Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 13

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 295-327).

NOTE XIII.

SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

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La résolution des équations du second degré se trouve dans Diophante et peut aussi se déduire de quelques propositions des Data d’Euclide ; mais il paraît que les premiers algébristes italiens l’avaient apprise des Arabes. Ils ont résolu ensuite les équations du troisième et du quatrième degré ; mais toutes les tentatives qu’on a faites depuis pour pousser plus loin la résolution des équations n’ont abouti qu’à faire trouver de nouvelles méthodes pour le troisième et le quatrième degré, sans qu’on ait pu entamer les degrés supérieurs, si ce n’est pour des classes particulières d’équations, telles que les équations réciproques, qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié, celles dont les racines sont semblables aux racines des équations du troisième degré et que Moivre a données le premier, et quelques autres du même genre.

1. Dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (années 1770 et 1771)^[1], j’ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques, et j’ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes, en dernière analyse, à employer une équation secondaire qu’on appelle résolvante, dont la racine est de la forme

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

en désignant par $x',x'',x''',\ldots$ les racines de l’équation proposée, et par $\alpha$ une des racines de l’unité, du même degré que celui de l’équation.

Je suis ensuite parti de cette forme générale des racines, et j’ai cherché a priori le degré de l’équation résolvante et les diviseurs qu’elle peut avoir, et j’ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d’un degré plus haut que l’équation donnée, est susceptible d’abaissement pour les équations du troisième et du quatrième degré et peut servir à les résoudre.

J’ai cru qu’un précis de cette théorie ne serait pas déplacé dans le présent Traité, non-seulement parce qu’il en résulte une méthode uniforme pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, mais encore parce que cette méthode s’applique avec succès aux équations à deux termes, de quelque degré qu’elles soient.

2. Représentons l’équation proposée par la formule générale

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

et désignons ses $m$ racines par $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}\,;$ on aura, par les propriétés connues des équations,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&x'+x''+x'''+\ldots +x^{(m)},\\\mathrm {B} =&x'x''+x'x'''+\ldots +x''x'''+\ldots ,\\\mathrm {C} =&x'x''x'''+\ldots .\end{aligned}}$

Soit $t$ l’inconnue de l’équation résolvante ; nous ferons, d’après ce que nous venons de dire,

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

la quantité $\alpha$ étant une des racines $m$^ièmes de l’unité, c’est-à-dire une des racines de l’équation à deux termes $y^{m}-1=0.$

Pour avoir l’équation en $t,$ il faudra éliminer les $m$ inconnues $x',x'',$$x''',\ldots$ au moyen des équations précédentes, qui sont aussi au nombre de $m\,;$ mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus, l’inconvénient de conduire à une équation finale d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être.

3. On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l’équation dont il s’agit, en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu’ici, laquelle consiste à trouver d’abord la forme de toutes les racines de l’équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.

Il est d’abord clair que, dans l’expression de $t,$ on peut échanger entre elles à volonté les racines $x',x'',\ldots ,$ puisque rien ne les distingue jusqu’ici l’une de l’autre ; d’où il suit qu’on aura toutes les différentes valeurs de $t$ en faisant toutes les permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,$ et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en $t$ qu’il s’agit de construire.

Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre $m$ choses est exprimé en général par le produit $1.2.3\ldots m\,;$ donc l’équation en $t$ aura en général autant de racines qu’il y a d’unités dans ce nombre, et sera par conséquent d’un degré exprimé par le nombre $1.2.3\ldots m\,;$ mais nous allons voir que cette équation est susceptible d’abaissement par la forme même de ses racines.

Comme cette forme dépend de la quantité $\alpha$ qu’on suppose être une racine de l’équation $y^{m}-1=0,$ nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de cette équation, et, pour cela, nous considérerons séparément les cas où l’exposant $m$ est un nombre premier et celui où cet exposant est un nombre composé.

4. Supposons d’abord que le nombre $m$ soit premier. Dans ce cas, toutes les puissances de $\alpha$ jusqu’à $\alpha ^{m}$ auront des valeurs différentes, à moins que l’on n’ait $\alpha =1\,;$ car, si deux puissances $\alpha ^{n}$ et $\alpha ^{\nu }$ étaient égales, on aurait $\alpha ^{n}=\alpha ^{\nu },$ et de là $\alpha ^{n-\nu }=1\,;$ or, aucune puissance de $\alpha$ moindre que $m$ ne peut être $=1,$ tant que $\alpha$ n’est pas $=1.$ En effet, puisque $\alpha ^{m}-1=0,$ si l’on avait en même temps $\alpha ^{n}-1=0,$ $n$ étant $<m,$ il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune ; et, en cherchant par les règles ordinaires le plus grand commun diviseur des deux quantités $\alpha ^{m}-1$ et $\alpha ^{n}-1,$ on trouve nécessairement $\alpha -1$ pour ce diviseur, à cause que $m$ est un nombre premier, de sorte que la racine commune aux deux équations $\alpha ^{m}-1=0$ et $\alpha ^{n}-1=0$ ne peut être que l’unité.

5. Il s’ensuit de là : 1^o que les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ représentent toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ en prenant pour $\alpha$ une quelconque des racines de cette équation, autre que l’unité ; car, puisque $\alpha ^{m}=1,$ on aura aussi $\alpha ^{2m}=1,\ \alpha ^{3m}=1,\ldots ,$ de sorte que les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ seront aussi des racines de la même équation, et, comme elles sont au nombre de $m,$ et ont toutes des valeurs différentes, elles donneront nécessairement toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0.$

6. Il s’ensuit aussi : 2^o que, si dans la série des puissances $\alpha ,\alpha ^{2},$$\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ on substitue pour une quelconque de ces puissances ; comme $\alpha ^{n},$ $n$ étant $<m,$ la nouvelle série $\alpha ^{n},\alpha ^{2n},\alpha ^{3n},\ldots ,$ en rabaissant toutes les puissances au-dessous de $\alpha ^{m},$ à cause de $\alpha ^{m}=1,$ contiendra encore les mêmes puissances, mais dans un ordre différent ; car il est visible que tous les exposants $n,2n,3n,\ldots$ sont différents et que leurs restes de la division par $m$ le sont aussi, parce que $m$ est un nombre premier ; de sorte que ces restes, étant au nombre de $m$ et tous différents entre eux, ne peuvent être que les nombres $1,2,3,\ldots ,m.$

7. Considérons maintenant le cas où $m$ est un nombre composé. Dans ce cas, si $n$ est un diviseur de $m,$ toutes les racines de l’équation $y^{n}-1=0$ seront communes à l’équation $y^{m}-1=0,$ parce qu’en supposant le nombre $r$ racine de l’équation $y^{n}-1=0$ on aura $r^{n}=1,$ et par conséquent aussi $r^{m}=1,$ de sorte que $r$ sera aussi racine de l’équation $y^{m}-1=0.$ En faisant donc $\alpha =r,$ on aura $\alpha ^{m}=1,$ et, si $m=np,$ il est visible que dans la série des puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ chacune se trouvera répétée $p$ fois ; par conséquent, ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ parce que cette équation ne peut avoir de racines égales.

8. Soit $m=pq,$ $p$ et $q$ étant deux nombres premiers, et soient $\beta$ une des racines de l’équation $y^{p}-1=0$ et $\gamma$ une des racines de l’équation $y^{q}-1=0\,;$ il est clair que $\beta$ et $\gamma$ seront aussi racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ parce que, $p$ et $q$ étant $=1,$ on aura aussi $\beta ^{pq}=1,\ \gamma ^{pq}=1\,;$ mais toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0$ ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines $\beta$ et $\gamma .$

On voit aussi que le produit $\beta \gamma$ sera racine de la même équation $y^{m}-1=0\,;$ mais aucune puissance de cette racine, dont l’exposant serait inférieur à $m,$ ne pourra être égale à l’unité, à moins que $\beta$ ou $\gamma$ ne soit $=1\,;$ car il faudrait que l’exposant de cette puissance fût un diviseur de $m,$ et par conséquent égal à $p$ ou à $q\,;$ on aurait donc $(\beta \gamma )^{p}=1$ ou $(\beta \gamma )^{q}=1.$ Dans le premier cas, on aurait $\gamma ^{p}=1,r$ à cause de $\beta ^{p}=1$ (hyp.), et, comme on a déjà $\gamma ^{q}-1=0$ (hyp.), il en résulterait $\gamma -1=0,$ à cause que $p$ et $q$ sont premiers entre eux ; dans le second cas, on aurait $\beta -1=0.$

9. Ainsi, tant que $\beta$ et $\gamma$ sont différents de l’unité, la racine de l’équation $y^{m}-1=0$ a, lorsque $m=pq,$ la même propriété que la racine lorsque $m$ est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par les puissances successives de $\beta \gamma .$

10. Comme les valeurs de $\beta$ sont au nombre de $p$ et celles de $\gamma$ au nombre de $q,$ les valeurs de $\beta \gamma$ seront au nombre de $pq,$ c’est-à-dire de $m,$ et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu’elles peuvent être représentées par $\beta ^{r}\gamma ^{s},$ en faisant successivement $r=1,2,3,\ldots ,p$ et $s=1,2,3,\ldots ,q,$ à cause que les nombres $p$ et $q$ sont supposés premiers ; d’où il suit que toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ $m$ étant $=pq,$ peuvent être représentées par les produits $\beta \gamma$ des racines des équations $y^{p}-1=0,$ $y^{q}-1=0,$ $p$ et $q$ étant des nombres premiers.

On prouvera de même que, si $m=pqr,$ en supposant $p,q,r$ des nombres premiers, et que $\beta ,\gamma ,\delta$ soient respectivement des racines quelconques des trois équations $y^{p}-1=0,\ y^{q}-1=0,\ y^{r}-1=0,$ le produit $\beta \gamma \delta ,$ en donnant successivement à $\beta ,\gamma ,\delta$ toutes leurs valeurs, pourra représenter toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ et que celles de ces racines qui seront exprimées par $\beta \gamma \delta ,$ en excluant l’unité des valeurs de $\beta ,\gamma ,\delta ,$ auront les mêmes propriétés que les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ lorsque $m$ est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

11. Mais, si l’on avait $m=p^{2},$ $p$ étant un nombre premier, en prenant $\beta$ pour une quelconque des racines de l’équation $y^{p}-1=0,$ il est clair que $\beta$ serait aussi racine de l’équation $y^{m}-1=0,$ et que ${\sqrt[{p}]{\beta }}$ le serait aussi. On prendrait donc, dans ce cas, pour $\gamma$ une quelconque des valeurs de ${\sqrt[{p}]{\beta }},$ et l’on aurait également $\beta \gamma$ pour l’expression de toutes les racines de $y^{m}-1=0.$

De même, si $m=p^{3},$ en conservant les valeurs de $\beta$ et $\gamma ,$ on ferait de plus $\delta ={\sqrt[{p}]{\gamma }},$ et l’on aurait $\beta \gamma \delta$ pour l’expression de toutes les racines de $y^{m}-1=0,$ en donnant successivement à $\beta ,\gamma ,\delta$ toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.

12. Donc, en général, si $m=p^{\mu }q^{\nu }r^{\varpi }\ldots ,$ et que $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ soient respectivement des racines quelconques des équations

$y^{p}-1=0,\quad y^{q}-1=0,\quad y^{r}-1=0,\quad \ldots ,$

$p,q,r,\ldots$ étant des nombres premiers ; si l’on fait de plus

$\beta '={\sqrt[{p}]{\beta }},\ \ \beta ''={\sqrt[{p}]{\beta '}},\ldots ,\ \ \gamma '={\sqrt[{q}]{\gamma }},\ \ \gamma ''={\sqrt[{q}]{\gamma '}},\ldots ,\ \ \delta '={\sqrt[{r}]{\delta }},\ \ \delta ''={\sqrt[{r}]{\delta '}},\ldots ,$

on aura

$\beta \beta '\beta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots$

pour l’expression générale des racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ en donnant successivement à $\beta ,\beta ',\ldots ,\ \gamma ,\gamma ',\ldots ,\ \delta ,\delta ',\ldots$ toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.

On voit par là que, pour avoir les racines de l’équation à deux termes $y^{m}-1=0,$ lorsque $m$ n’est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposants soient les nombres premiers qui composent le nombre $m.$

13. Enfin nous remarquerons que, comme l’équation $y^{m}-1=0$ manque de tous les termes intermédiaires, si l’on nomme $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ses racines, on aura, par les formules générales données au commencement de la Note VI,

${\begin{array}{llll}1+\alpha &+\beta &+\gamma &+\ldots =0,\\1+\alpha ^{2}&+\beta ^{2}&+\gamma ^{2}&+\ldots =0,\\1+\alpha ^{3}&+\beta ^{3}&+\gamma ^{3}&+\ldots =0,\\\end{array}}$

${\begin{aligned}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&1+\alpha ^{m-1}+\beta ^{m-1}+\gamma ^{m-1}+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

ensuite, à cause de $\alpha ^{m}=1,\ \beta ^{m}=1,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}1+\alpha ^{m}\quad +\beta ^{m}\ \ \ +\gamma ^{m}\quad +\ldots =&m,\\1+\alpha ^{m+1}+\beta ^{m+1}+\gamma ^{m+1}+\ldots =&0,\\1+\alpha ^{m+2}+\beta ^{m+2}+\gamma ^{m+2}+\ldots =&0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Ces différentes remarques nous seront fort utiles dans la suite.

14. Ces préliminaires posés, considérons la fonction

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

dans laquelle $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}$ sont les racines de l’équation proposée du degré $m,$ et $\alpha$ est une racine quelconque de l’équation $y^{m}-1=0,$ de manière que l’on ait $\alpha ^{m}=1.$

On voit d’abord que cette expression est une fonction invariable des quantités $\alpha ^{0}x',\alpha x'',\alpha ^{2}x''',\ldots ,$ et qu’ainsi le résultat des permutations des racines $x',x'',x''',\ldots$ entre elles sera le même que celui des puissances de $\alpha$ entre elles.

15. Il s’ensuit de là que $\alpha t$ sera le résultat des permutations simultanées de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',\ldots ,$ $x^{(m)}$ en $x',$ à cause de $\alpha ^{m}=1.$ De même, $\alpha ^{2}t$ sera le résultat des permutations simultanées de $x'$ en $x''',$ $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ $x^{(m-1)}$ en $x'$ et $x^{(m)}$ en $x'',$ à cause de $\alpha ^{m}=1,\ \alpha ^{m+1}=\alpha ,$ et ainsi de suite.

Donc, $t$ étant une des racines de l’équation résolvante en $t,\ \alpha t,\ \alpha ^{2}t,$ $\alpha ^{3}t,\ldots ,\alpha ^{m-1}t$ seront aussi des racines de la même équation, par conséquent, l’équation en $t$ devra être telle qu’elle ne change pas en y changeant $t$ en $\alpha t,$ en $\alpha ^{2}t,$ en $\alpha ^{3}t,$ en $\alpha ^{m-1}t,$ d’où il est facile de conclure d’abord que cette équation ne pourra contenir que des puissances de $t$ dont les exposants soient multiples de $m$.

Si donc on fait $t^{m}=\theta ,$ on auraune équation en $\theta$ qui ne sera que du degré $1.2.3.\ldots [m-1]$ et dont les racines seront les différentes valeurs de $\theta$ résultant des permutations des $m-1$ racines $x'',x''',\ldots ,x^{(m)}$ entre elles.

16. L’expression de $\theta$ sera, à cause de $\alpha ^{m}=1,\ \alpha ^{2m}=1,\ldots ,$ de la forme

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)},$

dans laquelle les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions déterminées de $x',x'',x''',\ldots ,$ lesquelles auront en général la propriété d’être invariables par les permutations simultanées de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',\ldots ,$ $x^{(m)}$ en $x',$ de $x'$ en $x''',$ $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ $x^{(m-1)}$ en $x',$ $x^{(m)}$ en $x'',$ et ainsi de suite, ce qui suit de ce que $\theta$ est également $=t^{m}=(\alpha t)^{m}=\left(\alpha ^{2}t\right)^{m},\ldots .$

Lorsque les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront connues, on aura tout de suite les valeurs de toutes les racines $x',x'',x''',\ldots$ de la proposée ; car, puisque $\theta =t^{m},$ on aura $t={\sqrt[{m}]{\theta }},$ et, si l’on dénote par $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ et qu’on dénote aussi par $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ les valeurs de $\theta$ qui répondent à la substitution successive de $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ à la place de $\alpha$ dans l’expression de $\theta$, on aura, à cause de

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

les équations suivantes

${\begin{aligned}x'+\ \ \ x''+\quad x'''+\ldots +\ \qquad x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}},\\x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta '}},\\x'+\beta x''+\,\beta ^{2}x'''+\ldots +\beta ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta ''}},\\x'+\gamma x''+\,\gamma ^{2}x'''+\ldots +\gamma ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta '''}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}$

Ces équations, étant ajoutées ensemble, donneront d’abord, par les propriétés des racines $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ (n^o 13),

$x'={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{m}]{\theta '}}+{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{m}]{\theta ^{(m-1)}}}}{m}}.$

Ensuite, si on les multiplie respectivement par $1,\alpha ^{m-1},\beta ^{m-1},\gamma ^{m-1},\ldots ,$ et qu’on les ajoute de nouveau ensemble, on aura, par les mêmes propriétés,

$x''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}}.$

On trouverait de la même manière

$x'''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}},$

et ainsi de suite.

17. Nous remarquerons sur ces formules que le terme ${\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}},$ étant égal à la somme $x'+x''+x'''+\ldots$ des racines, est donné immédiatement par l’équation, de sorte qu’on a ${\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}=\mathrm {A}$ (n^o 2), équation nécessairement identique, et qui pourrait servir, s’il en était besoin, à s’assurer de la bonté du calcul.

Il s’ensuit de là aussi que, comme $\theta ^{0}=\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\ldots ,$ en faisant $\alpha =1,$ on aura

$\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\ldots +\xi ^{(m-1)}=\theta ^{0}=\mathrm {A} ^{m},$

et par conséquent

$\xi ^{0}=\mathrm {A} ^{m}-\xi '-\xi ''-\xi '''-\ldots ,$

valeur qui, étant substituée dans l’expression générale de $\theta$, la réduira à cette forme plus simple

$\theta =\mathrm {A} ^{m}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,$

et l’on aura les valeurs de $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ en mettant les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation

$y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,$

à la place de $\alpha$ (n^o 16).

18. La difficulté se réduit donc à trouver les valeurs des quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ qui entrent dans l’expression de $\theta ,$ lorsqu’elles ne sont pas données immédiatement. Dans cette recherche, il convient de distinguer le cas où l’exposant $m$ est un nombre premier de ceux où $m$ est un nombre composé.

Supposons d’abord que $m$ soit un nombre premier ; nous avons démontré ci-dessus (n^o 6) qu’alors, en prenant pour une racine quelconque de l’équation $y^{m}-1=0,$ autre que l’unité, si dans la série des puissances $\alpha ,\alpha ^{2},$$\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ on substitue à la place de $\alpha$ une quelconque de ces mêmes puissances, on retrouvera toujours la même série de puissances, seulement dans un ordre différent. Or il est visible que, dans la fonction $t,$ le changement de $\alpha$ en $\alpha ^{2}$ répond aux substitutions simultanées de $x''$ à $x''',$ $x'''$ à $x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ que le changement de $\alpha$ en $\alpha ^{3}$ répondra aux substitutions simultanées de $x''$ à $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ $x'''$ à $x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\ldots ,$ et ainsi de suite. Donc les changements successifs de $\alpha$ en $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ répondront à autant de permutations où $x''$ prendra la place de $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(m)},$ ce qui fait $m-1$ permutations, dont chacune pourra ensuite être combinée avec toutes les permutations possibles entre les autres $m-2$ racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(m)}.$

Il en sera donc de même de la fonction $\theta ,$ et, comme dans cette fonction les changements de $\alpha$ en $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots$ répondent à des substitutions de $\xi '$ à $\xi '',$ à $\xi ''',\ldots$ correspondantes à celles de $x''$ à $x''',$ à $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ dans la fonction $t,$ il est facile d’en conclure que les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ seront les $m-1$ racines d’une équation en $\xi$ du degré $m-1,$ dont les coefficients seront des fonctions de $x',x'',x''',\ldots$ qui ne seront susceptibles que d’autant de valeurs différentes qu’il y aura de permutations entre les $m-2$ racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$$\ldots ,x^{(m)},$ c’est-à-dire de $1.2.3\ldots (m-2)$ valeurs, et dépendront par conséquent d’équations du degré $1.2.3\ldots (m-2).$

19. On peut même démontrer que tous ces coefficients ne dépendront que d’une seule équation de ce même degré, car, si l’on représente par

$\xi ^{m-1}-\mathrm {M} \xi ^{m-2}+\mathrm {N} \xi ^{m-3}-\ldots =0$

l’équation en $\xi$ dont $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ sont les racines, en faisant dans les fonctions $\mathrm {M,N} ,\ldots$ les $1.2.3\ldots (m-2)$ permutations entre les racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ on aura autant de pareilles équations qui, étanttmultipliées ensemble, donneront une équation finale en $\xi$ du degré $1.2.3\ldots (m-1),$ dans laquelle les coefficients seront des fonctions invariables des racines $x',x'',x''',\ldots$ et par conséquent déterminables par les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation proposée.

L’équation

$\xi ^{m-1}-\mathrm {M} \xi ^{m-2}+\mathrm {N} \xi ^{m-3}-\ldots =0$

sera donc un diviseur de celle-ci ; faisant la division à la manière ordinaire et égalant à zéro les $m-1$ termes du reste, on aura autant d’équations, dont les premières $m-2$ donneront les valeurs de $\mathrm {N,P} ,\ldots$ en fonctions rationnelles de $\mathrm {M} .$ Ainsi il suffira de trouver l’équation en $\mathrm {M}$ du degré $1.2.3\ldots (m-2).$

Si donc cette équation pouvait se résoudre, et il suffirait d’en connaître une seule racine, on aurait les valeurs des coefficients de l’équation en $\xi ,$ qui est d’un degré moindre d’une unité que la proposée, et dont les $m-1$ racines seraient les valeurs des quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ qui entrent dans l’expression de $\theta .$

20. Mais, au lieu de chercher les racines $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots ,$ il pourrait être plus simple de chercher directement $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots .$ Il est clair que ces quantités seront les racines d’une équation en $\theta$ du $(m-1)$^ième degré, qu’on trouvera en éliminant $\alpha$ de l’expression de $\theta ,$ au moyen de l’équation

$\alpha ^{m}-1=0,$

après en avoir ôté la racine $1,$ c’est-à-dire de l’équation

$\alpha ^{m-1}+\alpha ^{m-2}+\alpha ^{m-3}+\ldots +1=0.$

Cette équation en $\theta$ sera ainsi débarrassée de la racine $\alpha ,$ et ses coefficients exprimés par les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots ,$ étant considérés comme fonctions des racines $x',x'',x''',\ldots ,$ ne seront susceptibles que de $1.2.3\ldots (m-2)$ variations par toutes les permutations possibles entre

ces racines ; car, comme les changements de place de $x''$ répondent aux substitutions de $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots$ au lieu de $\alpha ,$ et que la quantité $\alpha$ a disparu de l’équation en $\theta ,$ il s’ensuit que, dans l’expression de ses coefficients, on pourra regarder $x''$ comme fixe, ainsi que $x'.$

Sans employer la voie de l’élimination, on pourra parvenir, directement à cette équation en $\theta$ au moyen de ses racines $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots ,$ dont l’expression est connue car, en représentant cette équation par

$\theta ^{m-1}-\mathrm {T} \theta ^{m-2}+\mathrm {U} \theta ^{m-3}-\ldots =0,$

on aura, par les formules connues,

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&\theta '\ \ \ \,+\theta ''\quad +\theta '''\quad +\ldots ,\\\mathrm {U} =&\theta '\theta ''+\theta '\theta '''+\theta ''\theta '''+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefficients en les déduisant des sommes des puissances successives des racines $\theta ',\theta '',\ldots$ jusqu’à la $m$^ième puissance. En effet, si l’on élève successivement le polynôme

$\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)}$

aux puissances 2^ième, 3^ième, …, et qu’on dénote par $\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4},\ldots$ les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de la quantité $\alpha ,$ après avoir substitué partout $1$ pour $\alpha ^{m},$ $\alpha$ pour $\alpha ^{m+1},$ et ainsi des autres ; que, de plus, on fasse pour l’uniformité

$\theta ^{0}=\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(m-1)},$

en sorte que les quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ répondent aux racines $1,\alpha ,\beta ,\ldots ,$ il est facile de voir qu’on aura, par les propriétés de ces racines exposées plus haut, $m\xi ^{0},m\xi _{2},m\xi _{1},\ldots$ pour les sommes des puissances 1^ère, 2^ième, 3^ième, … des quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots .$

Or $\theta ^{0}=\mathrm {A} ^{m}$ (n^o 17) ; donc, si l’on retranche respectivement des quantités $m\xi ^{0},m\xi _{2},m\xi _{3},\ldots$ les puissances de $\mathrm {A} ^{m},$ les restes $m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m},$ $m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m},$ $m\xi _{3}-\mathrm {A} ^{3m},\ldots$ sont les sommes des $m-1$ racines $\theta ',\theta '',$ $\theta ''',\ldots$ de leurs carrés, de leurs cubes, etc., d’où l’on tirera les sommes de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., par les formules données dans le Chapitre I (n^o 8), ainsi qu’il suit :

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{2}}-{\frac {m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}}{2}},\\\mathrm {V} =&{\frac {\mathrm {U} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{3}}-{\frac {\mathrm {T} \left(m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}\right)}{3}}+{\frac {m\xi _{3}-\mathrm {A} ^{3m}}{3}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

22. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des coefficients $\mathrm {T,U,V} ,\ldots$ en $x',x'',x''',\ldots$ toutes les permutations possibles entre ces racines $x',x'',\ldots ,$ on ne trouvera pour chacun de ces coefficients que $1.2.3\ldots (m-2)$ permutations, provenant uniquement des permutations entre les $m-2$ racines $x'',x''',\ldots .$

Ainsi, on aura pour la détermination de $\mathrm {T}$ une équation de ce même degré, qu’on pourra former par le moyen de ses racines ; ensuite on trouvera les valeurs des autres coefficients $\mathrm {U,V} ,\ldots$ en fonctions rationnelles de $\mathrm {T}$ par la méthode donnée plus haut, relativement aux coefficients de l’équation en $\xi$ (n^o 19).

Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l’équation en $\mathrm {T}$ du degré $1.2.3\ldots (m-2),$ laquelle sera toujours d’un degré plus haut que la proposée lorsque $m$ sera au-dessus de $3.$ Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre, mais c’est de quoi il me paraît très-difficile, sinon impossible, de juger a priori.

23. À l’égard des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ comme elles sont avec l’unité les racines de l’équation

$y^{m}-1=0,$

si l’on divise cette équation par $y-1$ pour en éliminer la racine $1,$ on aura l’équation du degré $m-1$

$y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,$

dont $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seront les $m-1$ racines.

Cette équation est d’abord, comme l’on voit, d’un degré moindre d’une unité que l’équation proposée ; mais, étant d’une forme convertible, elle peut toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié ; de plus, par la belle découverte de M. Gauss, on peut la résoudre à l’aide d’autant d’équations qu’il y a de facteurs premiers dans $m-1,$ et qui ne montent qu’aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire, comme on le verra dans la Note suivante.

24. Nous avons supposé (n^o 18) que l’exposant $m$ du degré de l’équation est un nombre premier ; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l’équation $y^{m}-1=0$ sont de deux espèces les unes sont communes à l’équation $y^{n}-1=0,$ $n$ étant un diviseur de $m\,;$ et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de l’équation primitive, parce qu’elles n’ont de valeurs différentes que jusqu’aux puissances $n,$ après quoi les mêmes valeurs reviennent toujours dans le même ordre ; les autres n’appartiennent qu’à l’équation $y^{m}-1=0$ et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation lorsque $m$ est un nombre premier. Ainsi, il faudrait d’abord borner le raisonnement du n^o 18 aux seules racines, qui sont propres à l’équation $y^{m}-1=0,$ et modifier en conséquence les conclusions que nous en avons déduites relativement à l’équation en $\xi .$ De plus, en n’employant même que ces racines pour $\alpha ,$ on ne peut pas dire que la substitution d’une puissance quelconque de $\alpha$ à la place de $\alpha$ dans la série $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ redonne toujours les mêmes termes, parce que, si $m=np,$ la substitution de $\alpha ^{n}$ pour $\alpha$ ne donnera jamais que les puissances $\alpha ^{n},\alpha ^{2n},\ldots ,\alpha ^{np},$ à cause de $\alpha ^{np}=1.$ Il résulte de là que les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ ne pourront plus être les racines d’une même équation, mais devront dépendre d’équations différentes qu’il_ faudrait chercher séparément, ce qui allongerait le calcul.

Mais, en employant les racines communes à l’équation $y^{n}-1=0,$ la méthode générale se simplifie et la résolution du degré $m$ se réduit à celle d’autant d’équations des degrésinférieurs $n$ que l’exposant $m$ a de facteurs premiers ; c’est ce que nous allons développer.

25. Supposons donc que l’équation $m$ ait un diviseur $n\,;$ nous avons vu [(n^o  7) que toutes les racines de l’équation $y^{n}-1=0$ sont communes à l’équation $y^{m}-1=0\,;$ ainsi, dans la fonction

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

nous pourrons prendre pour $\alpha$ une des racines de l’équation $y^{n}-1=0.$ On aura alors

$\alpha ^{n}=1,\ \ \alpha ^{n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots ,\ \ \alpha ^{2n}=1,\ \ \alpha ^{2n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{2n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots$

jusqu’à $\alpha ^{m}=1,$ et l’expression de $t$ se réduira à cette forme plus simple

$t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} ''+\alpha ^{2}\mathrm {X} '''+\ldots +\alpha ^{n-1}\mathrm {X} ^{(n)},$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &=x'\ \ +x^{(n+1)}+x^{(2n+1)}+\ldots +x^{(m-n+1)},\\\mathrm {X} ''\ &=x''\ +x^{(n+2)}+x^{(2n+2)}+\ldots +x^{(m-n+2)},\\\mathrm {X} '''&=x'''+x^{(n+3)}+x^{(2n+3)}+\ldots +x^{(m-n+3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(n)}&=x^{(n)}+x^{(2n)}\ +x^{(3n)}\quad +\ldots +x^{(m)}.\end{aligned}}$

Regardant maintenant les quantités $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,X} ^{(n)}$ n) comme les racines d’une équation du degré $n\,;$ il est clair qu’on pourra appliquer à la fonction $t$ les mêmes raisonnements qu’on a faits dans les n^os 15 et 16, et qu’on parviendra à des conclusions semblables.

Ainsi, en faisant $t^{n}=\theta ,$ on aura, à cause de $\alpha ^{n}=1,$ une expression de $\theta$ de la forme

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\ldots +\alpha ^{n-1}\xi ^{(n-1)},$

dans laquelle les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions connues de $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,}$ lesquelles auront la propriété d’être invariables par les échanges simultanés de $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ''',\ldots ,$ $\mathrm {X} ^{(n)}$ en $\mathrm {X} '.$

Connaissant ces quantités, on aura immédiatement les valeurs des racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ par des formules semblables à celles du n^o 16.

Ainsi, en prenant $1,\alpha ,\beta ,\ldots$ pour les racines de l’équation $y^{n}-1=0,$ et supposant que $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ soient les valeurs de $\theta$ qui répondent à $\alpha =1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\qquad {\sqrt[{n}]{\theta '}}+\qquad {\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\mathrm {X} ''\ &={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{n-1}{\sqrt[{n}]{\theta '}}+\beta ^{n-1}{\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\mathrm {X} '''&={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{n-2}{\sqrt[{n}]{\theta '}}+\beta ^{n-2}{\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où l’on remarquera que le terme ${\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}$ est toujours égal à la somme des racines, qui est ici

$\mathrm {X'+X''+X'''} +\ldots =1'+x''+x'''+\ldots =\mathrm {A} .$

On n’aura encore par là que les racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots \,;$ pour avoir les racines primitives $x',x'',x''',\ldots ,$ il n’y aura qu’à regarder séparément celles qui composent chacune des quantités $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ comme les racines d’une équation du degré égal au nombre de ces racines et y appliquer la même méthode.

26. Lorsque $n$ est un nombre premier, ce qu’on peut toujours supposer en prenant pour $n$ un des facteurs premiers du nombre $m,$ les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ seront, comme dans le n^o 18, les racines d’une équation du degré $n-1,$ dont les coefficients dépendront d’une équation du degré $1.2.3\ldots (n-2).$ Cette dernière équation aura pour coefficients des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en $\mathrm {X}$ dont $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ sont les racines. Or ceux-ci ne sont pas connus ; il n’y a que ceux de l’équation donnée dont $x',x'',x''',\ldots$ sont les racines qui le soient ; il s’agit donc de voir comment ceux-là pourront dépendre de ceux-ci.

Il est clair que, en substituant pour $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ leurs valeurs en $x',x'',x''',\ldots ,$ les coefficients dont il s’agit deviendront des fonctions connues des racines $x',x'',x''',\ldots ,$ et, pour trouver les équations d’où ces fonctions dépendront, la difficulté se réduira à chercher de combien de valeurs différentes ces fonctions seront susceptibles par toutes les permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}.$

27. Le nombre total des permutations entre ces $m$ racines est en général $1.2.3\ldots m\,;$ mais, s’il y a des permutations qui ne produisent aucun changement dans les fonctions dont il s’agit, il faudra diviser par le nombre de ces permutations le nombre total des permutations, parce que chaque permutation se combinant avec toutes les autres ne s’ajoute pas aux autres, mais les multiplie.

Or les racines $x',x^{(n+1)},\ldots ,x^{(m-n+1)}$ qui entrent dans l’expression de $\mathrm {X} ',$ et qui sont au nombre de $p,$ à cause de $m=np,$ sont susceptibles de $1.2.3\ldots p$ permutations ; mais, comme elles entrent dans $\mathrm {X} '$ sous une forme invariable, leurs permutations ne produisent aucun changement dans la valeur de $\mathrm {X} '\,;$ par conséquent, on aura d’abord le diviseur $1.2.3\ldots p.$

L’expression de $\mathrm {X} '',$ étant dans le même cas, donnera de nouveau le diviseur $1.2.3\ldots p,$ de sorte qu’on aura le diviseur $(1.2.3\ldots p)^{2},$ à raison des deux fonctions $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''\,;$ par la même raison, les trois fonctions $\mathrm {X',X'',X'''}$ donneront le diviseur $(1.2.3\ldots p)^{3},$ et les $n$ fonctions $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,X^{(n)}}$ donneront par conséquent le diviseur $(1.2.3\ldots p)^{n}.$

Enfin les $n$ quantités $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ sont susceptibles en elles-mêmes de $1.2.3\ldots n$ permutations, et, comme les coefficients de l’équation en $\mathrm {X}$ sont des fonctions invariables de ces quantités, il en résultera encore le nouveau diviseur $1.2.3\ldots n.$

D’où l’on peut conclure que les coefficients de cette équation, regardés comme des fonctions des $m$ racines $x',x'',x''',\ldots ,$ ne seront susceptibles que de

${\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots n(1.2.3\ldots p)^{n}}}$

valeurs différentes, et ne dépendront par conséquent que d’une équation de ce degré.

Ainsi, les coefficients de l’équation du degré $1.2.3\ldots (n-2),$ qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en $\mathrm {X} ,$ dépendront d’une équation de ce degré.

Donc, en donnant à ces coefficients toutes les valeurs qui répondent aux racines de cette dernière équation, et multipliant ensemble toutes les équations résultantes, on aura enfin une équation du degré

${\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\times 1.2.3\ldots (n-2)\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\,;$

ce sera l’équation d’où dépendront les coefficients de l’équation en $\xi$ du degré $n-1,$ dont les racines seront les valeurs de $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots .$ Ainsi, on peut dire que c’est à une équation de ce degré que la résolution de l’équation proposée se réduira en dernière analyse.

28. Pour achever la résolution de l’équation proposée en $x,$ il faudra encore tirer les valeurs de ses racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}$ de celles des racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ (n^o 25). Pour cela, on regardera les $p$ racines $x',x^{(n+1)},\ldots$ qui composent la valeur de $\mathrm {X} '$ comme étant les racines d’une équation du $p$^ième degré et qui sera de cette forme

$x^{p}-\mathrm {X} 'x^{p-1}+\lambda x^{p-2}-\mu x^{p-3}+\nu x^{p-4}-\ldots =0,$

dans laquelle les coefficients $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ seront inconnus ; mais, comme cette équation est censée renfermer $p$ des $m$ racines de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

où $m=np,$ elle devra être un diviseur de celle-ci ; par conséquent, il n’y aura qu’à faire la division ordinaire, en supposant nuls les termes affectés de $x^{p-1},x^{p-2},\ldots$ dans le reste. On aura, par ce moyen, $p$ équations en $\mathrm {X} ',$ $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ dont les $p-1$ premières donneront les valeurs de $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ en $\mathrm {X} '$ par des équations linéaires. Ainsi, $\mathrm {X} '$ étant connu, on aura aussi $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ et il ne s’agira plus que de résoudre cette

équation du degré $p.$ De même, en substituant la valeur de $\mathrm {X} ''$ à la place de celle de $\mathrm {X} ',$ on aura l’équation qui donnera les racines $x'',$ $x^{(n+2)},x^{(2n+2)},\ldots ,$ et ainsi de suite.

29. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l’équation du degré $m=np$ en $n$ équations du degré $p\,;$ mais, si pour cette décomposition on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-p+1)}{1.2.3\ldots p}},$

comme nous l’avons vu dans la Note X, au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré

${\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}},$

qui est toujours moindre que le précédent.

Soit $m=4,\ n=2,\ p=2\,;$ ces degrés seront

${\frac {4.3}{1.2}}=6\quad {\text{et}}\quad {\frac {1.2.3.4}{2(2)^{2}}}=3.$

Soit $m=6,\ n=2,\ p=3\,;$ on aura

${\frac {6.5.4}{1.2.3}}=20,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2(1.2.3)^{2}}}=10,$

et, si l’on fait $n=3,\ p=2,$ on aura

${\frac {6.5}{1.2}}=15,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2.3(1.2)^{3}}}=15,$

et ainsi du reste.

30. Appliquons la théorie précédente aux équations du second, du troisième et du quatrième degré.

Soit d’abord l’équation du second degré

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,$

dont les racines soient $x'$ et $x''.$

On a ici $m=2,$ qu’on peut regarder comme un nombre premier ; prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$\gamma ^{2}-1=0,$

on fera

$t=x'+\alpha x'',$

d’où l’on déduit

$\theta =t^{2}=x'^{2}+x''^{2}+2\alpha x'x'',$

à cause de $\alpha ^{2}=1\,;$ donc $\xi '=2x'x'',$ fonction invariable des racines $x'$ et $x''.$

En effet, on a $\mathrm {B} =x'x'\,;$ et par conséquent $\xi '=2\mathrm {B} .$ Or l’équation

$y^{2}-1=0$

donne $y=1,\ -1\,;$ donc $\alpha =-1$ et (n^o 47) $\theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} .$ Ainsi les expressions des deux racines seront (n^os 16, 17)

${\begin{aligned}x'\ =&\mathrm {\frac {A+{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\\x''=&\mathrm {\frac {A-{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\end{aligned}}$

comme on le sait depuis longtemps.

31. Soit maintenant l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0,$

dont les racines soient $x',x'',x'''.$

On a ici $m=3$ nombre premier ; la fonction $t$ sera donc, en prenant pour $\alpha$ une racine de $y^{3}-1=0,$

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$

et la fonction $\theta =t^{3}$ sera, à cause de $\alpha ^{3}=1,$

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',$

où l’on aura

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+6x'x''x''',\\\xi '\ =&3\left(x'^{2}x''\ +x''^{2}x'''+x'''^{2}x'\right),\\\xi ''=&3\left(x'^{2}x'''+x''^{2}x'\ \ +x'''^{2}x''\right).\end{aligned}}$

Les quantités $\xi ',\xi ''$ seront donc les racines d’une équation du second degré, dont les coefficients dépendront d’une équation du degré $1.2\ldots (m-2),$ c’est-à-dire du premier degré, et qui seront par conséquent des fonctions rationnelles de ceux de l’équation proposée. En effet on voit que, par toutes les permutations possibles entre les trois racines $x',x'',x''',$ les deux fonctions $\xi ',\xi ''$ restent les mêmes ou se changent l’une dans l’autre, de sorte qu’en les supposant racines de l’équation

$\xi ^{2}-\mathrm {M} \xi +\mathrm {N} =0,$

on aura $\mathrm {M} =\xi '+\xi '',\ \mathrm {N} =\xi '\xi '',$ fonctions invariables de $x',x'',x''',$ et par conséquent déterminables par les coefficients $\mathrm {A,B,C}$ de la proposée.

En effet on trouve facilement, par les formules de la Note X (n^o 4),

${\begin{aligned}&\mathrm {M=\xi '+\xi ''=+AB-9C} ,\\&\mathrm {N\ =\xi '\xi ''=9B^{3}+9\left(A^{3}-6AB\right)C+81C^{2}} .\end{aligned}}$

Ainsi l’on n’aura à résoudre que l’équation du second degré

$\mathrm {\xi ^{2}-(3AB-9C)\xi +9B^{3}+9(A^{3}-6AB)C+81C^{2}} =0,$

dont on prendra les deux racines pour les valeurs de $\xi '$ et $\xi ''.$

Faisant ensuite (n^o 17)

${\begin{aligned}\theta '\ =&\mathrm {A} ^{3}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi '',\\\theta ''=&\mathrm {A} ^{3}+(\beta -1)\xi '\,+\left(\beta ^{2}-1\right)\xi '',\end{aligned}}$

et substituant, dans les formules du n^o 16, $3$ au lieu de $m$ et $\mathrm {A}$ au lieu de ${\sqrt[{3}]{\theta ^{0}}}$ (n^o 17), on aura

$\left.{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right\}\quad {\text{ou bien}}\quad \left\{{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\beta {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\alpha {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right.$

à cause de $\beta =\alpha ^{2},$ et par conséquent $\beta ^{2}=\alpha .$

Et les deux quantités $\alpha ,\beta$ seront (n^o 23) les racines de l’équation

$y^{2}+y+1=0,$

laquelle donne

$\alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.$

32. Mais on peut avoir des expressions plus simples par le moyen de l’équation en $\theta$ qui sera ainsi du second degré.

En représentant cette équation par

$\theta ^{2}-\mathrm {T} \theta +\mathrm {U} =0,$

on trouvera les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ par les formules données plus haut (n^o 21).

On aura ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left(3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3}\right)}{2}}-{\frac {3\xi _{2}-\mathrm {A} ^{6}}{2}},\end{aligned}}$

où $\xi _{2},$ est le premier terme dégagé de $\alpha$ dans le développement de $\left(\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''\right)^{3},$ et l’on trouve, à cause de $\alpha ^{3}=1,$

$\xi _{2}=\left(\xi ^{0}\right)^{2}+2\xi '\xi ''.$

Or on a (n^o 17)

$\xi ^{0}=\mathrm {A} ^{3}-\xi '-\xi ''=\mathrm {A^{3}-M} \,;$

donc, puisque $\xi '\xi ''=\mathrm {N} ,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-3M} ,\\&\mathrm {U={\frac {T^{2}}{2}}-{\frac {3\left(A^{3}-M\right)^{2}+6N-A^{6}}{2}}} ,\end{aligned}}$

et, substituant les valeurs de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ trouvées ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-9AB+27C} ,\\&\mathrm {U=A^{6}-9A^{4}B+27A^{2}B^{2}-27B=\left(A^{2}-3B\right)^{3}} .\end{aligned}}$

L’équation en $\theta$ sera donc

$\theta ^{2}-\mathrm {\left(2A^{3}-9AB+27C\right)\theta +\left(A^{2}-3B\right)^{3}} =0,$

dont, les deux racines étant prises pour $\theta '$ et $\theta '',$ et substituées dans les expressions précédentes de $x',x'',x''',\ldots ,$ on aura la résolution la plus simple de l’équation du troisième degré.

33. Venons à l’équation du quatrième degré représentée par la formule

$x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.$

Comme on a ici $4=2.2,$ il est plus simple de suivre la méthode du n^o 25 ; en faisant $n=2,$ on prendra pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{2}=1.$ On fera ainsi

$t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} '',\quad \mathrm {X} '=x'+x''',\quad \mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

De là, on aura

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{et}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

Ainsi l’équation en $\xi$, dont $\xi '$ est racine, ne sera que du degré $n-1$ c’est-à-dire du premier degré, et ses coefficients ne dépendront que d’une équation du degré ${\frac {1.2.3.4}{2(2)^{2}}}=3$ (n^o 27), de sorte qu’on aura en $\xi '$ une équation du troisième degré, telle que

$\xi '^{3}-\mathrm {M\xi '^{2}+N\xi '-P} =0.$

Les racines de cette équation seront les valeurs de

$\xi '=2\mathrm {X'X''} =2\left(x'+x'''\right)\left(x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)$

qui proviendront des permutations entre les trois racines, et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :

${\begin{aligned}&2\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right).\end{aligned}}$

D’après ces racines, on pourra former les coefficients $\mathrm {M,N} ,$ qui se

trouveront exprimés par des fonctions invariables de $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et seront déterminables en $\mathrm {A,B,C,D} .$

34. Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que l’on a, par l’équation proposée,

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=x'x''+x'x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x'''+x''\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x''\ +x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right)+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''\ x''',\end{aligned}}$

d’où il suit que, si l’on fait $\xi '=2\mathrm {B} -2u,$ l’équation en $\xi '$ se transformera en une équation en $u$ dont les racines seront

$x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''.$

Soit

$\mathrm {R} =x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''=\mathrm {B} ,$

et l’on trouvera de la même manière, en employant les formules données dans la Note X, les valeurs suivantes :

$\mathrm {S=AC-4D,\quad T=\left(A^{2}-4B\right)D+C^{2}} .$

Désignons par $u'$ une quelconque des racines de l’équation en $u$

$u^{3}-\mathrm {B} u^{2}+\mathrm {\left(AC-4D\right)} u-\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)} \mathrm {D} -\mathrm {C} ^{2}=0\,;$

on aura $\xi '=2\mathrm {B} -2u',$ et de là, en faisant $\alpha =-1$ et $n=2,$ on aura

$\theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} +4u',$

et enfin

$\mathrm {X} '={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}}.$

35. Maintenant, comme $\mathrm {X} '=x'+x''',$ on peut regarder $x'$ et $x'''$ comme les deux racines de l’équation du second degré (n^o 28)

$x^{2}-\mathrm {X} 'x+\lambda =0,$

et, pour avoir $\lambda ,$ il n’y aura qu’à diviser l’équation proposée du quatrième degré par celle-ci ; le premier terme du reste, égalé à zéro, donnera

$\lambda =\mathrm {\frac {X'^{3}-AX'^{2}+BX'-C}{2X'-A}} .$

Ainsi, en résolvant l’équation du second degré, on aura

$x'={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},\quad x'''={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},$

et, comme $\mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on aura les racines $x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ en changeant dans ces expressions $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ ce qui ne demande que de changer le signe du radical ${\sqrt {\theta '}}.$

Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l’équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.

36. On peut simplifier ces formules en substituant d’abord $\mathrm {\frac {\theta -A^{2}+4B}{4}}$ à la place de $u,$ ce qui donnera cette équation en $\theta$

$\theta ^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)\theta ^{2}+\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)\theta }$

$-\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} =0,$

dont $\theta '$ sera une quelconque des racines à volonté ; mais, en employant les trois racines, on peut avoir tout d’un coup les quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

Car, en faisant $\alpha =-1,$ on a

$t=x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et, par conséquent,

$\theta =t^{2}=\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}.$

Cette expression de $\theta$ n’est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes

$\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)^{2},$

qui seront, par conséquent, les trois racines de l’équation en $\theta .$

Nommons $\theta ',\theta '',\theta '''$ les trois racines de cette équation ; on aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}x'+x'''-x''\ -x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta '}},\\x'+x''\ -x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta ''}},\\x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''\ -x'''=&{\sqrt {\theta '''}},\end{aligned}}$

qui, étant jointes à l’équation

$x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\mathrm {A} ,$

laquelle répond à $\alpha =1,$ serviront à déterminer chacune des quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}$

37. Cette solution, la plus simple de toutes, est due à Euler ; mais elle présente une espèce d’ambiguïté, à cause des radicaux carrés qui peuvent être pris chacun en plus et en moins. En effet on voit que, en changeant le signe d’un quelconque de ces radicaux ou les signes des trois radicaux à la fois, on a un autre système de racines, représenté par les formules

${\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}$

Au contraire, en ne changeant à la fois que les signes de deux des radicaux, on a toujours le même système de racines. Ainsi, pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n’y a qu’à déterminer le signe que doit avoir le produit ${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}.$

Or l’équation en $\theta$ donne

$\theta '\theta ''\theta '''=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ^{2}\,;$

donc, extrayant la racine carrée,

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,$

et, remettant pour ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ leurs valeurs en $x',x'',\ldots ,$

$\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)=$

$\pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} .$

Pour déterminer le signe ambigu, il n’y a qu’à considérer un cas particulier, par exemple, celui où les trois racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ sont nulles. Dans ce cas, on aura $\mathrm {A} =x',\ \mathrm {B=0,\ C=0,\ D=0} ,$ et l’équation précédente deviendra

$x'^{3}=\pm \mathrm {A} ^{3},$

par où l’on voit qu’il faut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,$

d’où l’on doit conclure que, lorsque la quantité

$\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)}$

aura une valeur positive, il faudra employer le premier système des racines, et que, lorsque cette quantité aura une valeur négative, il faudra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ une valeur positive^[2].

38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoique applicable en général, ne conduit plus qu’à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.

Pour le cinquième degré, soit la formule générale

$x^{5}-\mathrm {A} x^{4}+\mathrm {B} x^{3}-\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x-\mathrm {E} =0,$

dont les racines soient $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.$

On aura ici $m=5$ nombre premier, et l’on fera

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$

où $\alpha$ est une des racines de l’équation

$y^{5}-1=0,$

autre que l’unité.

On fera ensuite $\theta =t^{5},$ et l’on parviendra à une équation en $\theta$ du

degré $1.2.3.4,$ mais qui sera décomposable en $2.3$ équations chacune du quatrième degré, de manière que, en représentant chacune de ces équations par la formule

$\theta ^{4}-\mathrm {T} \theta ^{3}+\mathrm {U} \theta ^{2}-\mathrm {X} \theta +\mathrm {Y} =0,$

les coefficients $\mathrm {T,U} ,\ldots$ ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes par toutes les permutations possibles entre les cinq racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ dont ces coefficients sont fonctions, et ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d’une équation du sixième degré ; de sorte qu’en dernière analyse la résolution de l’équation du cinquième degré serait réduite à celle d’une équation du sixième. Il est donc inutile d’entreprendre ce calcul, dont on peut au reste voir le commencement dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (année 1771, p. 130 et suiv.)^[3].

39. Nous n’avons considéré jusqu’ici que des fonctions résolvantes de la forme $x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots \,;$ mais les principes que nous avons

employés pour trouver directement l’équation dont ces fonctions seraient les racines peuvent s’appliquer à toute autre fonction des racines $x',x'',x''',\ldots$ de l’équation proposée. Il ne s’agit que de chercher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par toutes les permutations des racines $x',x'',x''',\ldots$ entre elles, et former une équation qui ait toutes ces différentes formes pour racines. Les coefficients de cette équation, étant des fonctions invariables de ses racines, seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée et pourront, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients de celles-ci, qu’on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.

On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d’une même équation dépendrait aussi d’une équation différente ; cela a lieu, en effet, pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables, mais pour celles que j’appelle semblables, et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elles varient ensemble ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d’une même équation, parce qu’on peut toujours les exprimer par des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles.

J’ai donné dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de l’année 1771 (p. 203 et suiv.)^[4] une méthode générale pour la détermination des fonctions semblables des racines d’une équation quelconque donnée ; je ne la rapporterai point ici, pour ne pas trop allonger cette Note.

40. Mais je ne saurais la terminer sans dire un mot du beau travail que feu Vandermonde a donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris (année 1771) sur la résolution générale des équations. Son Ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en même temps, l’un à l’Académie des Sciences de Paris et l’autre à celle de Berlin. Vandermonde, en partant d’un principe général, est arrivé à des résultats semblables à ceux auxquels m’avait conduit l’examen des différentes méthodes connues jusqu’alors. Comme ce rapprochement est intéressant pour l’analyse, on sera bien aise de les trouver ici.

Le principe dont il s’agit est que l’expression analytique des racines d’une équation doit être une fonction de ces racines, telle qu’elle puisse égaler indifféremment chacune des racines, et qui ne soit qu’une fonctian de leur somme, de la somme de leurs produits deux à deux, de celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, afin que cette fonction puisse en même temps se déterminer par les seuls coefficients de l’équation donnée.

41. En examinant, conformément à ce principe, la résolution connue de l’équation du second degré, Vandermonde observe que la fonction qui donne cette résolution est de la forme

${\frac {a+b+{\sqrt {(a-b)^{2}}}}{2}},$

$a$ et $b$ étant les deux racines de l’équation. En effet, à cause de l’ambiguïté du radical carré, cette expression devient indifféremment $a$ ou $b,$ et, en même temps, les deux quantités $a+b$ et $(a-b)^{2}$ sont exprimables par les coefficients de l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,$

car on a

$a+b=\mathrm {A} ,\quad (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=(a+b)^{2}-4ab=\mathrm {A^{2}-4B} ,$

ce qui donne la résolution connue

$\mathrm {\frac {A\pm {\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} .$

L’auteur applique ensuite le même principe aux équations du troisième degré, et il trouve que la fonction qui donne leur résolution peut se réduire à la forme

${\frac {a+b+c+{\sqrt[{3}]{(a+rb+r''c)^{3}}}+{\sqrt[{3}]{(a+r''b+rc)^{3}}}}{3}},$

où $a,b,c$ sont les trois racines de l’équation, et $r',r''$ les valeurs qui satisfont avec l’unité à l’équation

$r^{3}-1=0.$

En effet, cette expression devient d’abord égale à $a,$ à cause de $1+r'+r''=0\,;$ ensuite, comme chaque radical cube peut être multiplié par $r'$ ou $r'',$ la même expression deviendra $b$ ou $c$ en multipliant les deux radicaux par $r'$ et $r'',$ ou par $r''$ et $r',$ à cause de $r''=r'^{2}$ (n^o 5). De là Vandermonde conclut que, pour un nombre quelconque $m$ de racines, la fonction qui deviendra indifféremment $a,$ ou $b,$ ou $c,$ etc. sera de la forme

${\frac {1}{m}}\left[(a+b+c+\ldots )+{\sqrt[{m}]{(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}}}\right.$

$+\left.{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{2}b+r''^{2}c+\ldots \right)^{m}}}+{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{3}b+r''^{3}c+\ldots \right)^{m}}}+\ldots \right],$

$r',r'',r''',\ldots$ étant avec l’unité les racines de l’équation

$r^{m}-1=0.$

Si l’on compare cette expression à celle de la racine $x'$ du n^o 16, on verra facilement leur accord, en considérant que $\theta$ est en général $=\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots \right)^{m}$ (n^o 15), et que $\theta ',\theta '',\ldots$ sont les valeurs de $\theta$ qui répondent aux racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation

$y^{m}-1=0,$

lesquelles sont désignées par $r',r'',r''',\ldots$ dans l’analyse de Vandermonde, et que, lorsque $m$ est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,$ par $1,\beta ,\beta ^{2},\beta ^{3},\ldots$ (n^o 5).

Pour déterminer les valeurs de $(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}$ en fonctions des coefficients de l’équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l’Auteur emploie un algorithme ingénieux, fondé sur une notation particulière il ne cherche pas a priori, comme nous l’avons fait, le degré de l’équation d’où cette détermination doit dépendre, mais il donne pour les équations du troisième et du quatrième degré leur résolution complète, et pour celles du cinquième et du sixième degré des formules générales qu’il appelle types, et qui font voir que la résolution de l’équation du cinquième degré dépend en dernière analyse d’une équation du sixième et que la résolution de celle-ci dépend de celle d’une équation du quinzième ou du dixième degré, comme nous l’avons trouvé.

42. Vandermonde a aussi remarqué les simplifications dont la formule générale des racines est susceptible dans les degrés dont l’exposant est un nombre composé ; par exemple, il trouve que, pour les équations du quatrième degré, les racines $a,b,c,d$ peuvent être représentées par la fonction

${\frac {1}{4}}\left[a+b+c+d+{\sqrt {(a+b-c-d)^{2}}}+{\sqrt {(a+c-b-d)^{2}}}+{\sqrt {(a+d-b-c)^{2}}}\right],$

en prenant les radicaux carrés en plus et en moins, et il en déduit la résolution donnée plus haut (n^o 36).

Comme la méthode de Vandermonde découle d’un principe fondé sur la nature des équations, et qu’à cet égard elle est plus directe que celle que nous avons exposée dans cette Note, on peut regarder les résultats communs de ces méthodes sur la résolution générale des équations qui passent le quatrième degré comme des conséquences nécessaires de la théorie générale des équations.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.
2. La règle donnée dans cet article, pour savoir lequel des deux systèmes d’équations on doit choisir dans chaque cas, n’est pas assez, générale.

   M. Bret, professeur de Mathématiques au Lycée de Grenoble, a trouvé un exemple où elle est en défaut.

   Soit l’équation

   $x^{4}+2x^{2}-8x+5=0\,;$

   la transformée en $\theta$ est

   $\theta ^{3}+16\theta ^{2}-256\theta -(64)^{2}=0,$

   dont les racines sont $-16,\ -16,\ 16,$ ce qui donne

   ${\sqrt {\theta '}}=4,\quad {\sqrt {\theta ''}}=4{\sqrt {-1}},\quad {\sqrt {\theta '''}}=4{\sqrt {-1}}.$

   La fonction $\mathrm {A^{3}-4AB+8C}$ est $>0,$ parce que $\mathrm {A} =0,\ \mathrm {C} =8\,;$ ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d’abord

   $x'=1+2{\sqrt {-1}},$

   qui ne satisfait pas. En effet,

   $\left(1+2{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-3+4{\sqrt {-1}},\quad \left(-3+4{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-7-24{\sqrt {-1}}\,;$

   ainsi l’équation serait

   $-7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}-8-16{\sqrt {-1}}+5=-16-32{\sqrt {-1}},$

   ce qui n’est pas zéro.

   Le deuxième système donnerait

   $x'=-1-2{\sqrt {-1}}\,;$

   donc

   $-7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}+8+16{\sqrt {-1}}+5=0.$

   Mais je remarque que l’analyse donne simplement la condition

   ${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {A^{3}-4AB+8C} \,;$

   d’où il suit que le produit des trois radicaux ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ doit être égal et par conséquent

   de même signe que la quantité $\mathrm {A^{3}-4AB+8C} .$ Donc, si en prenant les trois radicaux positivement leur produit est de même signe que cette quantité, ce sera le premier système qui aura lieu ; mais, s’il est de signe contraire, alors il faudra donner le signe à l’un des trois radicaux, ce qui donnera le second système.

   Dans l’exemple dont il s’agit, on a

   ${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=4.4{\sqrt {-1}}.4{\sqrt {-1}}=-64,$

   tandis que

   $\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =64.$

   Ainsi c’est le second système qui a lieu.

   La méprise vient de ce qu’on a supposé que le produit des trois radicaux, pris positivement, serait toujours positif.

   Au reste, on peut ôter toute ambiguïté en prenant dans le premier système

   ${\sqrt {\theta '''}}={\frac {\mathrm {A^{3}-4AB+8C} }{{\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}}}.$

   Dans l’exemple proposé, pour lequel

   $\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =64,$

   ayant fait ${\sqrt {\theta '}}=4,\ {\sqrt {\theta ''}}=4{\sqrt {-1}},$ on aura ${\sqrt {\theta '''}}=-4{\sqrt {-1}}\,;$ alors le premier système donnera

   $x'=1,\quad x''=-1+2{\sqrt {-1}},\quad x'''=1,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1-2{\sqrt {-1}},$

   véritables racines.

3. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.
4. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.