aligned}}$

Comme les valeùrs de $a$ et $b$ renferment l’indéterminée $m,$ chacune de ces valeurs pourra être regardée aussi comme indéterminée en particulier ainsi, dans chacune de ces équations à part, on pourra regarder $a$ ou $b$ comme constante arbitraire ; mais, si l’on voulait faire une combinaison quelconque de ces équations, il faudrait employer les valeurs de $a$ et $b$ trouvées ci-dessus, et alors la quantité $m$ serait la seule constante arbitraire.

Ces dernières équations étant compliquées de radicaux, il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d’après les mêmes équations du premier ordre

$p'=a\sin q,\quad q'=b\sin p\,;$

or, en divisant l’une par l’autre, on a

${\frac {p'}{q'}}={\frac {a\sin q}{b\sin p}},$

et, multipliant en croix,

$bp'\sin p=aq'\sin q,$

d’où l’on tire tout de suite l’équation primitive

$b\cos p=a\cos q+c,$

$c$ étant une nouvelle constante arbitraire qu’il faudra déterminer comme ci-dessus. Or, en faisants $u=0$ et $z=m,$ on a

$p=q={\frac {m}{2}}\,;$

donc l’équation précédente donnera

$c=(b-a)\cos {\cfrac {m}{2}}=-{\cfrac {\mathrm {\sqrt {A+B}} \cos {\cfrac {m}{2}}}{\sin {\cfrac {m}{2}}}}.$

Substituant les valeurs de $a,b,c$ ainsi que celles de $p={\frac {z+u}{2}}$ et $q={\frac {z-u}{2}}$ dans la même équation, et faisant les réductions des sinus et cosinus, elle prendra cette forme très-simple

$\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}{\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos {\frac {m}{2}}\,;$

c’est l’équation primitive de la proposée du premier ordre en $u,z$ et $z',$ et l’angle $m$ en est la constante arbitraire.

69. On peut regarder les angles ${\frac {z}{2}},{\frac {u}{2}}$ et ${\frac {m}{2}}$ comme les trois côtés d’un triangle sphérique ; il est visible qu’alors, dans l’équation précédente, la quantité ${\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}$ sera le cosinus de l’angle compris entre les côtés ${\frac {z}{2}}$ et ${\frac {u}{2}},$ et par conséquent opposé au côté ${\frac {m}{2}},$ par les formules connues de la Trigonométrie sphérique ; c’est la valeur de $z'$ lorsque $u=0$ et $z=m.$ Ainsi cet angle sera constant en même temps que le côté ${\frac {m}{2}},$ tandis que les deux autres varient.

Soit $\mathrm {M}$ cet angle constant ; on aura donc

${\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos \mathrm {M} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {\cfrac {A}{B}} ={\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {M} -\cos m}{\sin ^{2}\mathrm {M} }}=2\left({\cfrac {\sin {\cfrac {m}{2}}}{\sin \mathrm {M} }}\right)^{2}-1.$

Si l’on fait cette substitution dans l’équation proposée en $u,z$ et $z',$ et qu’on suppose, pour abréger, ${\cfrac {\sin \mathrm {M} }{\sin {\cfrac {m}{2}}}}=\mu ,$ elle se réduira à cette forme

$z'={\cfrac {\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {z}{2}}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {u}{2}}}}},$

dont l’équation primitive sera la relation entre les côtés ${\frac {z}{2}},{\frac {u}{2}}$ et ${\frac {m}{2}}$ d’un triangle sphérique dans lequel $\mu$ sera le rapport des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, rapport qu’on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés, de sorte que, ce rapport seul étant donné, il restera l’angle ou le côté pour arbitraire.

La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus facilement comment l’équation entre ses trois côtés satisfait à l’équation précédente du premier ordre. Cette équation étant

$\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=\cos {\frac {m}{2}},$

si l’on prend les fonctions primes, en regardant $z$ cômme fonction de $u,$ et $m,\mathrm {M}$ comme constantes, on aura

$\left(\cos \mathrm {M} \cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}-\sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)z'+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}-\cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=0.$

Substituons à la place de $\cos \mathrm {M}$ sa valeur tirée de la même équation ; il viendra celle-ci :

${\cfrac {\cos {\cfrac {z}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {u}{2}}}{\sin {\cfrac {z}{2}}}}z'+{\cfrac {\cos {\cfrac {u}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {z}{2}}}{\sin {\cfrac {u}{2}}}}=0.$

Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont ${\frac {u}{2}},{\frac {z}{2}},{\frac {m}{2}}$ sont les trois côtés et $\mathrm {M}$ l’angle opposé au côté ${\frac {m}{2}},$ on désigne par $\mathrm {U}$ et $\mathrm {Z}$ les angles opposés aux côtés ${\frac {u}{2}}$ et ${\frac {z}{2}},$ on aura également

${\begin{aligned}\cos {\frac {u}{2}}=&\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {m}{2}}+\cos \mathrm {U} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {m}{2}},\\\cos {\frac {z}{2}}=&\cos {\frac {u}{2}}\cos {\frac {m}{2}}-\cos \mathrm {Z} \sin {\frac {u}{2}}\sin {\frac {m}{2}}\,;\end{aligned}}$

je donne à $\cos \mathrm {Z}$ le signe $-$ parce que je suppose l’angle $\mathrm {Z}$ obtus. Donc, faisant ces substitutions et divisant toute l’équation par $\sin {\frac {m}{2}},$ elle deviendra

$z'\cos \mathrm {U-\cos Z} =0,\quad {\text{d’où}}\quad z'=\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} .$

Mais, par la propriété générale des triangles sphériques, on a

${\cfrac {\sin \mathrm {U} }{\sin {\cfrac {u}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {Z} }{\sin {\cfrac {z}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {M} }{\sin {\cfrac {m}{2}}}}=\mu \,;$

donc

$\sin \mathrm {U} =\mu \sin {\frac {u}{2}},\quad \sin \mathrm {Z} =\mu \sin {\frac {z}{2}},$

et de là

$\cos \mathrm {U} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {u}{2}}}},\quad \cos \mathrm {Z} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {z}{2}}}}\,;$

substituant ces valeurs, on aura la même équation du premier ordre en $u$ et $z.$

Si l’angle $\mathrm {Z} ,$ que nous avons supposé obtus, était aigu, ainsi que l’angle $\mathrm {U} ,$ alors, au lieu de l’équation $z'=\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} ,$ on aurait celle-ci,

$z'+\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} =0,$

qui ne diffère que par le signe de $z'$ et dont l’équation primitive sera la même.

70. Voici encore, une considération essentielle sur ces sortes d’équations : l’équation du n^o 68 étant mise sous cette forme

${\frac {z'}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},$

supposons que $f(u)$ soit la fonction primitive de ${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}}\,;$ $f(z)$ sera pareillement la fonction primitive de ${\frac {z'}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}},$ $z$ étant regardé comme une fonction de $u$ dont $z'$ est la fonction prime. Ainsi, en repassant aux fonctions primitives, on aura sur-le-champ cette équation primitive

$f(z)=f(u)+k,$

$k$ étant la constante arbitraire.

Cette équation devra donc coïncider avec l’équation primitive que nous avons trouvée au n^o 68, et où la constante arbitraire est $m\,;$ par conséquent, sa constante arbitraire ne pourra être qu’une fonction de la constante arbitraire $m.$ Soit donc $k=\operatorname {F} (m)\,;$ on aura

$f(y)=f(u)+\operatorname {F} (m).$

Mais $m$ est la valeur de $z$ lorsque $u=0\,;$ supposant donc, pour plus de simplicité, que la fonction $f(u)$ soit prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $u=0,$ il faudra qu’en faisant $u=0$ on ait aussi $z=m\,;$ par conséquent, on aura $f(m)=\operatorname {F} (m)\,;$ donc l’équation primitive qu’on vient de trouver deviendra

$f(z)=f(u)+f(m),$

à laquelle satisfera cette relation algébrique :

$\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {A+B} \cos m}{\mathrm {A+B} }}}=\cos {\frac {m}{2}}.$

Ainsi, quoiqu’on ne puisse pas trouver la forme algébrique des fonctions $f(u),f(z),f(m),$ on peut néanmoins trouver une relation algébrique entre trois quantités $z,u,m,$ telle que l’on ait

$f(z)=f(u)+f(m).$

Donc aussi, si dans l’équation précédente on change $z$ en $y$ et $u$ en $z,$ on aura

$\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {z}{2}}+\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {z}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {A+B} \cos m}{\mathrm {A+B} }}}=\cos {\frac {m}{2}}$

et

$f(y)=f(z)+f(m).$

En changeant encore $y$ en $x,$ $z$ en $y,$ ce qui donnera

$\cos {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {A+B} \cos m}{\mathrm {A+B} }}}=\cos {\frac {m}{2}},$

on aura de même

$f(x)=f(y)+f(m),$

et ainsi de suite.

On aura donc successivement

$f(z)=f(u)+f(m),\quad f(y)=f(u)+2f(m),\quad f(x)=f(u)+3f(m),\quad \ldots ,$

et les relations entre $y,u$ et $m,$ entre $x,u$ et $m,$ etc., se tireront des relations précédentes, en éliminant d’abord $z,$ ensuite $y,$ etc.

On peut appliquer cette théorie à la forme générale de l’équation que nous avons considérée dans le n^o 67 et en tirer des conclusions semblables ; mais, si l’on rapporte, comme au n^o 69, les formules précédentes aux triangles sphériques, il en résulte une construction élégante que voici.

Soit formé un triangle sphérique dont les trois côtés soient $z,u,m$ (pour éviter les fractions, je substitue les quantités $2z,2u,2m$ à la place de $z,u,m$ dans les formules du numéro cité) et où l’angle entre $u$ et $m$ soit obtus ; l’angle compris entre les deux côtés $u$ et $z$ demeurant constant, qu’on transporte alternativement la base $m$ le long de ces mêmes côtés prolongés, de manière qu’il en résulte une suite de triangles, dont chacun ait toujours un côté commun avec le triangle précédent, et qui aient tous la même base $m$ et l’angle commun $\mathrm {M}$ au sommet ; alors, si les côtés qui comprennent cet angle sont successivement pour ces différents triangles $u$ et $z,$ $z$ et $y,$ $y$ et $x,\ldots ,$ on aura

$f(z)=f(u)+f(m),\quad f(y)=f(u)+2f(m),\quad f(x)=f(u)+3f(m),\quad \ldots ,$

$f(u)$ étant la fonction primitive de la fonction ${\frac {1}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}u}}},$ dans laquelle $\mu ={\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin m}},$ et ainsi des autres fonctions semblables en $z,y\ldots .$

Par cette construction, on peut trouver facilement les valeurs des côtés $y,x,\ldots$ des nouveaux triangles, car, en considérant les triangles isoscèles qui ont pour côtés la base $m$ transportée alternativement, les perpendiculaires abaissées de leurs sommets sur leurs bases respectives couperont ces bases en deux parties égales, et les triangles rectangles formés par ces perpendiculaires et par les côtés qui comprennent l’angle commun $\mathrm {M}$ donneront tout de suite, par l’analogie connue pour les triangles rectangles, ces équations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {u+y}{2}}=&\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} z,\\\operatorname {tang} {\frac {x+z}{2}}=&\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} y,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et, si l’on fait $u=m,$ en sorte que le premier triangle soit isoscèle, ayant $z$ pour base, on aura de plus l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}=\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} m,$

et l’on aura alors

$f(z)=2f(m),\quad f(y)=3f(m),\quad f(x)=4f(m),\quad \ldots .$

Nous remarquerons ici que cette construction est pour les triangles sphériques ce que la construction du problème 29 des questions géométriques de l’Arithmétique de Newton est pour les triangles rectilignes.

En effet, si l’on rend rectilignes les triangles sphériques dont les côtés sont $u,z,y,\ldots$ et les bases $m,$ les équations ci-dessus deviennent

$z=2m\cos \mathrm {M} ,\quad u+y=2z\cos \mathrm {M} ,\quad x+z=2y\cos \mathrm {M} ,\quad \ldots ,$

et il est facile de prouver qu’alors la fonction $f(u)$ devient proportionnelle à l’angle dont le sinus est ${\frac {u\sin \mathrm {M} }{m}},$ parce que $\sin u$ et $\sin m$ se changent en $u$ et $m,$ de sorte que, en prenant la base $m$ pour le sinus de l’angle opposé $\mathrm {M} ,$ on aura, à cause de $u=m,$

$z=\sin 2\mathrm {M} ,\quad y=\sin 3\mathrm {M} ,\quad \ldots .$

71. Nous nous sommes un peu étendu sur les propriétés des fonctions de la forme $f(u),$ parce que les géomètres s’en sont beaucoup occupés et que ces fonctions se présentent dans la solution de plusieurs problèmes.

Si l’on demande, par exemple, le mouvement d’un pendule qui oscille d’une-manière quelconque, et qu’on nomme $r$ la longueur du pendule, $\psi$ l’angle dont il est éloigné de la verticale dans un instant quelconque, $\alpha$ la plus grande valeur de $\psi ,$ $\beta$ la plus petite, en prenant l’unité pour la gravité et faisant

${\begin{aligned}\sin u=&{\sqrt {\frac {\cos \beta -\cos \psi }{\cos \beta -\cos \alpha }}},\\\mu =&{\sqrt {\frac {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha }{(\cos \beta +\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}},\\\lambda =&{\sqrt {\frac {2(\cos \beta +\cos \alpha )}{(\cos \beta +\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}},\end{aligned}}$

on aura $\lambda {\sqrt {r}}f(u)$ pour l’expression du temps depuis le point le plus bas, dans laquelle on suppose, comme ci-dessus,

$f'(u)={\frac {1}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}u}}}.$

La vitesse angulaire de rotation autour de la verticale sera exprimée par

${\frac {{\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{{\sqrt {r}}\sin ^{2}\psi {\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}}$

et sera, par conséquent, nulle lorsque le pendule passera par la verticale, dans lequel cas on a $\beta =0\,;$ c’est le cas des oscillations ordinaires.

72. On peut appeler analyse directe des fonctions la manière due trouver les fonctions et les équations dérivées, parce qu’elle n’est fondée, en effet, que sur des méthodes directes, et qu’elle n’emploie que des opérations qu’on peut toujours exécuter par les règles que nous avons exposées. Mais la manière de revenir de ces fonctions et de ces équations à celles d’où elles peuvent être dérivées, et qu’on peut regarder comme leurs primitives, forme une autre partie de l’analyse des fonctions, qu’on peut appeler analyse inverse, parce qu’elle dépend des mêmes méthodes et des mêmes règles, mais prises inversement, et qui, par cette raison, ne s’appliquent pas toujours avec la même facilité ni le même succès. Il en est de ces deux parties de l’analyse des fonctions comme de celles de l’Arithmétique et de l’Algèbre qui ont pour objet les opérations directes de la multiplication et de l’élévation aux puissances, et les opérations inverses de la division et de l’extraction des racines. Les opérations de la première espèce sont toujours possibles par les règles connues et donnent toujours des résultats exacts ; celles de la seconde espèce, au contraire, ne le sont que dans certains cas, au moins rigoureusement, et, dans tous les autres, elles ne peuvent donner que des résultats approchés.

L’analyse directe des fonctions est donc renfermée dans les règles que nous avons données pour trouver les fonctions dérivées, du moins pour ce qui regarde les fonctions d’une seule variable. Quant à l’analyse inverse, elle dépend aussi des mêmes règles ; mais la difficulté consiste dans leur application aux différents cas.

Nous avons indiqué les méthodes connues pour les principales formes de fonctions ou d’équations, et nous nous sommes surtout appliqué à bien établir les principes généraux de cette analyse inverse.

Comme notre dessein n’est pas d’en donner un Traité complet, nous n’ajouterons point ici d’autres détails ; mais ceux qui savent le Calcul différentiel ne peuvent manquer d’apercevoir la conformité de l’analyse des fonctions avec ce Calcul, et la correspondance des analyses directes et inverses avec les deux parties de ce Calcul qu’on appelle Calculs différentiel et intégral. Ainsi, il leur sera aisé, s’ils le jugent à propos, de transporter aux fonctions les différentes méthodes d’intégration trouvées jusqu’à présent.