Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Chapitre 6

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 73-131).

CHAPITRE VI.

sur la manière d’approcher de la valeur numérique des racines des équations par les fractions continues.

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On a vu dans le Chapitre III comment on peut réduire les racines des équations numériques à des fractions continues, et combien ces sortes de réductions sont préférables à toutes les autres nous allons ajouter ici quelques recherches, pour donner à cette théorie toute la généralité et la simplicité dont elle est susceptible.

ARTICLE PREMIER.

Sur les fractions continues périodiques.

45. Nous avons déjà remarqué dans le n^o 18 que, lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable, la fraction continue doit nécessairement se terminer, de sorte que l’on pourra avoir l’expression exacte de la racine ; mais il y a encore un autre cas où l’on peut aussi avoir l’expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l’infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique, c’est-à-dire telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l’infini ; par exemple, si l’on avait la fraction

$p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{p+\ddots }}}}}}}},$

il est clair qu’en nommant $x$ la valeur de cette fraction, on aurait

$x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{x}}}}$

ce qui donne cette équation

$qx^{2}-pqx-p=0,$

par laquelle on pourra déterminer $x\,;$ il en serait de même si la période était d’un plus grand nombre de termes, et l’on trouverait toujours pour la détermination de $x$ une équation du second degré. Il peut aussi arriver que la fraction continue soit irrégulière dans ses premiers termes, et qu’elle ne commence à devenir périodique qu’après un certain nombre de termes : dans ces cas, on pourra trouver de la même manière la valeur de la fraction, et elle dépendra pareillement toujours d’une équation du second degré ; car soit, par exemple, la fraction

$p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Nommons toute la fraction $x,$ et $y$ la partie qui est périodique, savoir

$r+{\frac {1}{s+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}\,;$

on aura

$x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{y}}}},$

d’où l’on tire

$y={\frac {x-p}{1-q(x-p)}}\,;$

mais on a

$y=r+{\frac {1}{s+{\cfrac {1}{y}}}},$

ce qui donne

$sy^{2}-rsy-r=0\,;$

donc, substituant pour $y$ sa valeur en $x,$ on aura

$s(x-p)^{2}-rs(x-p)\left[1-q(x-p)\right]-r\left[1-q(x-p)\right]^{2}=0,$

équation qui, étant développée et ordonnée par rapport à $x,$ montera au second degré.

46. On voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s’agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées $(a),(b),(c),(d),\ldots$ du n^o 18, il s’en trouvera, deux qui auront les mêmes racines ; car, si la racine $z,$ par exemple, de l’équation $(c)$ était la même que la racine $x$ de l’équation $(a)$, on aurait

$x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{x}}}},$

ce qui est le cas que nous avons examiné ci-dessus, et ainsi des autres. Donc, quand on voit que dans une fraction continue certains nombres reviennent dans le même ordre, alors, pour s’assurer si la fraction doit être réellement périodique à l’infini, il n’y aura qu’à examiner si les racines des deux équations, qui ont la même valeur entière approchée, sont parfaitement égales, c’est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune ce qu’on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s’il y en a ; or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d’une équation du second degré, il s’ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.

47. Supposons donc qu’on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s’en trouve deux qui aient la même racine ; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l’infini, de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres ; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du n^o 23 sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.

Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\quad x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\quad x_{2}=\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\quad \ldots ,$

en sorte que, $x$ étant la racine cherchée, $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par $y,z,u,\ldots ,$ et l’on aura

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.$

Donc, faisant, comme dans le numéro cité,

(A)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}l\ \ &=1,&\mathrm {L} \ \ &=0,\\l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+l,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {L} _{1},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},&\qquad \mathrm {L} _{4}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}\right.$

on aura ces fractions convergentes vers $x$

${\frac {l}{\mathrm {L} }},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\quad \ldots .$

Maintenant, l’équation

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}}$

donnera

$xx_{1}=x_{1}\lambda _{1}+1=x_{1}l_{1}+1\,;$

mettons au lieu de $x_{1}$ dans le second membre de cette équations, sa valeur $\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$ et, multipliant par $x_{2},$ on aura

$xx_{1}x_{2}=(\lambda _{2}l_{1}+l)x_{2}+l_{1}=l_{2}x_{2}+l_{1}\,;$

on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation $\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}}$ à la place de $x_{2},$

$xx_{1}x_{2}x_{3}=l_{3}x_{3}+l_{2},$

et ainsi de suite.

Pareillement l’équation

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}}$

donnera

$x_{1}x_{2}=\lambda _{2}x_{2}+1=\mathrm {L} _{2}x_{2}+\mathrm {L} _{1}\,;$

ensuite, substituant dans le second mémbre $\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}}$ à la place de $x_{2},$ et multipliant par $x_{3},$ on aura

$x_{1}x_{2}x_{3}=(\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} )x_{3}+\mathrm {L} _{2}=\mathrm {L} _{3}x_{3}+\mathrm {L} _{2},$

et ainsi de suite.

D’où il s’ensuit qu’on aura en général, quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,

(B)

$\left\{{\begin{aligned}xx_{1}x_{2}x_{3}\ldots x_{\rho }=&l_{\rho }\ x_{\rho }+l_{\rho -1},\\x_{1}x_{2}x_{3}\ldots x_{\rho }=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}\right.$

48. Cela posé, supposons que l’on ait trouvé, par exemple,

$x_{\mu +\nu }=x_{\mu },$

c’est-à-dire que la racine de la $(\mu +\nu )$^ième transformée soit égale à celle de la transformée $\mu$^ième ; alors on aura aussi

$x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\quad \ldots ,\quad x_{\mu +2\nu }=x_{\mu },\quad \ldots ,$

et en général

$x_{\mu +n\nu +\varpi }=x_{\mu +\varpi }\,;$

donc aussi

$\lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +2}=\lambda _{\mu +2},\quad \ldots ,$

et en général

$\lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }\,;$

de sorte que l’on aura

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +\nu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Maintenant, si l’on suppose en général

$\rho =\mu +n\nu +\varpi ,$

il est facile de voir que les deux équations (B) du numéro précédent deviendront

${\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}$

Or, en faisant dans les mêmes équations $\rho =\mu ,$ on a

${\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}.\end{aligned}}$

De plus, à cause de

$x_{\mu }=\lambda _{\mu +1}+{\frac {1}{x_{\mu +1}}},\quad x_{\mu +1}=\lambda _{\mu +2}+{\frac {1}{x_{\mu +2}}},\quad \ldots ,$

il est clair que, si l’on fait

(C)

$\left\{{\begin{aligned}h\ \ &=1,&\mathrm {H} \ \ &=0,\\h_{1}&=\lambda _{\mu +1},&\mathrm {H} _{1}&=1,\\h_{2}&=\lambda _{\mu +2}h_{1}+h,&\mathrm {H} _{2}&=\lambda _{\mu +2}\mathrm {H} _{1},\\h_{3}&=\lambda _{\mu +3}h_{2}+h_{1},&\mathrm {H} _{3}&=\lambda _{\mu +3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} ,\\h_{4}&=\lambda _{\mu +4}h_{3}+h_{2},\qquad &\mathrm {H} _{4}&=\lambda _{\mu +4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

on aura en général

(D)

$\left\{{\begin{aligned}x_{\mu }x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\sigma }=&h_{\sigma }\,x_{\mu +\sigma }+h_{\sigma -1},\\x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\sigma }=&\mathrm {H} _{\sigma }x_{\mu +\sigma }+\mathrm {H} _{\sigma -1}.\end{aligned}}\right.$

Donc on aura

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }=\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1},$

et, à cause de $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }$ (hypothèse),

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}.$

De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}\left(l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\ \right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\\left(\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}$

49. Or les équations (D), étant divisées l’une par l’autre, donnent

(E)

$x_{\mu }={\frac {h_{\sigma }x_{\mu +\sigma }+h_{\sigma -1}}{\mathrm {H} _{\sigma }x_{\mu +\sigma }+\mathrm {H} _{\sigma -1}}},$

d’où l’on tire

$x_{\mu +\sigma }={\frac {\mathrm {H} _{\sigma -1}x_{\mu }-h_{\sigma -1}}{h_{\sigma }-\mathrm {H} _{\sigma }x-\mu }}.$

Donc, faisant $\sigma =\varpi ,$ on aura

$x_{\mu +\varpi }={\frac {\mathrm {H} _{\varpi -1}x_{\mu }-h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}},$

et de là

$\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}={\frac {h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}}\,;$

mais il est facile de voir, par la nature des quantités $h,h_{1},h_{2},\ldots ,$ $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3}} ,\ldots ,$ que l’on a

$\mathrm {H} _{1}h-h_{1}\mathrm {H} =1,\quad \mathrm {H} _{2}h_{1}-h_{2}\mathrm {H} _{1}=-1,\quad \mathrm {H} _{3}h_{2}-h_{3}\mathrm {H} _{2}=1,\quad \ldots ,$

d’où l’on aura en général

$h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1,$

le signe supérieur ayant lieu lorsque $\varpi$ est un nombre pair, et l’inférieur lorsque $\varpi$ est impair.

Donc, faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}\pm (l_{\mu }\,\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\,\ )(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&(l_{\rho }\ \mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\ \mathrm {H} _{\varpi })x_{\mu }+(l_{\rho -1}\ h_{\varpi }-l_{\rho }\ h_{\varpi -1}),\\\pm (\mathrm {L} _{\mu }\ x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1})(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} x_{\mu }+(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}$

les signes ambigus dépendant du nombre, comme nous l’avons vu ci-dessus.

Maintenant, si dans l’équation (E) on fait $\sigma =\nu ,$ on aura, à cause de $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }$ (hypothèse)

$x_{\mu }={\frac {h_{\nu }x_{\mu }+h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}},$

d’où l’on tire l’équation en $x_{\mu }$

(F)

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }^{2}-(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})x_{\mu }-h_{\nu -1}=0,$

laquelle donne

$x_{\mu }={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}+{\sqrt {(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})^{2}+4\mathrm {H} _{\nu }h_{\nu -1}}}}{2\mathrm {H} _{\nu }}}.$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {P} ={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}}{2\mathrm {H} _{\nu }}},\quad \mathrm {Q=P^{2}} +{\frac {h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }}},$

en sorte que l’on ait

$x_{\mu }=\mathrm {P+{\sqrt {Q}}} \,;$

substituant cette valeur, on aura

${\begin{aligned}\pm &\left(l_{\mu }\mathrm {P} +l_{\mu -1}+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=(l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi })\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}),\\\pm &\mathrm {\left(L_{\mu }^{2}+P+L_{\mu -1}+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} \mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}$

d’où, à cause de l’ambiguïté du radical ${\sqrt {\mathrm {Q} }},$ on tirera quatre équations, par lesquelles on pourra déterminer $l_{\rho },l_{\rho -2},\mathrm {L} _{\rho },\mathrm {L} _{\rho -2}.$

50. En effet, supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}l_{\mu }\,\ \mathrm {P} +l_{\mu -1}\,\ =&f_{\mu },\\\mathrm {L_{\mu }\,P+L_{\mu -1}} =&\mathrm {F} _{\mu },\\\mathrm {H_{\nu }P+H_{\nu -1}} =&\mathrm {K} _{\nu }\,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi }=\\&\pm {\frac {\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }} =\\&\pm {\frac {\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on ajoute la première multipliée par $h_{\varpi }$ à la deuxième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et de même la troisième multipliée par $h_{\varpi }$ à la quatrième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et qu’on fasse, pour abréger,

$-\mathrm {H_{\varpi }P} +h_{\varpi }=\mathrm {G} _{\varpi },$

on aura, à cause de $h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1$ (n^o 49),

${\begin{aligned}l_{\rho }\ =&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\end{aligned}}$

$\rho$ étant égal à $\mu +n\nu +\varpi .$

Ainsi, lorsqu’à l’aide des quantités

$\lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \lambda _{3},\ \ \ldots ,\ \ \lambda _{\mu +\nu },$

on aura calculé, par les formules (A) et (G), les quantités

$l,\ \ l_{1},\ \ l_{2},\ \ \ldots ,\quad \mathrm {L,\ \ L_{1},\ \ L_{2}} ,\ \ \ldots ,$

jusqu’à $l_{\mu }$ et $\mathrm {L} _{\mu },$ et les quantités

$h,\ \ h_{1},\ \ h_{2},\ \ \ldots ,\quad \mathrm {H,\ \ H_{1},\ \ H_{2}} ,\ \ \ldots ,$

jusqu’à $h_{\nu }$ et $\mathrm {H} _{\nu },$ on pourra, par les formules précédentes, trouver les valeurs de $l_{\rho }$ et de $\mathrm {L} _{\rho },$ c’est-à-dire les termes de la fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},$ quel que soit l’exposant du quantième $\rho \,;$ car pour cela il n’y aura qu’à retrancher $\mu$ de $\rho ,$, et diviser la différence par $\nu \,;$ le quotient sera le nombre $n$ qui entre dans les formules précédentes comme exposant, et le reste sera le nombre, qui sera par conséquent toujours moindre que $\nu .$

Quoique les formules précédentes renferment le radical ${\sqrt {\mathrm {Q} }},$ il est facile de voir que ce radical s’en ira après le développement ; de sorte que les nombres $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ seront toujours rationnels et entiers.

51. Au reste, si l’on voulait trouver en général l’équation du second degré, par laquelle peut être déterminée la racine $x$ de l’équation proposée, lorsqu’on a $x_{\mu +\nu }=x_{\mu },$ comme dans le n^o 48, il n’y aurait qu’à remarquer que les équations (B) du n^o 47, étant divisées l’une par l’autre, donnent en général

(G)

$x={\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}},$

d’où l’on tire en faisant $\rho =\mu ,$

$x={\frac {\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1}}{l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x}}\,;$

donc, substituant cette valeur de $x_{\mu }$\mu dans l’équation (F) du n^o 49, on aura celle-ci

$\mathrm {H} _{\nu }\left(\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1}\right)^{2}-(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})(\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1})(l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x)$

$-h_{\nu -1}(l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x)^{2}=0,$

c’est-à-dire

$\left[\mathrm {H} _{\nu }\mathrm {L} _{\mu -1}^{2}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})\mathrm {L} _{\mu -1}\mathrm {L} _{\mu }-h_{\nu -1}\mathrm {L} _{\mu }^{2}\right]x^{2}$

$-\left[2\mathrm {H_{\nu }L_{\mu -1}} l_{\mu -1}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})(\mathrm {L} _{\mu -1}l_{\mu }+l_{\mu -1}\mathrm {L} _{\mu })-2h_{\nu -1}l_{\mu }\mathrm {L} _{\mu }\right]x$

$+\mathrm {H} _{\nu }l_{\mu -1}^{2}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})l_{\mu -1}l_{\mu }-h_{\nu -1}l_{\mu }=0,$

et cette équation sera nécessairement un diviseur de l’équation proposée.

ARTICLE II.

Où l’on donne une manière très-simple de réduire en fractions continues les racines des équations du second degré.

52. Considérons l’équation générale du second degré

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0,$

dans laquelle $\mathrm {E,E_{1}}$ et $\varepsilon$ sont supposés des nombres entiers, tels que $\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}} >0,$ pour que les racines soient réelles ; cette équation, étant résolue, donne

$x=\mathrm {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\varepsilon ^{2}+EE_{1}}}}{E_{1}}} ,$

où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive, et soit $\lambda _{1},$ le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la valeur de $x\,;$ on fera donc

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},$

et, substituant cette valeur dans l’équation proposée, on aura une équation transformée dont l’inconnue sera $x_{1}\,;$ or, si, après avoir fait la substitution, on multiplie toute l’équation par $x_{1}^{2},$ qu’ensuite on change les signes et qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}\varepsilon _{1}\ =&\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}=&\mathrm {E} +2\varepsilon \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\end{aligned}}$

on aura la transformée

$\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}=0,$

laquelle donnera

$x_{1}=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\varepsilon _{1}^{2}+E_{1}E_{2}}}}{E_{2}}} \,;$

on cherchera donc le nombre entier $\lambda _{2},$ qui sera immédiatement plus petit que cette valeur de $x_{1},$ et l’on fera

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$

et ainsi de suite.

Maintenant, je remarque que la quantité $\varepsilon _{1}^{2}+\mathrm {E_{1}E_{2}} ,$ qui est sous le signe dans l’expression de $x_{1},$ devient, en substituant les valeurs de $\varepsilon _{1}$ et de $\mathrm {E} _{2},$ et ôtant ce qui se détruit, celle-ci $\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}} ,$ qui est la même que celle qui est sous le signe dans l’expression de $x\,;$ d’où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de $x,x_{1},x_{2},\ldots .$

Donc, si l’on suppose, pour abréger,

$\mathrm {B=\varepsilon ^{2}+EE_{1}} ,$

et qu’on fasse (le signe $<$ dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre)

${\begin{alignedat}{3}&&\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {\varepsilon \ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} ,&\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&=\mathrm {E} \ +2\varepsilon \ \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\qquad &\lambda _{2}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} ,\qquad &\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&=\mathrm {E} _{1}+2\varepsilon _{1}\lambda _{2}-\mathrm {E} _{2}\lambda _{2}^{2},&\lambda _{3}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} ,&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\mathrm {E} _{4}&=\mathrm {E} _{2}+2\varepsilon _{2}\lambda _{3}-\mathrm {E} _{3}\lambda _{3}^{2},&\lambda _{4}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{3}+{\sqrt {B}}}{E_{4}}} ,&\varepsilon _{4}&=\lambda _{4}\mathrm {E} _{4}-\varepsilon _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}x\,\ &=\mathrm {\frac {\varepsilon \,\ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} =\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\\x_{2}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} =\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\\x_{3}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} =\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.$

Quant au radical ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ il faudra toujours lui donner le même signe qu’on lui a supposé dans la valeur de la racine, cherchée $x$.

On peut observer encore que, comme on a trouvé

$\varepsilon _{1}^{2}+\mathrm {E_{1}E_{2}=\varepsilon ^{2}+EE_{1}=B} ,$

on aura

$\mathrm {E_{2}={\frac {B-\varepsilon _{1}^{2}}{E_{1}}}} ,$

et de même

$\mathrm {E_{3}={\frac {B-\varepsilon _{2}^{2}}{E_{2}}},\quad E_{4}={\frac {B-\varepsilon _{3}^{2}}{E_{3}}}} ,\quad \ldots .$

Ainsi l’on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut, pour avoir les valeurs de $\mathrm {E_{2},E_{3}} ,\ldots .$

53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de $x$ sera toujours nécessairement périodique.

Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En effet, nous avons vu dans le n^o 19 qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc

$au^{m}+bu^{m-1}+cu^{m-2}+\ldots +k=0$

une de ces transformées qui n’ont qu’une seule racine plus grande que l’unité, et soit $s$ la valeur entière approchée de $u$ on fera, pour avoir la transformée suivante, $u=s+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ ce qui, étant substitué, donnera

une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera

$\left(as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\right)\scriptstyle {\mathcal {W}}^{m},$

et que le dernier sera, $a.$ Or, puisque la vraie valeur de $u$ dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci $u=s$ et $u=\infty ,$ entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de $u$ (hypothèse), il s’ensuit qu’en faisant ces deux substitutions dans l’équation en $u,$ on aura nécessairement des résultats de signes contraires ; car il est facile de concevoir qu’il n’y aura, en ce cas, qu’un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d’une valeur de $u$ à l’autre ({n°

). Mais la supposition de $u=\infty$ donne le résultat $au^{m}$ (tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient $a\,;$ donc il faudra que la supposition de $u=s$ donne un résultat de signe contraire à $a\,;$ mais ce résultat est égal à}}

$as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\,;$

donc, puisque cette quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l’équation transformée en $\scriptstyle {\mathcal {W}},$ dont le dernier terme est $a,$ il s’ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différents.

Et l’on peut prouver de la même manière que cela aura lieu, à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.

Cela posé, puisque l’équation proposée

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0$

donne les transformées (n^o 52)

${\begin{aligned}\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer qu’on parviendra nécessairement à des transformées comme

${\begin{aligned}&\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0,\\&\mathrm {E} _{\gamma +2}x_{\gamma +1}^{2}-2\varepsilon _{\gamma +1}x_{\gamma +1}-\mathrm {E} _{\gamma +1}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont les premiers et derniers termes seront de signes différents de sorte que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\quad E_{\gamma +1},\quad E_{\gamma +2}} ,\quad \ldots$

seront tous de même signe. Or on a (n^o 52)

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots \,;$

donc, puisque $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +2}} ,\ \ldots$ sont de même signe, les produits $\mathrm {E_{\gamma }E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} ,\ \ldots$ seront nécessairement positifs ; d’où il s’ensuit :

1^o Oue l’on aura

$\varepsilon _{\gamma }^{2}<\mathrm {B} ,\quad \varepsilon _{\gamma +1}^{2}<\mathrm {B} ,\quad \ldots ,$

c’est-à-dire (en faisant abstraction du signe)

$\varepsilon _{\gamma }<{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad \varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$

et ainsi de suite à l’infini ;

2^o Que l’on aura aussi, à cause que les nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ sont tous entiers

$\mathrm {E_{\gamma }<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +1}<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +2}<B} ,$

et ainsi de suite. Donc, comme $\mathrm {B}$ est donné, il est clair qu’il n’y aura qu’un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que $\mathrm {B}$ et que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ de sorte que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\ \ \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots$

ne pourront avoir qu’un certain nombres de valeurs différentes, et qu’ainsi dans l’une et l’autre de ces séries, si on les pousse à l’infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois ; et, par la même raison, il faudra aussi qu’une même combinaison de termes correspondants dans les deux séries revienne une infinité de fois ; d’où il s’ensuit qu’on aura nécessairement, par exemple,

$\mathrm {E} _{\gamma +\delta +\nu }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\gamma +\delta +\nu }=\varepsilon _{\gamma +\delta },$

ou bien, faisant $\gamma +\delta =\mu ,$

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu }\,;$

donc, à cause de

$\mathrm {B=\varepsilon _{\mu }^{2}+E_{\mu }E_{\mu +1}=\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}+E_{\mu +\nu }E_{\mu +\nu +1}} ,$

on aura aussi

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1}\,;$

mais on a

$x_{\mu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\nu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +\nu +1}}} \,;$

donc $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }\,;$ donc la fraction continue sera nécessairement périodique (n^o 48).

54. En effet, on voit, par les formules du n^o 52, que si l’on a

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },$

on aura

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},$

et ainsi de suite ; de sorte qu’en général les termes des trois séries

$\mathrm {E,\ \ E_{1},\ \ E_{2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon ,\ \ \varepsilon _{1},\ \ \varepsilon _{2},\ \ \ldots ,\quad \lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \ldots ,$

qui auront pour exposant $\mu +n\nu +\varpi ,$ seront les mêmes que les termes précédents dont les exposants seront $\mu +\varpi ,$ en prenant pour $n$ un nombre quelconque entier positif.

Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes $\mathrm {E} _{\mu },\ \varepsilon _{\mu },\ \lambda _{\mu +1},$ et leurs périodes seront de $\nu$ termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l’infini.

55. Nous venons de démontrer qu’en continuant la série des nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu’ensuite la série doit nécessairement devenir périodique ; or je dis que, dès que, dans la même série, on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme $\mathrm {E_{\mu },E_{\mu +1}} ,$ qui soient de même signe, on sera assuré que l’un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.

En effet, comme $\mathrm {E} _{\gamma }$ et $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ sont de même signe, il est clair que la transformée

$\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0$

aura nécessairement une racine positive et l’autre négative, de sorte qu’elle n’en pourra avoir qu’une seule qui soit plus grande que l’unité ; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différents (n^o 53) par conséquent, tous les nombres $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +2}} ,\ldots$ seront de même signe, de sorte que chacun d’eux sera moindre que $\mathrm {B} ,$ et que chacun des nombres $\varepsilon _{\gamma },\ \varepsilon _{\gamma +1},\ \varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ (numéro cité).

56. Or comme on a

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}} ,$

il est visible que les nombres $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1}}$ seront, ou tous les deux moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ ou que, si l’un est plus grand, l’autre en sera nécessairement moindre, de sorte qu’il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Supposons que ce soit $\mathrm {E} _{\gamma }\,:$ je vais prouver que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots$

seront tous nécessairement du même signe que le radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$ En effet, puisque les racines $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l’unité par la nature de la fraction continue, on aura donc aussi $x_{\gamma }>1,$ et $x_{\gamma +1}>1,$ et ainsi de suite ;

donc

$\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} >1,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} >1,\quad \ldots ,$

et, comme

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots ,$

on aura

$\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} ,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} ,$

et ainsi des autres ; donc aussi

$\mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} >1,\quad \mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} >1,\quad \ldots .$

Or, comme, $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots$ sont plus petits que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ il est clair que, quel que soit le signe de ces nombres, $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots ,$ les dénominateurs ${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma },$ ${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}$ seront nécessairement de même signe que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ donc il faudra que les numérateurs $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1}} ,\ldots$ soient tous aussi du même signe que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Maintenant supposons, pour plus de simplicité, ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ positif ; en sorte que $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1}} ,\ldots$ doivent être aussi tous positifs ; je dis que $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},$$\varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ le seront aussi. Car soit, s’il est possible, $\varepsilon _{\gamma }=-\eta$ ($\eta$ étant un nombre positif) ; comme $\mathrm {E_{\gamma }<{\sqrt {B}}}$ (hypothèse), on aura, à plus forte raison, $\mathrm {E_{\gamma }<{\sqrt {B}}} +\eta \,;$ donc $\mathrm {{\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}}={\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}+\eta }}}$ sera $<1,$ au lieu que cette quantité doit être $>1\,;$ donc doit être positif. Soit ensuite, s’il est possible, $\varepsilon _{\gamma +1}=-\eta _{1}\,;$ comme on a, par les formules du n^o 52, $\varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma },$ on aura $\lambda _{\gamma +1}E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma }-\eta _{1}\,;$ donc, à cause que $\varepsilon _{\gamma }$ et $\eta _{1}$ sont des nombres positifs moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ et que $\lambda _{\gamma +1}$ est aussi un nombre entier positif, il est clair que $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ devra être moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ et, dans ce cas, on prouvera, comme ci-devant, que $\varepsilon _{\gamma +1}$ devra être positif, et ainsi de suite.

Si ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ était pris négativement, on prouverait de la même manière que $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots$ devraient être négatifs ; et même, sans faire un nouveau calcul, il n’y aura qu’à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ et du radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$$\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ avec des signes contraires.

57. Cela posé, je dis que, si deux termes correspondants quelconques des suites $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1},E_{\gamma +2}} ,\ldots ,\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.

Supposons, par exemple, que $\mathrm {E} _{\gamma +3}$ et $\varepsilon _{\gamma +3}$ soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du n^o 52 et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord

$\varepsilon _{\gamma +3}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +2}\,;$

donc

$\varepsilon _{\gamma +2}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +3}\,;$

mais on doit avoir $\varepsilon _{\gamma +2}<{\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ donc il faudra que l’on ait

$\lambda _{\gamma +3}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} .$

On aura de même

$\varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +2}\mathrm {E} _{\gamma +2}-\varepsilon _{\gamma +2},$

d’où, à cause de $\varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on tirera

$\lambda _{\gamma +2}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;$

mais il faut, par la nature de la fraction continue, que $\lambda _{\gamma +2}$ soit un nombre entier positif ; donc il faudra qu’on ait

$\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +2}\,;$

or on a aussi

$\mathrm {E_{\gamma +2}E_{\gamma +3}=B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{\gamma +2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +2}\right)} \,;$

donc

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +2}<\mathrm {E} _{\gamma +3},$

savoir, en mettant pour $\varepsilon _{\gamma +2}$ sa valeur ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +3}E_{\gamma +3}+\varepsilon _{\gamma +3}<E_{\gamma +3}} ,$

d’où

$\lambda _{\gamma +3}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} -1.$

Donc, puisque le nombre $\lambda _{\gamma +3}$ doit être entier, il est clair qu’il ne pourra être égal qu’au nombre entier qui sera immédiatement plus petit que $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} \,;$ ainsi $\lambda _{\gamma +3}$ sera donné, et de là $\varepsilon _{\gamma +2}$ le sera aussi, et comme

$\mathrm {E_{\gamma +2}={\frac {B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}}{E_{\gamma +3}}}} ,$

il est clair que $E_{\gamma +2}$ sera aussi donné. Maintenant on aura

$\varepsilon _{\gamma }=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma +1},$

et par conséquent, à cause de $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }},$

$\lambda _{\gamma +1}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} .$

Donc, pour que $\lambda _{\gamma +1}$ soit entier positif tel qu’il doit être, il faudra que

$\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +1}\,;$

par conséquent, à cause de

$\mathrm {E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}=B} -\varepsilon _{\gamma +1}^{2},$

il faudra que

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}<\mathrm {E} _{\gamma +2},$

ou bien, en mettant pour $\varepsilon _{\gamma +1}$ sa valeur ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +2}E_{\gamma +2}+\varepsilon _{\gamma +2}<E_{\gamma +2}} ,$

d’où l’on tire

$\lambda _{\gamma +2}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} -1.$

De sorte que le nombre $\lambda _{\gamma +2}$ ne pourra être que le nombre entier qui

sera immédiatement plus petit que la quantité donnée $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;$ nombre sera donné, et par là les nombres $\varepsilon _{\gamma +1}$ et $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ le seront aussi.

Enfin, puisque $\mathrm {E} _{\gamma }$ est (hypothèse) $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on aura à plus forte raison

$\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma }\,;$

et de là, à cause de $\mathrm {E_{\gamma }E_{\gamma +1}=B} -\varepsilon _{\gamma }^{2},$ on aura

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma }<\mathrm {E} _{\gamma +1},$

ou bien, en substituant pour $\varepsilon _{\gamma }$ sa valeur trouvée ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +1}E_{\gamma +1}+\varepsilon _{\gamma +1}<E_{\gamma +1}} ,$

ce qui donne

$\lambda _{\gamma +1}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} -1.$

Donc le nombre $\lambda _{\gamma +1}$ ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre que la quantité donnée $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} ,$ et par conséquent ce nombre sera entièrement donné, et par conséquent les nombres $\varepsilon _{\gamma }$ et $\mathrm {E} _{\gamma }$ le seront aussi.

Or nous avons vu (n^o 53) qu’en continuant les séries $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots ,$ il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme $\mathrm {E} _{\gamma +\delta },\varepsilon _{\gamma +\delta },$ reparaîtront après un certain nombre d’autres termes, en sorte que l’on aura, par exemple,

$\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta },\quad \varepsilon _{\gamma +\nu +\delta }=\varepsilon _{\gamma +\delta }\,;$

donc, par ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -1},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -1},\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -2},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -2},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu }&=\mathrm {E} _{\gamma },&\varepsilon _{\gamma +\nu }&=\varepsilon _{\gamma }.\end{alignedat}}$

58. De là je conclus en général que, lorsque dans la série des nombres $\mathrm {E,\ E_{1},\ E_{2}} ,\ldots$ on en trouvera deux consécutifs de même signe, celui des deux qui sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ sera déjà nécessairement périodique.

Ainsi, si dans l’équation proposée

$\mathrm {E} x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0$

les coefficients $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ étaient de même signe, alors la série serait périodique dès le premier ou le second terme.

Si l’on a $\varepsilon =0,$ en sorte que $x={\sqrt {\mathrm {\frac {E}{E_{1}}} }},$ alors on aura $\mathrm {B=EE_{1}} \,;$ d’où l’on voit que, des deux nombres $\mathrm {E,\ E_{1}} ,$ le plus petit sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ et le plus grand sera nécessairement plus grand que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ donc, dans ce cas, si le nombre $\mathrm {\frac {E}{E_{1}}}$ dont il s’agit d’extraire la racine carrée est plus petit que l’unité, la série sera périodique dès le premier terme $\mathrm {E} \,;$ et s’il est plus grand que l’unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu’au second terme.

59. On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne, que je sache, n’avait encore démontré l’inverse de cette proposition, savoir que toute racine d’une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d’un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n’est qu’un cas particulier du nôtre, n’a pas été démontré par M. Euler, et ne peut l’être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.

60. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d’une équation donnée, lorsqu’on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.

Or, dans le cas où l’équation est du second degré, et où l’on se sert de la méthode du n^o  52, on pourra, si l’on veut, simplifier beaucoup les calculs des n^os 48 et suivants pour trouver les termes $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ de chacune des fractions convergentes vers $x$.

En effet, ayant

$x_{\mu }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\varpi }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu +\varpi }}{E_{\mu +\varpi +1}}} ,$

sont connus ($\varpi$ étant $<\nu$), il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les deux équations du n^o  48, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\frac {l_{\mu }\ \varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1}\ =f_{\mu },\\&\mathrm {{\frac {L_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+L_{\mu -1}} =\mathrm {F} _{\mu },\\&\mathrm {{\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} =\mathrm {K} _{\nu },\\&\mathrm {H_{\varpi }\varepsilon _{\mu +\varpi }+H_{\varpi -1}E_{\mu +\varpi +1}} =\mathrm {G} _{\varpi },\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left(f_{\mu }\ +{\frac {l_{\mu }\ {\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =l_{\rho }\ \varepsilon _{\mu +\varpi }+l_{\rho -1}\ \mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}+l_{\rho }\ {\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {L_{\rho }\varepsilon _{\mu +\varpi }+L_{\rho -1}E_{\mu +\varpi +1}+L_{\rho }{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}$

d’où, à cause de l’ambiguïté du signe du radical ${\sqrt {B}},$ on tire sur-le-champ

${\begin{aligned}l_{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}\\\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

$\rho$ étant, comme plus haut, égal à $\mu +n\nu +\varpi .$

61. On peut aussi remarquer que la valeur de $\mathrm {L} _{\rho }$ peut se déterminer par le moyen de celles de $l_{\rho }$ et $l_{\rho -1},$ sans avoir besoin d’un nouveau calcul.

En effet, ayant

$x=\mathrm {{\frac {\varepsilon +{\sqrt {B}}}{E}}={\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }}} ,$

et de même

$x_{\rho }=\mathrm {\frac {E_{\rho }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }}} ,$

on aura, par l’équation (G) du n^o 51,

$\mathrm {\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }} ={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }+l_{\rho -1}\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\rho }\right)}{\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)} }},$

savoir

$\mathrm {E\left[L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)\right]} =l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)+l_{\rho -1}\left[\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho }-(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon ){\sqrt {\mathrm {B} }}\right],$

de sorte qu’en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura

$\mathrm {L} _{\rho -1}={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }-l_{\rho -1}(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon )}{\mathrm {E} }},$

$\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }-L_{\rho -1}} \varepsilon _{\rho }={\frac {-l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\varepsilon +l_{\rho -1}(\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho })}{\mathrm {E} }},$

d’où, à cause de $\mathrm {B-\varepsilon _{\rho }^{2}=E_{\rho }E_{\rho +1}} ,$ on aura

$\mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.$

Or, $\rho$ étant égal à $\mu +n\nu +\varpi ,$ on aura

$\varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{\mu +\varpi },\quad \mathrm {E_{\rho +1}=E_{\mu +\varpi +1}} ,$

de sorte que $\varepsilon _{\rho }$ et $\mathrm {E} _{\rho +1}$ seront connus, quel que soit le quantième $\rho$.

62. Supposons, pour donner un exemple de l’application des formules précédentes, qu’on demande la racine carrée de ${\frac {11}{3}}$ par une fraction continue.

Faisant $x={\sqrt {\frac {11}{3}}},$ on aura l’équation

$3x^{2}-11=0\,;$

donc (n^o 52)

ainsi l’on fera (n^o 53) le calcul suivant, en prenant $B=33,$

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \,\ =&11,&&&\varepsilon \,\ =&0,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {33-0}{11}}=3,\qquad &\lambda _{1}<&{\frac {{\sqrt {33}}+0}{3}}=1,\qquad &\varepsilon _{1}=&\ \ 1.3-0=3,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {33-9}{3}}=8,\qquad &\lambda _{2}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{2}=&\ \ 1.8-3=5,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {33-25}{8}}=1,\qquad &\lambda _{3}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{1}}=10,\qquad &\varepsilon _{3}=&10.1-5=5,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {33-25}{1}}=8,\qquad &\lambda _{4}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{4}=&\ \ 1.8-5=3,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {33-0}{8}}=3,\qquad &\lambda _{5}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{3}}=2,\qquad &\varepsilon _{5}=&\ \ 2.3-3=3.\end{alignedat}}$

Je m’arrête ici parce que je vois que $\mathrm {E_{5}=E_{1}}$ et $\varepsilon _{5}=\varepsilon _{1}\,;$ de sorte que j’aurai dans ce cas $\mu =1$ et $\nu =4,$ et par conséquent

$x=1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

63. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de ${\sqrt {\frac {11}{3}}}\,;$ mais, si l’on veut trouver les fractions convergentes vers cette valeur, on fera, dans les formules du n^o 60, $\mu =1,\ \nu =4,$ et comme $\varpi$ doit être $<4,$ on fera successivement $\varpi =0,\ 1,\ 2,\ 3.$

On aura donc [formule (A), n^o 47]

$l_{\mu }=l_{1}=\lambda _{1}=1,\quad l_{\mu -1}=l=1,\quad \varepsilon _{\mu }=\varepsilon _{1}=3,\quad \mathrm {E_{\mu +1}=E_{2}} =8\,;$

donc (n^o 60)

$f_{\mu }={\frac {1.3}{8}}+1={\frac {11}{8}}\,;$

on trouvera de même

$\mathrm {L} _{\mu }=1,\quad \mathrm {F} _{\mu }={\frac {3}{8}}.$

Ensuite on calculera les valeurs de $\mathrm {H,H_{1}} ,\ldots ,$ jusqu’à $\mathrm {H_{\nu }=H_{4}} ,$ par les formules (C) du n^o 48, et l’on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {H} \ \,=&0,\\\mathrm {H} _{1}=&1,\\\mathrm {H} _{2}=&\lambda _{3}\mathrm {H} _{1}=10,\\\mathrm {H} _{3}=&\lambda _{4}\mathrm {H_{2}+H_{1}} =11,\\\mathrm {H} _{4}=&\lambda _{5}\mathrm {H_{3}+H_{2}} =32,\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {H} _{\nu }=32,\quad \mathrm {H} _{\nu -1}=11,$

et de là

$\mathrm {K} _{\nu }={\frac {32.3}{8}}+11=23.$

Maintenant :

1^o Soit $\varpi =0,$ on aura

$\mathrm {H} _{\varpi }=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {H} _{\varpi -1}=1,$

car il est facile de voir, par la nature des formules (C), que le terme qui précéderait $\mathrm {H}$ serait nécessairement $=1\,;$ en effet, on doit avoir par l’analogie

$\mathrm {H_{1}=\lambda _{\mu +1}H+H_{-1}} \,;$

on prouverait de même que le terme qui précéderait $h$ serait $=0.$ Donc

$\mathrm {G} _{\varpi }=\mathrm {E} _{\mu +1}=8.$

2^o Soit $\varpi =1\,;$ on aura

$\mathrm {H} _{\varpi }=1,\quad \mathrm {H} _{\varpi -1}=0\,;$

donc

$\mathrm {G} _{\varpi }=\varepsilon _{\mu +1}=\varepsilon _{2}=5..$

3^o Soit $\varpi =2\,;$ donc

$\mathrm {H_{\varpi }=10,\quad H_{\varpi -1}=1,\quad G_{\varpi }=10\varepsilon _{\mu +2}+1,\quad E_{\mu +3}=10\varepsilon _{3}+E_{4}=58} .$

4^o soit $\varpi =3\,;$ donc

$\mathrm {H_{\varpi }=11,\quad H_{\varpi -1}=10,\quad {\text{et}}\quad G_{\varpi }=11\varepsilon _{4}+10E_{5}=63} .$

Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ du n^o 60, et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux facteurs

$f_{\mu }\pm {\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\quad \mathrm {G_{\varpi }\pm H_{\varpi }{\sqrt {B}}} ,$

comme aussi les deux

$\mathrm {F_{\mu }\pm {\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}},\quad G_{\varpi }\pm H_{\varpi }{\sqrt {B}}} ,$

ce qui donne ces facteurs simples

${\begin{aligned}&f_{\mu }\ \mathrm {G} _{\varpi }+{\frac {l_{\mu }\ \mathrm {H_{\varpi }B} }{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\pm \left(f_{\mu }\ \mathrm {H} _{\varpi }+{\frac {l_{\mu }\ \mathrm {G} _{\varpi }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right){\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {F_{\mu }G_{\varpi }+{\frac {L_{\mu }H_{\varpi }B}{E_{\mu +1}}}\pm \left(F_{\mu }H_{\varpi }+{\frac {L_{\mu }G_{\varpi }}{E_{\mu +1}}}\right){\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}$

on aura les formules suivantes

${\begin{aligned}l_{4n+1}\ =&{\frac {\left(11+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(11-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+1}=&{\frac {\left(3+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(3-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+2}\ =&{\frac {\left(11+2{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(11-2{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+2}=&{\frac {\left(6+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(6-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+3}\ =&{\frac {\left(121+21{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(121-21{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+3}=&{\frac {\left(63+11{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(63-11{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+4}\ =&{\frac {\left(132+23{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(132-23{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+4}=&{\frac {\left(69+12{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(69-12{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\end{aligned}}$

au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions ${\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\ {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\ {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\ldots$ convergentes vers la racine de ${\frac {11}{3}}.$

Ainsi, faisant d’abord $n=0,$ on aura les quatre premières fractions ; faisant ensuite $n=1,$ on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite : et ces fractions seront

${\frac {1}{1}},\ \ {\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{11}},\ \ {\frac {23}{12}},\ \ {\frac {67}{35}},\ \ {\frac {90}{47}},\ \ {\frac {967}{505}},\ \ {\frac {1057}{552}},\ \ \ldots ,$

Si l’on voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction ${\frac {l_{5}0}{\mathrm {L} _{5}0}},$ il n’y aurait qu’à diviser $50$ par $4,$ ce qui donne $12$ de quotient et $2$ de reste, et l’on ferait $n=12\,;$ de sorte qu’en développant la puissance douzième de $23\pm 4{\sqrt {33}},$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&(23)^{12}+66.33(4)^{2}(23)^{10}+495(33)^{2}(4)^{4}(23)^{8}+924(33)^{3}(4)^{6}(23)^{6}\\&+495(33)^{4}(4)^{8}(23)^{4}+66(33)^{5}(4)^{10}(23)^{2}+(33)^{6}(4)^{12},\\\\\mathrm {N} =&12.4(23)^{11}+220(33)(4)^{3}(23)^{9}+792(33)^{2}(4)^{5}(23)^{7}\\&+792(33)^{3}(4)^{7}(23)^{5}+220(33)^{4}(4)^{9}(23)^{3}+12(33)^{5}(4)^{11}23,\end{aligned}}$

on aura

$\left(23\pm 4{\sqrt {33}}\right)^{n}=\mathrm {M} \pm \mathrm {N} {\sqrt {33}}\,;$

donc, substituant cette valeur dans les expressions de $l_{4n+2}$ et $\mathrm {L} _{4n+2},$ on aura, pour la fraction cherchée,

$\mathrm {\frac {2M+11N}{M+6N}} .$

64. Je vais terminer cette Remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées ; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second degré à racines réelles, alors les fractions continues qui exprimeront les racines de ces diviseurs seront nécessairement périodiques. Ainsi, la méthode des fractions continues a non-seulement l’avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu’il est possible de la racine cherchée, mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurables du premier et du second degré que l’équation proposée peut renfermer. Il serait à souhaiter que l’on pût trouver aussi quelque caractère qui pût servir à faire reconnaître les diviseurs commensurables du troisième, quatrième, degré, lorsqu’il y en a dans l’équation proposée ; c’est du moins une recherche qui me paraît très-digne d’occuper les Géomètres.

ARTICLE III.

Généralisation de la théorie des fractions continues.

65. Nous avons supposé, dans le Chapitre III, que les nombres $p,q,r,\ldots$ étaient les valeurs entières approchées des racines $x,y,z,\ldots ,$ mais plus petites que ces racines ; c’est-à-dire que $p,q,r,\ldots$ étaient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de $x,y,z,\ldots \,;$ cependant il est clair que rien n’empêcherait qu’on ne prît pour $p,q,r,\ldots$ les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines $x,y,z,\ldots .$,

66. Imaginons donc qu’on prenne pour $p$ le nombre entier qui est immédiatement plus grand que $x,$ en sorte que $p>x$ et $p-1<x,$ il est clair qu’il faudra faire, dans ce cas, $x=p-{\frac {1}{y}},$ c’est-à-dire qu’il faudra prendre $y$ négativement, et comme $x<p$ et $>p-1,$ on aura ${\frac {1}{y}}>0$ et $<1,$ et par conséquent $y>1,$ comme dans le cas où l’on aurait pris $p<x$ (n^o 18). Ainsi l’on pourra prendre de nouveau pour $q$ le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que $y,$ ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l’on fera, dans le premier cas, $y=q+{\frac {1}{z}},$ et, dans le second, $y=q-{\frac {1}{z}},$ et ainsi de suite.

De cette manière, on aurait donc

$x=p\pm {\frac {1}{y}},\quad y=q\pm {\frac {1}{z}},\quad z=r\pm {\frac {1}{u}},\quad \ldots ,$

ce qui donnerait la fraction continue

$x=p\pm {\frac {1}{q\pm {\cfrac {1}{r\pm {\cfrac {1}{s\pm \ddots }}}}}},$

où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs $q,r,\ldots ,$ qui sera suivi d’un signe $-,$ devra nécessairement être $=2$ ou $>2\,;$ car puisque $y>1,$ si l’on fait $y=q-{\frac {1}{z}},$ on aura $q-{\frac {1}{z}}>1,$ donc $q>1+{\frac {1}{z}}\,;$ donc $q$ devant être un nombre entier sera nécessairement $=2$ ou $>2,$ et ainsi des autres.

67. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet, supposons en général

$a-{\frac {1}{t}}=\mathrm {A+{\frac {1}{T}}} ,$

$a$ et $\mathrm {A}$ devant être des nombres entiers, et $t,\ \mathrm {T}$ des nombres plus grands que l’unité ; on aura donc

$a-\mathrm {A} ={\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;$

donc, puisque ${\frac {1}{t}}<1$ et ${\frac {1}{\mathrm {T} }}<1,$

${\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\quad {\text{sera}}\quad <2\,;$

donc on ne pourra supposer que $a-\mathrm {A} =1,$ ce qui donne $\mathrm {A} =a-1\,;$ on aura donc

$a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;$

donc

${\frac {1}{\mathrm {T} }}=1-{\frac {1}{t}},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {T} ={\frac {t}{t-1}}=1+{\frac {1}{t-1}}\,;$

de sorte qu’on aura en général

$a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{t-1}}}},$

et cette formule servira pour faire disparaître tous les signes $-$ dans une fraction continue quelconque.

Soit, par exemple, la fraction

$p-{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}\,;$

elle deviendra, en faisant $a=p$ et $t=q+{\frac {1}{r}},\ldots ,$

$p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}},$

et si l’on avait la fraction

$p-{\cfrac {1}{q-{\cfrac {1}{r-\ddots }}}},$

elle se changerait d’abord en

$p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-1-{\cfrac {1}{r-\ddots }}}}}},$

et ensuite en

$p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}}}}}},$

et ainsi des autres fractions semblables. Il est bon de remarquer qu’il peut arriver que dans ces sortes de transformations quelqu’un des dénominateurs devienne nul, auquel cas la fraction deviendra plus simple.

En effet, supposons que la fraction à réduire soit

$p-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

la transformée sera.

$p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{0+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}},$

c’est-à-dire

$p-1+{\frac {1}{1+r+\ddots }}.$

De même, si l’on avait la fraction

$p-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

elle se réduirait à celle-ci

$p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}}}}}},$

savoir

$p-1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}},$

et ainsi du reste.

68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu’on peut mettre sous cette forme

$a+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{t}}}}=a+1-{\frac {1}{t+1}},$

fait voir qu’une fraction continue dont tous les termes ont le signe $+$ peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes $-\,;$ c’est ce qui a lieu lorsqu’il y a des dénominateurs égaux à l’unité ; car soit, par exemple, la fraction

$p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

elle pourra se réduire, par la formule précédente, à celle-ci,

$p+1-{\frac {1}{r+1+\ddots }},$

qui a, comme on voit, un terme de moins ; donc, si l’on avait la fraction

$p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},$

elle se réduirait à celle-ci

$p+1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}\,;$

et si l’on avait celle-ci

$p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}}}},$

elle se réduirait d’abord à

$p+1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},$

et ensuite à

$p+1-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{s+1+\ddots }}}}.$

D’où il est facile de conclure en général que, si l’on a une fraction continue qui n’ait que des signes $+,$ et où il y ait des dénominateurs égaux à l’unité, on pourra toujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu’il y aura de pareils dénominateurs, pourvu qu’ils ne se suivent pas immédiatement ; car, lorsqu’il y en aura deux de suite, on ne pourra faire disparaître qu’un seul terme ; lorsqu’il y en aura trois de suite, on pourra faire disparaître deux termes ; et en général, s’il y en a $2n$ ou $2n+1$ de suite, on ne pourra faire disparaître que $n$ ou $n+1$ termes.

Ainsi, la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant, comme on sait,

$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

elle peut se réduire à une autre qui ait déjà trois termes de moins, et qui sera

$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16-{\cfrac {1}{294-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}.$

69. Pour pouvoir comprendre sous une même forme générale les fractions continues où les signes sont tous positifs et celles où il y a des signes négatifs, il est bon de transformer ces dernières en sorte que les signes négatifs n’affectent que les dénominateurs, ce qui est très-facile car ayant, par exemple, la fraction

$p-{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r-{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},$

il est clair qu’elle peut d’abord se changer en

$p+{\cfrac {1}{-q-{\cfrac {1}{r-{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},$

ensuite en celle-ci

$p+{\cfrac {1}{-q+{\cfrac {1}{-r+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},$

et ainsi des autres.

De cette manière, la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus sera

$p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

les nombres $p,q,r,\ldots$ étant tous entiers, mais pouvant être positifs ou négatifs, au lieu que jusqu’ici nous les avions toujours supposés positifs.

Il faut cependant remarquer que, si quelqu’un des dénominateurs $q,r,\ldots$ se trouve égal à l’unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe ; c’est ce qui suit de ce qu’un dénominateur positif et égal à l’unité ne saurait jamais être suivi du signe $-$ (n^o 68).

70. Il s’ensuit de là que la méthode d’approximation donnée dans le Chapitre III peut être généralisée en cette sorte :

Soit $x$ la racine cherchée ; on prendra d’abord pour $p$ la valeur entière approchée de $x,$ c’est-à-dire qu’on fera $p$ égal à l’un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de $x,$ et qu’on peut toujours trouver par la méthode du Chapitre I^er ; et l’on supposera ensuite

$x=p+{\frac {1}{y}},$

ce qui donnera une transformée en $y$ qui aura nécessairement une racine positive ou négative plus grande que l’unité ; on prendra de même pour $q$ la valeur entière approchée de $y,$ soit plus grande ou plus petite que $y,$ et l’on fera

$y=q+{\frac {1}{z}},$

et ainsi de suite.

Si l’équation en $x$ avait plusieurs racines, on ferait sur les transformées en $y,$ en $z,\ldots ,$ des remarques analogues à celles du n^o 19.

Ayant donc

$x=p+{\frac {1}{y}},\quad y=q+{\frac {1}{z}},\quad z=r+{\frac {1}{u}},\quad \ldots ,$

on aura

$x=p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

où les dénominateurs $q,r,\ldots$ pourront être positifs ou négatifs, comme nous l’avons supposé ci-dessus, et cette fraction pourra ensuite se réduire, si l’on veut, à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs, et qui ne contiennent d’ailleurs que des signes $+$ (n^o 67).

L’avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu’on est libre de prendre pour les nombres $p,q,r,\ldots$ les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines $x,y,z,\ldots ,$ ce qui pourra souvent donner lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

Au reste, si l’on veut avoir la fraction continue la plus courte et par conséquent la plus convergente qu’il soit possible, il faudra prendre toujours les nombres $p,q,r,\ldots$ plus petits que les racines $x,y,z,\ldots$ tant que ces nombres seront différents de l’unité ;-mais, dès qu’on en trouvera un égal à l’unité, alors il faudra augmenter le précédent d’une unité, c’est-à-dire qu’on le prendra plus grand que la racine correspondante cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet (n^o 68).

71. Maintenant, si l’on fait, comme dans le n^o 23,

${\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&\alpha q+1,&\beta '=&\alpha 'q,\\\gamma =&\beta r+\alpha ,\qquad &\gamma '=&\beta 'r+\alpha ',\\\delta =&\gamma s+\beta ,&\delta '=&\gamma 's+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura, en ajoutant au commencement la fraction ${\frac {1}{0}},$ qui est plus grande que toute quantité donnée, les fractions

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,$

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de $x$.

Et, pour pouvoir juger de la nature de ces fractions, nous remarquerons :

1^o Que l’on aura toujours

${\begin{aligned}\alpha 0\ -1\,\alpha '=&-1,\\\beta \alpha '-\alpha \beta '=&\quad \ 1,\\\gamma \,\beta '-\beta \gamma '=&-1,\\\delta \,\gamma '-\gamma \delta '=&\quad \ 1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les nombres $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots$ n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},\ldots$ seront déjà réduites à leurs moindres termes ;

2^o Que les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ et $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de $x$ est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de $x$ sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;

3^o Que l’on aura, à cause de $x=p+{\frac {1}{y}},\ y=q+{\frac {1}{z}},\ldots ,$

${\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

72. Donc, en général, si $\varpi ,\rho ,\sigma$ sont trois termes consécutifs quelconques de la série $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et $\varpi ',\rho ',\sigma '$ les termes correspondants de la série $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots ,$ en sorte que ${\frac {\varpi }{\varpi '}},\ {\frac {\rho }{\rho '}},\ {\frac {\sigma }{\sigma '}},\ \ldots$ soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$\rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,$

les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction ${\frac {1}{0}}\,;$ de plus, on aura (abstraction faite des signes)

$\rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;$

enfin, si l’on dénote par $t$ le terme correspondant dans la série $x,y,z,\ldots ,$ on aura rigoureusement

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.$

d’où l’on voit que les nombres $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots$ n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},\ldots$ seront déjà réduites à leurs moindres termes ;

2^o Que les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ et $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de $x$ est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de $x$ sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;

3^o Que l’on aura, à cause de $x=p+{\frac {1}{y}},\ y=q+{\frac {1}{z}},\ldots ,$

${\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

72. Donc, en général, si $\varpi ,\rho ,\sigma$ sont trois termes consécutifs quelconques de la série $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et $\varpi ',\rho ',\sigma '$ les termes correspondants de la série $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots ,$ en sorte que ${\frac {\varpi }{\varpi '}},\ {\frac {\rho }{\rho '}},\ {\frac {\sigma }{\sigma '}},\ \ldots$ soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$\rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,$

les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction ${\frac {1}{0}}\,;$ de plus, on aura (abstraction faite des signes)

$\rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;$

enfin, si l’on dénote par $t$ le terme correspondant dans la série $x,y,z,\ldots ,$ on aura rigoureusement

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.$

Et si $k$ est la valeur entière approchée de $t,$ soit plus grande ou plus petite que $t,$ on aura

$\sigma =\rho k+\varpi ,\quad \sigma '=\rho 'k+\varpi '.$

73. Cela posé, considérons la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}},$ et voyons combien elle diffère de la vraie valeur de $x\,;$ pour cela, nous aurons

$x-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho l+\varpi }{\rho 'l+\varpi '}}-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho '\varpi -\rho \varpi '}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}=\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},$

donc

$x={\frac {\rho }{\rho '}}\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}.$

Ainsi l’erreur sera

$\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}\,;$

or, si $\theta$ et $\theta +1$ sont les deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de $t,$ il est clair que la quantité $\rho 't+\varpi '$ tombera entre ces deux $\rho '\theta +\varpi '$ et $\rho '(\theta +1)+\varpi ',$ et qu’ainsi l’erreur de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sera renfermée entre ces deux limites

$\mp {\frac {1}{\rho '(\rho '\theta +\varpi ')}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\left[\rho '(\theta +1)+\varpi '\right]}}.$

Or on peut prendre $k=\theta$ ou $k=\theta +1\,;$ de sorte qu’on aura :

$\sigma '=\rho '\theta +\varpi '\quad {\text{ou}}\quad =\rho '(\theta +1)+\varpi ',$

d’où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme $\sigma '$ le dénominateur de la fraction qui suit ${\frac {\rho }{\rho '}}$ lorsqu’on prend la valeur approchée de $t$ en défaut, et $\Sigma '$ le dénominateur de la même fraction lorsqu’on prend la valeur approchée de $t$ en excès, l’erreur de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sera nécessairement renfermée entre ces deux limites

$\mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}.$

D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une fraction à l’autre, à cause que les dénominateurs $\rho ',\sigma '$ ou $\Sigma ',\ldots$ vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de $\sigma '>\rho '$ et $\Sigma '>\rho ',$ que l’erreur sera toujours moindre que $\mp {\frac {1}{\rho '^{2}}}\,;$ c’est-à-dire que l’erreur de chaque fraction sera moindre que l’unité divisée parle carré du dénominateur de cette fraction. D’où il est facile de conclure que la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ approchera plus de la valeur de $x$ que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples ; car supposons que la fraction ${\frac {m}{n}}$ approche plus de $x$ que la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}},$ $n$ étant $<\rho ',$ et comme la valeur de $x$ est contenue entre ${\frac {\rho }{\rho '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}+{\frac {1}{\rho '^{2}}}$ ou entre ${\frac {\rho }{\rho '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}-{\frac {1}{\rho '^{2}}},$ il faudra que la valeur de ${\frac {m}{n}}$ soit pareillement contenue entre ces limites ; donc la différence entre ${\frac {\rho }{\rho '}}$ et ${\frac {m}{n}}$ devra être $<{\frac {1}{\rho '^{2}}}\,;$ mais cette différence est ${\frac {n\rho '-m\rho '}{\rho 'n}},$ dont le numérateur ne peut jamais être moindre que l’unité, et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que $\rho '^{2},$ à cause de $\rho '>n\,;$ donc, etc.

74. On doit remarquer au reste que, si les dénominateurs $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ sont tous de même signe ou de signes alternatifs, les erreurs seront alternativement positives ou négatives, de sorte que les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},$${\frac {\gamma }{\gamma '}},\ldots$ seront alternativement plus petites et plus grandes que la véritable valeur de $x,$ comme nous l’avons dit dans le n^o 23 ; mais cela cessera d’avoir lieu lorsque les nombres $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différents ; c’est ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs $q,r,s,\ldots$ de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs, c’est-à-dire lorsqu’on prendra les valeurs approchées de $x,y,z,\ldots ,$ tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.

75. Si, au lieu des fractions convergentes ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},{\frac {\gamma }{\gamma '}},\ldots ,$ on aimait mieux avoir une suite de termes décroissants, on remarquerait que

${\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\alpha '\beta '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},$

et, de même,

${\frac {\gamma }{\gamma '}}-{\frac {\beta }{\beta '}}=-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},$

et ainsi de suite ; d’où l’on tire, à cause de $\alpha '=1,$

${\begin{aligned}{\frac {\beta }{\beta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\\{\frac {\gamma }{\gamma '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\\{\frac {\delta }{\delta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}},\end{aligned}}$

et en général

${\frac {\rho }{\rho '}}=\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}}-\ldots \pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}}.$

Ainsi l’on aura, pour la valeur de $x,$ la série

$\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots ,$

laquelle en approchera d’autant plus qu’elle sera poussée plus loin ; et si, après avoir continué cette série jusqu’à un terme quelconque $\pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}},$ on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de $x,$ on sera assuré que l’erreur se trouvera entre ces deux limites $\mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}$ et $\mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}$ (n^o 73), de sorte qu’elle sera nécessairement moindre que ${\frac {1}{\rho '^{2}}}.$

76. Il est à remarquer que chaque terme de la série

$\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots$

répond à chaque terme de la fraction continue

$p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

d’où elle dérive ; de sorte que la série dont nous parlons sera plus ou moins convergente, suivant que cette fraction le sera. Or, nous avons donné plus haut (n^o 68) le moyen de rendre une fraction continue la plus convergente qu’il est possible donc on pourra avoir aussi la suite la plus convergente qu’il soit possible.

Ainsi, pour avoir une suite qui soit la plus convergente de toutes vers le rapport de la circonférence au diamètre, on prendra la fraction continue qui exprime ce rapport, et, après l’avoir simplifiée comme nous l’avons fait (n^o 68), on la mettra sous la forme suivante

$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16+{\cfrac {1}{-294+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{-3+\ddots }}}}}}}}}},$

de sorte qu’on aura

$p=3,\quad q=7,\quad r=16,\quad s=-294,\quad \ldots \,;$

donc on trouvera (n^o 71)

$\alpha '=1,\quad \beta '=7,\quad \gamma '=7\times 16+1=113,\quad \delta '=113\times (-294)+7=-33215,$

$\varepsilon '=-33215\times 3+113=-99532,\quad \zeta '=-99532\times (-3)-33215=265381,\ldots ,$

de sorte que la série cherchée sera

$3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7\times 113}}-{\frac {1}{113\times 33215}}-{\frac {1}{33215\times 99532}}-{\frac {1}{99532\times 265381}}\ldots .$

ARTICLE IV.

Où l’on propose différents moyens pour simplifier le calcul des racines par les fractions continues.

77. Nous avons trouvé en général (n^o 72) que, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}\,;$

donc si l’on substitue cette expression de $x,$ dans l’équation en $x$ dont on cherche la racine, on aura une transformée en $t$ qui sera nécessairement la même que celle qu’on aurait eue par les substitutions successives de $p+{\frac {1}{y}}$ à la place de $x,$ de $q+{\frac {1}{z}}$ à la place de $y,\ldots \,;$ et pour avoir la fraction suivante ${\frac {\sigma }{\sigma '}},$ il faudra trouver la valeur entière approchée de $t,$ laquelle étant nommée $k,$ on aura

$\sigma =k\rho +\varpi ,\quad \sigma '=k\rho '+\varpi '.$

De cette manière, connaissant les deux premières fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}}$ et ${\frac {\beta }{\beta '}},$ qui sont toujours ${\frac {1}{0}}$ et ${\frac {p}{1}}$ (n^o 71), on pourra trouver successivement toutes les autres à l’aide de la seule équation en $x.$

78. Au reste, soit qu’on emploie les substitutions successives de $p+{\frac {1}{y}},$ à la place de $x,$ de $q+{\frac {1}{z}}$ à la place de $y,\ldots ,$ soit qu’on fasse usage de la substitution générale ${\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}$ à la place de $x,$ la difficulté se réduira toujours à trouver, dans chaque équation transformée, la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l’unité, que cette équation contiendra nécessairement (n^o 70). Or, si la première valeur approchée $p$ ne convient qu’à une seule racine, alors toutes les équations transformées en $y,$ en $z,\ldots$ n’auront chacune qu’une seule racine plus grande que l’unité, de sorte qu’on pourra trouver les valeurs entières approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (n^o 19). Mais ; si la même valeur appartient à plusieurs racines, alors les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l’unité, soit positives ou négatives, jusqu’à ce que l’on arrive à une de ces transformées qui n’ait plus qu’une pareille racine ; car alors toutes les suivantes n’en auront plus qu’une seule au-dessus de l’unité, comme nous l’avons démontré dans le numéro cité.

Avant d’être parvenu à cette transformée, il arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suffira pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin, parce que l’équation aura des racines qui différeront entre elles par des quantités moindres que l’unité. Dans ce cas donc il semble qu’il faudrait avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dans le Chapitre I ; mais, ayant déjà employé cette méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines $x$ de l’équation primitive, on pourra se dispenser de faire un nouveau calcul à chaque équation transformée ; c’est ce qu’il est bon de développer.

79. En faisant usage de la méthode dont nous parlons, on trouvera d’abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l’équation proposée sera renfermée, en sorte qu’entre deux limites trouvées il n’y ait qu’une seule racine (n^o 13).

Soient $\lambda$ et $\Lambda$ les limites de la racine cherchée ; l’expression

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}$

donne

$t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}}\,;$

donc la valeur de $t$ sera renfermée entre les limites

${\frac {\varpi '\lambda -\varpi }{\rho -\rho '\lambda }},\quad {\frac {\varpi '\Lambda -\varpi }{\rho -\rho '\Lambda }}\,;$

par conséquent, si ces dernières limites différent l’une de l’autre moins que de l’unité, on aura sur-le-champ la valeur entière approchée de $t\,;$ mais, si elles diffèrént rune de l’autre d’une quantité égale ou plus grande que l’unité, alors ce sera une marque que la racine cherchée $t$ différera des autres racines de l’équation transformée en $t$ par des quantités égales ou plus grandes que l’unité ; de sorte qu’on sera sûr de pouvoir trouver la valeur entière approchée de cette racine par la simple substitution des nombres naturels à la place de $t\,;$ et la même chose aura lieu à plus forte raison dans les transformées suivantes.

80. La formule

$t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}}$

peut être aussi très-utile pour réduire en fraction continue toute quantité $x$ qui sera renfermée entre les limites données, au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites ; car, nommant comme ci-dessus $\lambda$ et $\Lambda$ les deux limites de $x,$ on aura

${\frac {\varpi '\lambda -\varpi }{\rho -\rho '\lambda }}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\varpi '\Lambda -\varpi }{\rho -\rho '\Lambda }}$

pour celles de $t\,;$ de sorte que, tant que la différence entre ces dernières limites ne sera pas plus grande que l’unité, on pourra trouver exactement la valeur entière de $t\,;$ ainsi, prenant ${\frac {1}{0}}$ et ${\frac {p}{1}}$ ($p$ étant la valeur entière approchée de $x$) pour les deux premières fractions, on pourra pousser la suite des fractions convergentes et par conséquent la fraction continue jusqu’à ce que les limites dont nous parlons diffèrent entre elles d’une quantité plus grande que l’unité ; alors il faudra s’arrêter, parce que les limites données $\lambda$ et $\Lambda$ ne comporteront pas une plus grande exactitude dans la valeur de $x$.

Par ce moyen, on n’aura jamais à craindre de se tromper en poussant la fraction continue plus loin qu’on ne doit, comme cela arriverait facilement si, pour avoir cette fraction, on se contentait de prendre l’un des nombres $\lambda$ ou $\Lambda$ et d’y pratiquer la même opération dont on se sert pour trouver la plus grande commune mesure, conformémentà la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues.

Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté ; il faudrait faire la même opération sur les deux nombres $\lambda$ et $\Lambda ,$ et n’admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la méthode précédente paraît plus commode et plus simple.

81. Voyons maintenant d’autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit

$t^{n}-at^{n-1}+bt^{n-2}-\ldots =0$

une quelconque de ces équations, dans laquelle il s’agit de trouver la valeur entière approchée de $t,$ que nous désignerons en général par $k\,;$ cette équation, étant dérivée de l’équation proposée en $x,$ sera du même degré que celle-ci, et aura par conséquent le même nombre de racines, que nous supposons égal à $n$.

Nous avons trouvé en général (n^o 79)

$t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}},$

ce qui se réduit à

$t={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.{\cfrac {x-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.\left({\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}-1\right)\,;$

mais

${\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}=\pm {\frac {1}{\rho '\varpi '}},$

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est impair ; donc on aura

$t=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.$

Donc, si l’on dénote par $x$ la racine cherchée, et par $x',x'',\ldots$ les autres racines de l’équation en $x$ qui sont au nombre de $n,$ et qu’on dénote de même par $t,t',t'',\ldots$ les valeurs correspondantes de $t,$ on aura

${\begin{aligned}t\ \ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t'\ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t''&=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais l’équation en $t$ donne

$a=t+t'+t''+\ldots \,;$

donc, substituant les valeurs de $t',t'',\ldots$ que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de $n-1,$ on aura

$a=t-{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'''}}+\ldots \right).$

Or nous avons trouvé (n^o 73)

${\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},$

ou bien, en faisant $\rho 't+\varpi '=\psi \rho ',$

${\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\psi \rho '^{2}}},$

où l’on remarquera que, $\rho 't+\varpi '$ étant renfermé entre les limites $\sigma '$ et $\Sigma '$ qui sont l’une et l’autre plus grandes que $\rho '$ (n^o 72), la quantité $\psi$ sera nécessairement plus grande que l’unité. Donc, faisant cette substitution dans la formule précédente, on aura

$t=a+{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\mp \left({\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+{\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+\ldots \right).$

Mais les quantités $x-x',x-x'',\ldots$ sont données, et la quantité $\rho '$ va toujours en augmentant ; donc, puisque la fraction ${\frac {1}{\psi }}$ est toujours moindre que l’unité, il est clair que chacune des quantités

${\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}},\quad {\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}},\quad \ldots$

ira nécessairement en diminuant ; et que par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de $n-1$ ira en diminuant aussi, de sorte qu’elle deviendra nécessairement moindre que ${\frac {1}{2}}.$

Donc on parviendra nécessairement à une équation transformée telle que sa racine $t$ sera, à ${\frac {1}{2}}$ près, égale à

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}$

($a$ étant le coefficient du second terme pris négativement), c’est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}},$

et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les transformées suivantes.

Donc, dès qu’on sera parvenu à une pareille transformée, il n’y aura qu’à prendre le nombre entier qui approchera le plus de la quantité

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}},$

c’est-à-dire celui qui sera contenu entre les mêmes limites

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}},$

et ce nombre sera nécessairement un des deux consécutifs entre lesquels

se trouvera la vraie valeur de $t\,;$ de sorte qu’il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée $k$ (n^o 77). Ainsi l’on pourra continuer l’approximation aussi loin qu’on voudra sans le moindre tâtonnement.

82. Puisque

$a=t+t'+t''+\ldots ,$

en substituant les valeurs de $t,t',\ldots$ (n^o 81), on aura

$a=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots \right)-{\cfrac {n\varpi '}{\rho }}.$

Or soit

$x^{n}-\mathrm {A} x^{n-1}+\mathrm {B} x^{n-2}-\ldots =0$

l’équation proposée ; qu’on fasse le premier membre de cette équation égal à $\mathrm {X} ,$ et il est facile de voir par la théorie des équations que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ deviendra, en y mettant ${\frac {\rho }{\rho '}}$ à la place de $x,$ après la différentiation,

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots ,$

à cause que $x,x',x'',\ldots$ sont les différentes racines de l’équation $\mathrm {X} =0.$ Donc on aura

$a=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {n\varpi '}{\rho '}},$

et par conséquent la quantité

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}$

deviendra

$\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}}.$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {R} ={\frac {n\rho ^{n-1}-(n-1)\mathrm {A} \rho ^{n-2}\rho '+(n-2)\mathrm {B} \rho ^{n-3}\rho '^{2}-\ldots }{\rho ^{n}-\mathrm {A} \rho ^{n-1}\rho '+\mathrm {B} \rho ^{n-2}\rho '^{2}-\ldots }},$

la quantité dont il s’agit sera

${\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\,;$

par conséquent les limites dont nous avons parlé dans le numéro précédent seront

${\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}}.$

Ainsi l’on pourra trouver ces limites indépendamment de l’équation transformée en $t,$ et par le seul moyen de l’équation proposée en $x,$ ce qui pourra servir à abréger le calcul.

83. Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine $t$ est renfermée entre les limites dont il s’agit ; or cela est facile dès qu’on connaît les deux nombres entiers consécutifs $\theta ,\theta +1$ entre lesquels se trouve cette racine car, soient $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}}$ les deux limites données, il est clair que, pour que $t$ se trouve entre ces limites, il faudra que $\lambda$ tombe entre les mêmes nombres $\theta ,\theta +1,$ et même plus près de celui de ces deux nombres dont $t$ approchera davantage. On examinera donc : 1^o si $\lambda$ tombe entre $\theta$ et $\theta +1\,;$ 2^o cela étant, on prendra celui de ces deux nombres dont $\lambda$ approche davantage pour la valeur approchée de $t,$ que nous nommerons $k,$ et faisant $t=k+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ on verra si l’équation transformée en $\scriptstyle {\mathcal {W}}$ a une racine positive ou négative plus grande que $2\,;$ si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine $t$ tombera réellement entre les limites $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}},$ et l’on pourra poursuivre le calcul comme nous l’avons dit dans le n^o 81.

84. On pourrait s’y prendre encore de la manière suivante, pour s’assurer si la racine $t$ tombe entre les limites $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}}.$ Il est facile de voir par le n^o 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des quantités

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots ,$

divisée par $\rho '^{2},$ est moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ ainsi il ne s’agira que de trouver une quantité qui soit plus grande que cette somme, et de voir ensuite si cette quantité est moindre que ${\frac {\rho '^{2}}{2}}.$

Or soient $x,x',x'',\ldots$ les racines réelles de l’équation proposée, que nous supposerons au nombre de $\mu ,$ et

$\xi +\psi {\sqrt {-1}},\quad \xi -\psi {\sqrt {-1}},\quad \xi '+\psi '{\sqrt {-1}},\quad \xi '-\psi '{\sqrt {-1}},\quad \ldots$

les racines imaginaires, que nous supposerons au nombre de $2\nu ,$ en sorte que $\mu +2\nu =n\,;$ comme la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ diffère de la racine $x$ d’une quantité moindre que ${\frac {1}{\rho '^{2}}}$ (n^o 73), il est clair que si $\Delta$ est une quantité égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation, chacune des quantités réelles

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots$

sera nécessairement moindre que

${\cfrac {1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}},$

et par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de $\mu -1$ sera moindre que

${\cfrac {\mu -1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}}.$

Considérons ensuite les quantités imaginaires, lesquelles seront deux à deux de la forme

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi -\psi {\sqrt {-1}}}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi +\psi {\sqrt {-1}}}},$

de sorte qu’on aura $\nu$ quantités de la forme

${\cfrac {2\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)}{\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)^{2}+\psi ^{2}}}\,;$

or je remarque que, quels que soient les nombres ${\frac {\rho }{\rho '}},\ \xi$ et $\psi ,$ la quantité

${\cfrac {2\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)}{\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)^{2}+\psi ^{2}}}$

sera toujours moindre que ${\frac {1}{\psi }}\,;$ en effet, si l’on considère la quantité

${\frac {2y}{y^{2}+\psi ^{2}}},$

et qu’on fasse, ce qui est toujours possible, $y=\psi \operatorname {tang} \varphi ,$ elle deviendra

${\frac {2\sin \varphi \cos \varphi }{\psi }}={\frac {\sin 2\varphi }{\psi }}\,;$

or, la plus grande valeur de $\sin 2\varphi$ est l’unité ; donc, etc.

Donc, si l’on dénote par $\Pi$ une quantité égale ou moindre que la plus petite des quantités $\psi ,\psi ',\ldots ,$ la quantité ${\frac {\nu }{\Pi }}$ sera nécessairement plus grande que la somme des quantités imaginaires dont nous parlons.

Donc, en général, la quantité

${\cfrac {\mu -1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}}+{\cfrac {\nu }{\Pi }}$

sera plus grande que la somme de toutes les quantités

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots .$

Donc, si l’on a

${\frac {\mu -1}{\rho '^{2}\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\rho '^{2}\Pi }}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2}},$

$\Delta$ et $\Pi$ étant prises positivement, on sera sûr que la racine $t$ tombera entre les limites proposées.

Or, pour avoir les nombres $\Delta$ et $\Pi ,$ lorsqu’on ne connaît pas d’avance les racines de l’équation proposée, il n’y aura qu’à chercher dans l’équation des différences (D) du n^o 8 la limite $l$ des racines positives et la limite $-h$ des racines négatives, et l’on pourra prendre pour un nombre quelconque $=$ ou $<{\frac {1}{{\sqrt {l}},}}$ et pour $\Pi$ un nombre quelconque $=$ ou $<{\frac {2}{\sqrt {h}}}\,;$ cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l’endroit cité.

85. Si l’on avait

${\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},$

alors la condition requise aurait lieu dès le commencement de la série ; de sorte qu’on pourrait approcher de la valeur de $x$ sans aucun tâtonnement voici le procédé du calcul.

Ayant trouvé la première valeur entière approchée de $x,$ qu’on pourra prendre plus petite ou plus grande que $x$ à volonté, et nommant cette valeur $p,$ on aura les deux premières fractions ${\frac {1}{0}},{\frac {p}{1}}.$

1^o On fera donc

$\varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =p,\quad \rho '=1,$

et, substituant ces valeurs dans l’expression de $\mathrm {R}$ (n^o 82), on prendra le nombre entier qui approchera le plus de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},$

c’est-à-dire de $-\mathrm {R} ,$ lequel étant nommé $k,$ on aura la fraction

${\frac {k\rho +\varpi }{k\rho '+\varpi '}}={\frac {kp+1}{k}}.$

2^o On fera

$\varpi =p,\quad \varpi '=1,\quad \rho =kp+1,\quad \rho '=k,$

et, substituant dans $\mathrm {R} ,$ on prendra le nombre entier qui approchera le plus de ${\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},$ c’est-à-dire de ${\frac {\mathrm {R} -1}{k}},$ et, ce nombre étant nommé $k',$ on aura la fraction

${\frac {k'\rho +\varpi }{k'\rho '+\varpi '}}={\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}}.$

3^o On fera

$\varpi =kp+1,\quad \varpi '=k,\quad \rho =k'(kp+1)+p,\quad \rho '=k'k+1,$

et l’on prendra la valeur entière la plus approchée de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {-\mathrm {R} -k'}{kk'+1}},$

laquelle étant nommée $k'',$ on aura la fraction

${\frac {k''\rho +\varpi }{k''\rho '+\varpi '}}=\ldots ,$

et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de $x$ sera exprimée par la fraction continue

$p+{\cfrac {1}{k+{\cfrac {1}{k'+{\cfrac {1}{k''+\ddots }}}}}},$

ou par les fractions convergentes

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {p}{1}},\quad {\frac {kp+1}{k'}},\quad {\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}},\quad \ldots .$

86. Si l’on n’a pas d’abord

${\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},$

il n’y aura qu’à chercher la fraction continue par la méthode ordinaire jusqu’à ce que l’on arrive à une fraction dont le dénominateur $\rho '$ soit tel que l’on ait

${\frac {\mu -1}{\rho '^{2}\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\rho '^{2}\Pi }}<{\frac {1}{2}}.$

ou bien jusqu’à ce que l’on parvienne à une transformée qui soit dans le cas du n^o 83.

Au reste, comme, en augmentant toutes les racines d’une équation dans une raison quelconque, on augmente aussi dans la même raison les différences entre ces racines, il est clair que si, dans l’équation proposée, on met ${\frac {x}{f}}$ à la place de $x,$ ce qui en augmentera les racines en raison de $1:f,$ les nombres $\Delta$ et $\Pi ,$ qui conviendront à la nouvelle équation, en seront augmentés dans la même raison, et par conséquent deviendront $f\Delta$ et $f\Pi \,;$ donc on pourra faire en sorte que la condition du n^o 85 soit vérifiée en donnant à $f$ une valeur telle que

${\frac {\mu -1}{f\Delta -1}}+{\frac {\nu }{f\Pi }}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2}}.$

Alors on pourra toujours se servir de la méthode du numéro cité pour approchersans tâtonnement de la valeur cherchée de $x\,;$ il faudra seulement diviser ensuite cette valeur par $f$ pour avoir la véritable racine de l’équation proposée ; il est vrai que, de cette manière, on n’aura plus cette racine exprimée par une simple fraction continue, mais on pourra néanmoins en approcher aussi près qu’on voudra, ce qui suffit pour l’usage ordinaire.

87. Soit l’équation proposée

$x^{n}-\mathrm {A} =0,$

en sorte que l’on demande la racine $n$^ième du nombre $\mathrm {A} .$

1^o Soit $n$ pair et $=2m\,;$ l’équation aura, comme on sait, deux racines réelles, $+{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}$ et $-{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$ et $n-2$ racines imaginaires qui seront exprimées ainsi

$\left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

$c$ étant la circonférence ou l’angle de $360$ degrés, et $s$ étant successivement égal à $1,\ 2,\ 3,\ldots ,$ jusqu’à $m-1\,;$ donc on aura dans ce

cas (n^o 84) $\mu =2,\ \nu =m-1,$ et l’on pourra prendre

$\Delta =2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},\quad \Pi =\sin {\frac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

à cause que $\sin {\frac {c}{n}}$ est le plus petit de tous les $\sin {\frac {sc}{n}}\,;$ donc la condition du n^o 85 aura lieu si

${\cfrac {1}{2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}-1}}+{\cfrac {m-1}{\sin {\cfrac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}}\,;$

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois qu’on aura

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n}{\sin {\cfrac {360^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.$

2^o Soit $n$ impair et $=2m+1\,:$ l’équation n’aura qu’une seule racine réelle ${\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$ et elle en aura $2m$ imaginaires de la forme

$\left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

en faisant successivement $s=1,\ 2,\ldots$ jusqu’à $m\,;$ donc on aura dans ce cas $\mu =1,\ \nu =m,$ et, comme le plus petit des $\sin {\frac {sc}{n}}$ est $\sin {\frac {mc}{n}}$ ou $\sin {\frac {180^{\circ }}{n}},$ à cause de $n=2m+1,$ on pourra prendre

$\Pi =\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}\,;$

de sorte que la condition du numéro cité aura lieu si

${\cfrac {m}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}},$

c’est-à-dire si l’on a

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n-1}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.$

Donc, lorsque le nombre $\mathrm {A}$ ne sera pas au-dessous des limites que nous venons de trouver, on pourra toujours, en faisant usage de la méthode du n^o 85, trouver directement et sans tâtonnement la racine $n$^ième de ce nombre ; et, s’il est plus petit que ces limites, on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant $n\,;$ en sorte qu’après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n’y aura plus qu’à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de $\mathrm {A} .$

Quant à la valeur de $\mathrm {R}$ (n^o 83), elle sera, pour l’équation $x^{n}-\mathrm {A} =0,$

88. Puisque le cas de $n=2$ peut se résoudre par la méthode de l’article II ci-dessus, nous en ferons abstraction ici. Soient donc

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=4,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{4}}=1,$

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >4^{4}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=6,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$,

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3^{3}.4^{6}\,;$

3^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=8,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$,

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >2^{4}.4^{8}\,;$

et ainsi de suite.

De même, si l’on fait

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=3,\$ on aura $\ \sin {\frac {180^{\circ }}{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},$

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {4^{3}}{3{\sqrt {3}}}}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=5,\$ on aura $\ \sin {\frac {180^{\circ }}{5}}=\sin 36^{\circ },$

et, faisant le calcul par les logarithmes, on trouvera

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >14595,$

et ainsi de suite.

89. Supposons, parexemple, qu’on demande la racine cubique de $17\,;$ puisque $17$ est $>{\frac {4^{3}}{3{\sqrt {3}}}},$ à cause de $3{\sqrt {3}}>4,$ on pourra employer d’abord la méthode du n^o 85. On aura donc ici, à cause de $n=3$ et $\mathrm {A} =17$ (n^o 87),

$\mathrm {R} ={\frac {3\rho ^{2}}{\rho ^{3}-17\rho '^{3}}}.$

Or, le nombre entier le plus proche de ${\sqrt[{3}]{17}}$ est $2$ ou $3,$ de sorte qu’on pourra faire à volonté $p=2$ ou $p=3.$

Faisons $p=2,$ et les premières fractions seront ${\frac {1}{0}},{\frac {2}{1}}\,;$ donc

1^o$\qquad \qquad \qquad \quad \varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =2,\quad \rho '=1\,;$

donc

$\mathrm {R} ={\frac {3.4}{8-17}}=-{\frac {4}{3}},$

et le nombre entier qui approche le plus de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {4}{3}}$

sera $1\,;$ donc $k=1,$ ce qui donne la fraction

${\frac {kp+1}{k}}={\frac {3}{1}}.$

2^o$\quad \qquad \qquad \qquad \varpi =2,\quad \varpi '=1,\quad \rho =3,\quad \rho '=1$

donc

$\mathrm {R} ={\frac {3.9}{10}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {17}{10}}\,;$

le nombre entier qui approche le plus de ${\frac {17}{10}}$ étant $2,$ on fera $k'=2,$ ce

qui donnera la fraction

${\frac {k'\rho +\varpi }{k'\rho '+\varpi '}}={\frac {8}{3}}.$

3^o$\quad \qquad \qquad \qquad \varpi =2,\quad \varpi '=1,\quad \rho =8,\quad \rho '=3\,;$

donc

$\mathrm {R} ={\frac {3.8^{2}}{8^{3}-17.3^{3}}}={\frac {192}{53}}$

et

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}=-{\frac {241}{159}},$

le nombre entier qui approchera le plus de cette fraction sera $-2\,;$ donc $k''=-2,$ et la fraction ${\frac {k''\rho +\varpi }{k''\rho '+\varpi '}}$ sera ${\frac {-13}{-5}}\,;$ etc.

De cette manière on aura les fractions convergentes vers ${\sqrt[{3}]{17}}$

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {2}{1}},\quad {\frac {3}{1}},\quad {\frac {8}{3}},\quad {\frac {-13}{-5}},\quad \ldots ,$

et la fraction continue sera

$2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{-2+\ddots }}}}}}.$