Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 14

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 328-367).

NOTE XIV.

OÙ L’ON DONNE LA RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS À DEUX TERMES.

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1. Quoique les équations à deux termes telles que

$x^{\mu }-\mathrm {A} =0,\quad {\text{ou plus simplement}}\quad x^{\mu }-1=0$

(puisque cette forme-là peut se réduire à celle-ci, en y mettant $x{\sqrt[{\mu }]{\mathrm {A} }}$ pour $x$), soient toujours résolubles par les Tables des sinus d’une manière aussi approchée qu’on puisse le désirer, en employant la formule connue

$x=\cos {\frac {\nu }{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {\nu }{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}$

et faisant successivement $\nu =1,2,3,\ldots ,\mu ,$ leur résolution algébrique n’en est pas moins intéressante pour l’Analyse et les géomètres s’en sont beaucoup occupés. Ils ont d’abord réduit la difficulté à résoudre les équations dont le degré a pour exposant un nombre premier, comme nous l’avons vu au commencement de la Note précédente. Ils ont trouvé de plus que, comme l’équation

$x^{\mu }-1=0$

a nécessairement $1$ pour l’une de ses racines, en la divisant par $x-1,$ on a pour les autres l’équation du degré $\mu -1$

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,$

laquelle, étant du genre des équations qu’on appelle réciproques, parce qu’elles demeurent les mêmes en y changeant $x$ en ${\frac {1}{x}},$ est décomposable en ${\frac {\mu -1}{2}}$ équations du second degré, telles que

$x^{2}-yx+1=0,$

dans lesquelles $y$ dépend d’une équation du degré ${\frac {\nu -1}{2}}$ de la forme

$y^{\nu }+y^{\nu -1}-(\nu -1)y^{\nu -2}-(\nu -2)y^{\nu -3}+{\frac {(\nu -2)(\nu -3)}{2}}y^{\nu -4}$

$+{\frac {(\nu -3)(\nu -4)}{2}}y^{\nu -5}-\ldots =0,$

où $\nu ={\frac {\mu -1}{2}},$ comme nous l’avons vu dans la Note X (n^o 14).

De cette manière on avait pu résoudre l’équation

$x^{7}-1=0,$

parce qu’elle se réduit à une équation du troisième degré ; mais on était arrêté à l’équation

$x^{11}-1=0,$

qui ne se réduit par ce moyen qu’à une du cinquième.

2. On en était là lorsque M. Gauss donna, en 1801, dans son excellent Ouvrage intitulé Disquisitiones arithmeticæ^[1], une méthode aussi originale qu’ingénieuse pour réduire la résolution de l’équation

$x^{\mu }-1=0,$

lorsque $\mu$ est un nombre premier, à la résolution d’autant d’équations particulières que le nombre $\mu -1$ contient de facteurs premiers, et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l’équation

$x^{13}-1=0$

ne demande que la résolution de deux équations du second et d’une du troisième, parce que $13-1=2.2.3.$ L’équation

$x^{17}-1=0$

ne demande que la résolution de quatre équations du second degré, et ainsi de suite.

Mais, en appliquant les principes de la théorie de M. Gauss à la méthode exposée dans la Note précédente, j’ai reconnu qu’on pouvait obtenir directement la résolution complète de toute équation à deux termes dont le degré est exprimé par un, nombre premier, sans passer par aucune équation intermédiaire ni avoir à craindre l’inconvénient qui naît de l’ambiguïté des racines. C’est ce que je vais développer dans cette Note.

3. Soit l’équation à résoudre

$x^{\mu }-1=0,$

$\mu$ étant un nombre premier ; si l’on en sépare la racine $=1,$ elle s’abaisse à celle-ci du degré $\mu -1$

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0.$

Soit $r$ une racine quelconque de cette équation ; on pourra représenter ses $\mu -1$ racines par les termes de la série géométrique

$r,r^{2},r^{3},r^{4},\ldots ,r^{\mu -1},$

comme nous l’ayons démontré dans la Note précédente (n^o 5).

M. Gauss a eu l’idée ingénieuse et heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposants de $r$ une progression géométrique, en vertu du fameux théorème de Fermat sur les nombres premiers.

Par ce théorème, démontré d’abord par Euler et ensuite par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres, on sait que, si $\mu$ est un nombre premier et $a$ un nombre moindre que $\mu ,$ le nombre $a^{\mu -1}-1$ sera nécessairement divisible par $\mu ,$ de sorte que le reste de la division de $a^{\mu -1}$ par $\mu$ sera l’unité.

Euler a démontré de plus que, si en divisant tous les termes de la progression $a,a^{2},a^{3},\ldots ,a^{\mu -1}$ par $\mu$ il se trouve d’autres puissances de $a$ qui donnent aussi l’unité pour reste, les exposants de ces puissances seront nécessairement des diviseurs de $\mu -1,$ de sorte que, pour savoir si parmi les puissances de $a$ moindres que $a^{\mu -1}$ il y en a aussi qui étant divisées par $\mu$ donnent le reste $1,$ il suffira d’essayer celles dont l’exposant sera un diviseur de $\mu -1.$

4. On nomme racines primitives les nombres $a$ dont aucune puissance moindre que $a^{\mu -1}$ ne donne le reste $1$ par la division par $\mu ,$ et ces racines ont la propriété que tous les termes de la progression $a,a^{2},a^{3},\ldots ,a^{\mu -1},$ étant divisés par $\mu ,$ donnent des restes différents et donnent par conséquent tous les nombres moindres que $\mu$ pour restes, puisque ces restes sont au nombre de $\mu -1.$ Car, si deux puissances $a^{n},\ a^{p},$ donnaient le même reste, $n$ et $p$ étant $<\mu$ et $p<n,$ leur différence $a^{n}-a^{p}=a^{p}\left(a^{n-p}-1\right)$ serait nécessairement divisible par $\mu \,;$ mais, $a$ n’étant pas divisible et $\mu$ étant premier, il faudrait que $a^{n-p}-1$ le fût ; donc il y aurait une puissance $a^{n-p}$ moindre que $a^{\mu -1}$ qui donnerait l’unité pour reste ; par conséquent, $a$ ne serait pas racine primitive, contre l’hypothèse.

On n’a pas, jusqu’à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier ; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Euler en a donné, dans les Commentaires de Pétersbourg (T. XVIII), une Table pour tous les nombres premiers jusqu’à $37,$ que nous placerons ici :

${\begin{array}{r|rrrrrrrrrrrr}\mu &&&&&&a\\3&2,\\5&2,&8,\\7&3,&5,\\11&2,&6,&7,&8,\\13&2,&6,&7,&11,\\17&3,&5,&6,&7,&10,&11,&12,&14,\\19&2,&3,&10,&13,&14,&15,\\23&5,&9,&10,&11,&13,&14,&15,&17,&20,&21,\\29&2,&3,&8,&10,&11,&14,&15,&18,&19,&21,&26,&27,\\31&3,&11,&12,&18,&19,&21,&22,&24,\\37&2,&5,&13,&15,&17,&18,&19,&20,&22,&24,&32,&35,\end{array}}$

où l’on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier $\mu$ donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que $\mu$ et premiers à $\mu -1.$ On peut voir sur ce sujet la Section III des Disquisitiones arithmeticæ.

Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux pour le calcul d’en connaître la plus petite.

5. Soit donc $a$ une racine primitive pour le nombre premier $\mu ,$ de manière que les $\mu -1$ termes de la progression géométrique $a,a^{2},$ $a^{3},\ldots ,a^{\mu -1},$ étant divisés par $\mu ,$ donnent pour restes tous les nombres moindres que $\mu ,$ dont l’unité sera le dernier ; il est facile de voir que les $\mu -1$ racines $r,r^{2},r^{3},\ldots ,r^{\mu -1}$ (n^o 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l’ordre, être représentées par la série

$r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}},$

car, comme on a par l’équation $x^{\mu }-1=0,$ dont $r$ est supposé racine, $r^{\mu }=1,$ il est visible qu’à la place de chaque puissance de $r,$ comme $r^{\lambda },$ lorsque $\lambda >\mu ,$ on pourra toujours prendre la puissance $r^{\nu },$ où $\nu$ sera le reste de la division de $\lambda$ par $\mu .$ Ainsi, dans la série précédente, on pourra toujours réduire les exposants de $r$ à leurs restes après la division par $\mu ,$ restes que nous avons vus comprendre tous les nombres $1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\mu -1,$ mais dans un ordre différent de l’ordre naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines $r,r^{2},r^{3},\ldots .$

L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que, si dans la série des racines

$r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}}$

on met $r^{a}$ à la place de $r,$ elle devient

$r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},\ldots ,r,$

et, si l’on y met $r^{a^{2}}$ à la place de $r,$ elle devient

$r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},r^{a^{6}},\ldots ,r,r^{a},$

et ainsi de suite.

En effet il est visible que, par la substitution de $r^{a}$ à la place de $r,$ $r^{a}$ devient $(r^{a})^{a}=r^{a^{2}},$ $r^{a^{2}}$ devient $r^{a^{3}},$ etc., et le dernier terme devient $\left(r^{a}\right)^{a^{\mu -2}}=$ $r^{a^{\mu -1}}=r,$ à cause que le reste de $a^{\mu -1}$ après la division par $\mu$ est l’unité.

De même, par la substitution de $r^{a^{2}}$ au lieu de $r,$ $r^{a^{2}}$ devient $\left(r^{a^{2}}\right)^{a}=r^{a^{3}},$ $r^{a^{2}}$ devient $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{2}}=r^{a^{4}},$ etc. l’avant-dernier terme $r^{a^{\mu }-3}$ deviendra $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{\mu -3}}=r^{a^{\mu -1}}=r,$ le dernier deviendra $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{\mu -2}}=$ $r^{a^{\mu }}=r^{a},$ à cause que le reste de la division de $a^{\mu }$ par $\mu$ est $a,$ puisque $a^{\mu }=a.a^{\mu -1},$ et que le reste de la division de $a^{\mu -1}$ est $1.$

6. Cela posé, si pour résoudre l’équation du degré $\mu -1$ (n^o 5)

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,$

dont les racines sont (n^o 5)

$r,\ \ r^{a},\ \ r^{a^{2}},\ \ r^{a^{3}},\ \ \ldots ,\ \ r^{a^{\mu -2}},$

$r^{\mu }$ étant $=1,$ en vertu de l’équation $x^{\mu }-1=0,$ on emploie la méthode de la Note précédente, et qu’en prenant ces racines pour $x',x'',x''',\ldots$ on fasse (n^o 14, Note précédente)

$t=r+\alpha r^{a}+\alpha ^{2}r^{a^{2}}+\alpha ^{3}r^{a^{3}}+\ldots +\alpha ^{\mu -2}r^{a^{\mu -2}},$

où $\alpha$ est une des racines de l’équation $y^{\mu -1}-1=0\,;$ qu’ensuite on développe la puissance $(\mu -1)$^ième de $t,$ en faisant attention de rabaisser les puissances de $\alpha$ et de $r$ au-dessous de $a^{\mu -1}$ et de $r^{\mu },$ par les conditions $a^{\mu -1}=1$ et $r^{\mu }=1,$ de manière qu’on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de $\alpha$

$\theta =t^{\mu -1}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -2}\xi ^{(\mu -2)},$

les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions rationnelles et entières de $r,$ telles qu’elles ne changeront pas par la substitution de $r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},\ldots$ à la place de $r,$ puisque nous avons vu (n^o 16, Note précédente) que ces quantités, regardées comme des fonctions de $x',x'',x''',\ldots ,$ sont invariables par les permutations simultanées de $x'$ en $x'',$ $x''$ en

$x''',$ etc., ainsi que par les permutations simultanées de $x'$ en $x'''$ $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., auxquelles répondent les changements de $r$ en $r^{a},$ en $r^{a^{2}},$ etc. (n^o 5).

7. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de $r$ dans laquelle $r^{\mu }=1$ peut toujours se réduire à la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {D} r^{3}+\ldots +\mathrm {N} r^{\mu -1},$

les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des quantités données, indépendantes de $r.$ On peut même prouver que toute fonction rationnelle de $r$ est réductible à cette forme, car, si elle a un dénominateur, on pourra toujours le faire disparaître en multipliant le haut et le bas de la fraction par un polynôme convenable en $r,$ comme nous l’avons vu dans la Note IV (n^o 3).

Or, puisque dans notre cas les puissances $r,r^{2},r^{3},\ldots ,r^{\mu -1}$ peuvent être représentées, quoique dans un autre ordre, par les puissances $r,r^{a},r^{a^{2}},$ $r^{a^{3}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}},$ on pourra également réduire toute fonction rationnelle de $r$ à la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{\alpha ^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -2}},$

en prenant pour $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ des coefficients quelconques indépendants de $r$.

Donc, si cette fonction est telle qu’elle doive demeurer la même en y mettant $r^{a}$ à la place de $r,$ il faudra que la nouvelle forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{a}+\mathrm {C} r^{a^{2}}+\mathrm {D} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r$

(la puissance $r^{a^{\mu -2}}$ devenant $r^{a^{\mu -1}}$ se change en $r,$ puisque $r^{\mu }=1$ et $a^{\mu -1}$ divisé par $\mu$ donne le reste $1$) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions

$\mathrm {B=C,\quad C=D,\quad D=E,\quad \ldots ,\quad N=B} ,$

et réduit la forme de la fonction à celle-ci

$\mathrm {A+B} \left(r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}}\right).$

8. Donc, si l’on dénote par $s$ la somme des racines $r,r^{2},r^{3},\ldots ,r^{\mu -2},$ on aura également

$s=r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}},$

et les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ de la fonction $\theta$ seront toutes de la forme $\mathrm {A+B} s.$

Les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ se détermineront par le développement actuel de la fonction $\theta =t^{\mu -1},$ et la quantité $s$ est connue par la nature de l’équation à résoudre (n^o 6)

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+\ldots +1=0,$

laquelle donne sur-le-champ $s=-1.$ Ainsi, on a le cas, où les valeurs des quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ sont connues immédiatement, sans dépendre d’aucune équation, de sorte qu’en désignant par $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les $(\mu -1)$ racines de l’équation

$y^{\mu -1}-1=0,$

et par $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ les valeurs de $\theta$ qui répondent aux substitutions de ces racines à la place de $\alpha ,$ on aura sur-le-champ, par les formules de la Note précédente (n^o 16), en substituant $r$ pour $x$ et $\mu -1$ pour $m,$

$r={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{(\mu -1)}}}}{\mu -1}}.$

Telle est l’expression d’une des racines de l’équation

$x^{\mu }-1=0\,;$

on aura toutes les autres par les puissances $r^{2},r^{3},\ldots ,r^{\mu -1},$ mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en prenant $r^{a}$ pour $x'',$ $r^{a^{2}}$ pour $x'''$ etc.

On aura, de cette manière,

${\begin{aligned}&r^{a}\ ={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&r^{a^{2}}={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

9. On pourra aussi, si l’on veut, se dispenser de calculer ces quantités $\xi ^{0}$ et $\theta ^{0},$ car, par ce que nous avons dans l’article 17 de la Note précédente, le terme ${\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}$ au (en faisant ici $m=\mu -1$) est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en général par $s,$ et l’expression de $\theta$ peut se mettre sous la forme

$\theta =s^{\mu -1}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,$

qui ne renferme pas $\xi ^{0},$ et il n’y a plus qu’à substituer $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ au lieu de $\alpha$ pour avoir les valeurs de $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots .$

De cette manière, la résolution de l’équation

$x^{\mu }-1=0$

ne dépendra que de la résolution de l’équation

$y^{\mu -1}-1=0,$

dont $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines. Or celle-ci est d’un degré moindre que la proposée mais de plus, comme $\mu -1$ est nécessairement un nombre composé, on aura les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ par celles d’autant d’équations $y^{\varpi }-1=0$ qu’il y aura de facteurs premiers $\varpi$ dans le nombre $\mu -1,$ comme on l’a vu dans la Note précédente (n^o 12).

10. Soit, par exemple, l’équation

$x^{5}-1=0$

dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.

En ôtant par la division la racine $1,$ on a l’équation du quatrième degré

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

dont les racines seront $r,r^{2},r^{3},r^{4}.$

Puisqu’on a ici $\mu =5,$ on trouve par la Table donnée ci-dessus (n^o 4) que la plus petite racine primitive est $2,$ de sorte qu’on a $a=2,$ et que les racines dont il s’agit peuvent être représentées par les puissances $r,r^{2},r^{2^{2}},r^{2^{3}},$ lesquelles se rabaissent, à cause de $r^{5}=1,$ à celles-ci $r,r^{2},r^{4},r^{3},$ en prenant, au lieu de l’exposant $2^{3}=8,$ le reste de la division par $5.$

On fera donc

$t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{3},$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{4}-1=0,$

de manière que l’on ait $\alpha ^{4}=1.$

Maintenant, pour trouver la fonction $\theta ,$ il n’y a qu’à élever à la quatrième puissance le polynôme $t$ ét le développer suivant les puissances de $\alpha ,$ en rabaissant celles-ci au-dessous de $\alpha ^{4},$ et celles de $r$ au-dessous de $r^{5},$ par les conditions $\alpha ^{4}=1$ et $r^{5}=1.$ On trouve, par un calcul qui n’a aucune difficulté,

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi ''',$

où les quantités $\xi ^{0},\xi ',\ldots$ ont les valeurs suivantes, dans lesquelles je mets $s$ pour la somme des racines $r,r^{2},r^{4},r^{3}\,:$

$\xi ^{0}=12+13s,\quad \xi '=16+12s,\quad \xi ''=24+10s,\quad \xi '''=16s.$

Ainsi, comme $s=-1$ par la nature de l’équation en $x,$ on aura

$\xi ^{0}=-1,\quad \xi '=4,\quad \xi ''=14,\quad \xi '''=-16,$

et la fonction $\theta$ deviendra

$\theta =-1+4\alpha +14\alpha ^{2}-16\alpha ^{3}.$

Or l’équation

$y^{4}-1=0,$

se décomposant en ces deux-ci

$y^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad y^{2}+1=0,$

donne tout de suite les quatre racines $1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}},$ qu’il

faudra substituer successivement pour $\alpha ,$ pour avoir les valeurs de $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\theta '''.$

On aura ainsi

$\theta '=25,\quad \theta ''=-15+20{\sqrt {-1}},\quad \theta '''=-15-20{\sqrt {-1}}.$

Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de $r$ du n^o 8 et mettant $s=-1$ au lieu de ${\sqrt[{4}]{\theta ^{0}}}$ (n^o 9), on aura sur-le-champ

$r={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{-15+20{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{-15-20{\sqrt {-1}}}}\right).$

11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine $r$ en faisant usage de la méthode du n^o 25 de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l’exposant $\mu -1$ est nécessairement un nombre composé.

Supposant donc en général

$\mu -1=\nu \varpi ,$

et prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

la fonction $t$ du n^o 6 deviendra de la forme

$t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}X^{\nu }} ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&r\ \ \ \,+r^{a^{\nu }}\ \ \ +r^{a^{2\nu }}\ \ \ +r^{a^{3\nu }}\ \ \ +\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&r^{a}\ \,+r^{a^{\nu +1}}+r^{a^{2\nu +1}}+r^{a^{3\nu +1}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}},\\\mathrm {X} '''=&r^{a^{2}}+r^{a^{\nu +2}}+r^{a^{2\nu +2}}+r^{a^{3\nu +2}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +2}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(\nu )}=&r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu -1}}+r^{a^{3\nu -1}}+r^{a^{4\nu -1}}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu -1}}.\end{aligned}}$

On formera ensuite la fonction $\theta =t^{\nu },$ laquelle, à cause de $\alpha ^{\nu }=1,$ sera de la forme

$\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}\xi ^{(\nu -1)},$

et aura la propriété que les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ telles, qu’elles demeureront invariables en échangeant à la fois $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ''',$ $\mathrm {X} '''$ en $\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., et $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ en $\mathrm {X} '.$

Or on voit, par les expressions précédentes de $\mathrm {X',X''} ,\ldots ,$ qu’en y substituant $r^{a}$ à la place de $r,$ $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} '''$ etc., et $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ devient $\mathrm {X} ',$ car $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ se change en

$r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu }}+r^{a^{3\nu }}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu }}\,;$

mais $\varpi \nu =\mu -1$ et $r^{a^{\mu -1}}=r,$ comme on l’a vu ci-dessus (n^o 5).

Donc les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ devront être des fonctions de $r$ telles qu’elles demeurent invariables par le changement de $r$ en $r^{a}\,;$ par conséquent, par le n^o 7, elles ne pourront être que de la forme $\mathrm {A+B} s,$ $\mathrm {A,B}$ étant des coefficients qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités, et $s$ dénotant la somme des racines $r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}},$ laquelle est $=-1$ par l’équation proposée de sorte que les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront toutes données, comme dans le cas précédent (n^o 10), et l’on aura sur-le-champ par les formules du n^o 25 de la Note précédente, en y mettant $\nu$ à la place de $n,$ et $s,$ somme des racines, à la place du terme ${\sqrt[{\nu }]{\theta ^{0}}},$

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&{\frac {s+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&{\frac {s+\alpha ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} '''=&{\frac {s+\alpha ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Dans ces expressions $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont, avec l’unité, les racines de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

et $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont les valeurs de $\theta$ qui répondent à la substitution de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ au lieu de $\alpha .$

On n’aura pas besoin de calculer la valeur de $\xi ^{0}$ en employant l’expression de $\theta$ du n^o 9, laquelle devient ici

$\theta =s^{\nu }+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots .$

12. Le cas de $\nu ={\frac {\mu -1}{2}}$ mérite une attention particulière, parce qu’il donne la division de la circonférence en $\mu$ parties.

Soit donc $\nu ={\frac {\mu -1}{2}}$ et par conséquent $\varpi =2\,;$ on aura $\mathrm {X} '=r+r^{a^{\frac {\mu -1}{2}}}.$ Or, puisque $a^{\mu -1}-1$ est divisible par $\mu$ et que $a$ est supposé une racine primitive, $a^{\frac {\mu -1}{2}}-1$ ne sera pas divisible par $\mu \,;$ mais

$a^{\mu -1}-1=\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}+1\right)\,;$

donc, $\mu$ étant un nombre premier, $a^{\frac {\mu -1}{2}}+1$ sera divisible par $\mu \,;$ par conséquent, $-1$ sera le reste de la division de $a^{\frac {\mu -1}{2}}$ par $\mu \,;$ donc $r^{a^{\frac {\mu -1}{2}}}$ sera égal à ${\frac {1}{r}}.$

Ainsi on aura

$\mathrm {X} '=r+{\frac {1}{r}},\quad \mathrm {X} ''=r^{a}+{\frac {1}{r^{a}}},\quad \mathrm {X} '''=r^{a^{2}}+{\frac {1}{r^{a^{2}}}},\quad \ldots .$

Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes (n^o 1},

$r=\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }}+\sin {\frac {360^{\circ }}{\mu }}{\sqrt {-1}},$

et, en général,

$r^{m}=\cos {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}.$

Donc

$\mathrm {X} '=2\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }},\quad \mathrm {X} ''=2\cos {\frac {a}{\mu }}360^{\circ },\quad \mathrm {X} '''=2\cos {\frac {a^{2}}{\mu }}360^{\circ },\quad \ldots .$

Ainsi les valeurs de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ sont toutes réelles dans ce cas et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en $\mu$ parties.

13. Ayant trouvé, par les formules générales du n^o 11, les racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots ,$ il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racine $\nu$. On regardera donc les $\varpi$ racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '$ comme les racines d’une équation du degré $\varpi ,$ et on les substituera pour $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\varpi )}$ dans l’expression générale de la fonction $t\,;$ on aura ainsi

$t_{1}=r+\alpha r^{a^{\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu }}+\alpha ^{3}r^{a^{3\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}r^{a^{(\varpi -1})\nu },$

où il faudra prendre pour $\alpha$ une racine de l’équation $y^{\varpi }-1=0.$

De là on aura, à cause de $\alpha ^{\varpi }=1,$

$\theta _{1}=t_{1}^{\varpi }=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1}+\alpha ^{2}\xi ''_{1}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}\xi _{1}^{(\varpi -1)}.$

(J’écris ici $t_{1},\theta _{1},\xi _{1}$ pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par $t,\theta ,\xi .$) Comme les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ sont en général des fonctions de $x',x'',x''',\ldots$ qui ne varient pas par les permutations de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',$ etc., $x^{(\varpi )}$ en $x'$ (n^o 16, Note précédente), elles seront ici des fonctions de $r$ qui ne varieront pas en y changeant $r$ en $r^{a^{\nu }},$ puisque par ce changement les racines $r,r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},\ldots ,r^{a^{(\varpi -1)\nu }}$ deviennent respectivement $r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},r^{a^{3\nu }},\ldots ,r.$

Or il n’est pas difficile de prouver, par un procédé semblable à celui du n^o 8, que toute fonction rationnelle de $r$ qui aura la propriété d’être invariable par le changement de $r$ en $r^{a^{\nu }}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A+BX'+CX''+DX'''+\ldots +HX^{(\nu )}} ,$

en conservant les expressions de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ du n^o 11.

Car d’abord toute fonction rationnelle de $r$ peut se réduire à la forme (n^o 7)

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -1}}\,;$

et, pour que cette fonction demeure la même en y changeant $r$ en $r^{a^{\nu }},$ il faut que les coefficients des termes qui renferment $r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},r^{a^{3\nu }},\ldots$ soient les mêmes que celui de $r,$ que les coefficients des termes qui renferment $r^{a^{\nu +1}},r^{a^{2\nu +1}},r^{a^{3\nu +1}},\ldots$ soient les mêmes que celui de $r^{a},$ que

ceux des termes $r^{a^{\nu +2}},r^{a^{2\nu +2}},r^{a^{3\nu +2}},\ldots$ soient les mêmes que celui de $r^{a^{2}},$ et ainsi de suite ; ce qui réduit la fonction à la forme que nous venons de lui assigner. En effet, on voit que chacune des quantités $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,X^{(\nu )}}$ demeure la même en y substituant $r^{a^{\nu }}$ à la place de $r,$ car le dernier terme $r^{a^{(\varpi -1)\nu }}$ de $\mathrm {X} '$ devient $r^{a^{\varpi \nu }}=r^{a^{\mu -1}}=r,$ le dernier $r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}}$ de $\mathrm {X} ''$ devient $r^{a^{\varpi \nu +1}}=r^{a},$ et ainsi des autres.

14. Donc chacune des quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ deviendra, après le développement, de la forme

$\mathrm {A+BX'+CX''+DX'''+\ldots }$

et aura par conséquent une valeur connue. Ainsi la fonction $\theta$ sera connue, et l’on aura les valeurs de $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ en y substituant, au lieu de $\alpha$, les $\varpi -1$ racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ qui, avec l’unité, résolvent l’équation

$y^{\varpi }-1=0.$

On aura ensuite pour $r$ une formule semblable à celle du n^o 8, en y mettant $\varpi$ à la place de $\mu -1,$ et $\mathrm {X} ',$ somme des racines, au lieu du terme ${\sqrt[{\varpi }]{\theta ^{0}}}.$ On aura ainsi

$r={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt[{\varpi }]{\theta '}}+{\sqrt[{\varpi }]{\theta ''}}+{\sqrt[{\varpi }]{\theta '''}}+\ldots }{\varpi }}.$

15. On aurait aussi, si on le désirait, les expressions des autres racines $r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},r^{a^{3\nu }},\ldots$ qui composent la fonction $\mathrm {X} '$ (n^o 11), en multipliant dans l’expression de $r$ les radicaux ${\sqrt[{\varpi }]{\theta '}},{\sqrt[{\varpi }]{\theta ''}},\ldots ,$ d’abord par $\alpha ^{\varpi -1},\beta ^{\varpi -1},\ldots ,$ ensuite par $\alpha ^{\varpi -2},\beta ^{\varpi -2},\ldots ,$ par $\alpha ^{\varpi -3},\beta ^{\varpi -3},\ldots .$

On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, avoir également les racines $r^{a},r^{a^{\nu +1}},\ldots$ qui composent la fonction $\mathrm {X} '',$ par la seule considération que $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} ''',$ etc., en y changeant $r$ en $r^{a}\,;$ de sorte qu’il suffira de changer, dans l’expression générale de $\theta ,$ $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ''',$ etc., $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ en $\mathrm {X} '.$

Par la même raison, comme $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} ''',$ $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., par la substitution de $r^{a^{2}}$ à la place de $r,$ on pourra déduire des expressions des racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '$ celles des racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '''$ en changeant simplement, dans l’expression générale de $\theta$, $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} ''',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., $\mathrm {X} ^{(\nu -1)}$ en $\mathrm {X} ',$ $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ en $\mathrm {X} '',$ et ainsi de suite.

16. Si le nombre $\varpi$ n’est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l’opération précédente en d’autres plus simples.

Ainsi, si $\varpi =\nu '\varpi ',$ on pourra ne prendre pour $\alpha$ qu’une racine de l’équation

$y^{\nu '}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{\nu '}=1,$ et la fonction $t_{1}$ (n^o 11) deviendra

$t_{1}=\mathrm {X_{1}'+\alpha X_{1}''+\alpha ^{2}X_{1}'''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}X_{1}^{(\nu ')}} ,$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&r\qquad \ \ +r^{a^{\nu '\nu }}\quad \ \ +r^{a^{2\nu '\nu }}\quad +\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu ')\nu }},\\\mathrm {X} ''_{1}\ =&r^{a^{\nu '}}\quad \ \ +r^{a^{(\nu '+1)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+1)\nu }},\\\mathrm {X} '''_{1}=&r^{a^{2\nu '}}\quad \ +r^{a^{(\nu '+2)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+2)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+2)\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}=&r^{a^{(\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(2\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(3\nu '-1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }}.\end{aligned}}$

On fera ensuite $\theta _{1}=t_{1}^{\nu '},$ et l’expression de $\theta _{1}$ étant développée sous la forme

$\theta _{1}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi _{1}'+\alpha ^{2}\xi _{1}''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}\xi _{1}^{(\nu ')},$

à cause de $a^{\nu '}=1,$ les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions de $\mathrm {X_{1},X_{1}'',X_{1}'''} ,\ldots$ qui ne changeront pas par le changement simultané de $\mathrm {X} _{1}'$ en $\mathrm {X} _{1}'',$ de $\mathrm {X} ''_{1}$ en $\mathrm {X} _{1}''',$ $\mathrm {X} '''_{1},$ en $\mathrm {X} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., $\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}$ en $\mathrm {X} '_{1}$ (Note précédente, n^o 25). Or on voit, par les expressions précédentes de $\mathrm {X_{1}',X_{1}''} ,\ldots ,$ que ces changements ont lieu en changeant simplement $r$ en $r^{a^{\nu }}.$ Donc les quantités $\xi _{1}^{0},\xi '_{1},\xi ''_{1},\ldots$ regardées comme des fonctions de $r,$ devront être invariables par le changement de $r$ en $r^{a^{\nu }}\,;$ par conséquent, elles seront nécessairement de la forme

$\mathrm {A+BX'+CX''+DX'''} +\ldots ,$

par ce qu’on a démontré ci-dessus (n^o 13).

Donc, puisque les valeurs de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots ,$ sont déjà connues par l’opération précédente, celles de $\xi _{1}^{0},\xi '_{1},\xi ''_{1},\ldots$ seront connues aussi. Ainsi la fonction $\theta _{1}$ sera connue aussi, et de là on aura les valeurs des $\nu '$ racines $\mathrm {X'_{1},X''_{1},X'''_{1}} ,\ldots$ par des formules semblables à celles du n^o  11, en y changeant $\nu$ en $\nu ',$ $\mathrm {X}$ en $\mathrm {X} _{1},$ $\theta$ en $\theta _{1},$ et prenant pour $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

excepté l’unité.

On remarquera aussi que $s$ étant la somme des racines $\mathrm {X_{1}'+X_{1}''+X_{1}'''} +\ldots$ sera ici égal à $\mathrm {X} '.$

17. La valeur connue de $\mathrm {X} '_{1}$ ne donne que la somme des $\varpi '$ racines $r,r^{a^{\nu '\nu }},r^{a^{2\nu '\nu }},\ldots ,r^{a^{(\varpi '-1)\nu '\nu }}\,;$ il faudra, pour avoir la valeur de $r,$ regarder encore ces $\varpi '$ racines comme données par une équation du degré $\varpi ',$ et faire de nouveau

$t_{2}=r+\alpha r^{a^{\nu '\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu '\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}r^{a^{(\varpi '-1})\nu '\nu },$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\varpi '}-1=0\,;$

on fera ensuite

$\theta _{2}=t_{2}^{\varpi '}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}\xi _{2}^{(\varpi '-1)},$

et l’on suivra le même procédé que nous avons exposé dans les n^os 13 et suivants. Que si le nombre $\varpi '$ est composé de manière que l’on ait $\varpi '=\nu ''\varpi '',$ on pourra, pour éviter le développement d’une puissance trop haute, prendre pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\nu ''}-1=0,$

ce qui donnera à $t_{2}$ la forme

$t_{2}=\mathrm {X_{2}'+\alpha X_{2}''+\alpha ^{2}X_{2}'''+\ldots +\alpha ^{\nu ''-1}X_{2}^{(\nu '')}} ,$

et l’on poursuivra le calcul comme ci-dessus, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un dernier facteur indécomposable.

L’avantage de ces décompositions consiste dans l’abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes $t$ pour avoir les fonctions $\theta ,$ ce qui diminue la longueur du calcul, et ensuite dans l’abaissement des radicaux qui entrent dans l’expression de la racine $r,$ ce qui simplifie cette expression.

Telle est la marche générale et uniforme du calcul ; nous allons l’appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d’abord celui de l’équation

$x^{5}-1=0,$

que nous avons résolue ci-dessus (n^o 10).

18. On a ici $\mu -1=4=2.2\,;$ ainsi on fera $\nu =2,\ \varpi =2$ (n^o 11). On prendra pour $\alpha$ une des racines de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que, à cause de $\alpha ^{2}=1,$ l’expression de la fonction $t$ du n^o 10 devient

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,\quad {\text{où}}\quad \mathrm {X} '=r+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{3}.$

De là on trouve, en faisant le carré de $t,$ à cause de $\alpha ^{2}=1,$

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

Substituant les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ en $r,$ et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de $r$ au-dessous de $r^{5},$ à cause de $r^{5}=1,$ on trouve

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&4+r+r^{2}+r^{3}+r^{4},\\\xi '=&2\left(r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\right).\end{aligned}}$

Donc, comme $r+r^{2}+r^{3}+r^{4},$ somme des racines, est $=-1,$ par l’équation, on a $\xi ^{0}=3$ et $\xi '=-2.$ Ainsi l’expression générale de $\theta$ deviendra $\theta =3-2\alpha .$

De là, à cause que les valeurs de $\alpha$ sont $1$ et $-1,$ en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '=5,$ et, comme

$s=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1,$

les formules du n^o 11 ci-dessus donneront

$\mathrm {X} '={\frac {-1+5{\sqrt {-1}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-5{\sqrt {-1}}}{2}}.$

On aura ainsi par la valeur de $\mathrm {X} '$ celle de $r+r^{2^{2}},$ somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine $r$ en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines $r$ et $r^{4}$ comme racines d’une équation du second degré.

On fera donc $t_{1}=r+\alpha r^{4},$ $\alpha$ étant, comme ci-dessus, racine de

$y^{2}-1=0,$

et de là, on aura

$\theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad {\text{où}}\quad \xi _{1}^{0}=r^{2}+r^{3},\quad {\text{et}}\quad \xi '_{1}=2r^{5}.$

Ici, on voit tout de suite que les valeurs de $\xi _{1}^{0}$ et $\xi '_{1}$ sont données au moyen des valeurs déjà connues de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''.$ En effet, à cause de $r^{5}=1,$ et par conséquent $r^{8}=r^{3},$ on a $\xi _{1}^{0}=r^{2}+r^{3}=\mathrm {X} ''$ et $\xi '_{1}=2.$ Donc on aura $\theta _{1}=\mathrm {X} ''+2\alpha \,;$ de là, en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '_{1}=\mathrm {X} ''-2,$ et la formule du n^o 14 donnera, $\varpi$ étant $=2,$

$r=\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X''-2}}}{2}} .$

Enfin, substituant ici les valeurs $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ trouvées ci-dessus, on aura

$r={\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},$

et, par les remarques du n^o 15, on aura aussi

$r^{4}=\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X''-2}}}{2}} ,$

et, changeant $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ',$

$r^{2}=\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X'-2}}}{2}} ,\quad r^{3}=\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X'-2}}}{2}} \,;$

d’où l’on aura, par les substitutions des valeurs de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} '',$

${\begin{aligned}r^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}.\end{aligned}}$

Comme $5$ est un nombre premier, ces valeurs de $r,r^{2},r^{3},r^{4}$ seront les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation (n^o 3)

$x^{5}-1=0.$

19. Les expressions de ces racines coïncident avec celles qu’on trouve en résolvant l’équation

$x^{5}-1=0$

par les méthodes connues. Car on a d’abord, en divisant par $x-1,$

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

équation qui, étant mise sous la forme

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+x+{\frac {1}{x}}+1=0,$

devient

$u^{2}+u-1=0$

par la substitution de $x+{\frac {1}{x}}=u.$ On a ainsi l’équation

$x^{2}-xu+1=0,$

laquelle donne

$x={\frac {u\pm {\sqrt {u^{2}-4}}}{2}}\,;$

ensuite l’équation en $u$ donne $u={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}},$ de sorte que, en substi-

tuant cette valeur, on a

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}\pm {\sqrt {-10\mp 2{\sqrt {5}}}}}{4}},$

où les signes supérieurs et inférieurs de ${\sqrt {5}}$ doivent se répondre, mais sont indépendants de ceux de l’autre radical, de sorte qu’on a les quatre racines par l’ambiguïté des signes des deux radicaux.

20. Passons à l’équation

$x^{7}-1=0,$

laquelle, étant dégagée de la racine $1,$ devient

$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

dont les racines seront $r,r^{2},r^{3},r^{4},r^{5},r^{6}.$

La plus petite racine primitive pour le nombre $7$ est $3,$ d’après la Table du n^o 4 ; ainsi on aura la progression $3^{0},3^{1},3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},$ savoir, $1,3,9,27,$ $81,243,$ dont les termes, étant divisés par $7,$ donneront les restes $1,3,2,$ $6,4,5,$ qu’on prendra pour exposants de $r.$ On aura ainsi, pour les racines de l’équation proposée, les termes $r,r^{3},r^{2},r^{6}$ $r^{4},r^{5},$ qu’on prendra pour $x',x'',x''',\ldots .$

21. Nous remarquerons ici que, pour avoir les exposants de $r$ qui doivent former toutes les racines, il n’est pas nécessaire d’élever la racine primitive aux puissances successives et de diviser ensuite ces puissances par le nombre premier auquel la racine primitive se rapporte il suffit de multiplier chaque reste par la racine primitive et de ne retenir que le reste de la division par le nombre premier donné. Ainsi, en commençant par $1,$ on a, dans le cas présent, les deux premiers termes $1,\ 3\,;$ multipliant $3$ par la racine primitive $3$ et divisant par $7,$ on a le reste $2$ troisième terme ; $2$ multiplié par $3$ donne $6$ quatrième terme ; $6$ multiplié par $3$ et divisé par $7$ donne $4\,;$ enfin $4$ multiplié par $3$ et divisé par $7$ donne $5.$ Si l’on voulait continuer en multipliant $5$ par $3$ et divisant par $7,$ on retrouverait l’unité et successivement les autres termes déjà trouvés.

22. Maintenant on fera

$t=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha ^{3}r^{6}+\alpha ^{4}r^{4}+\alpha ^{5}r^{5},$

en prenant d’abord pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{6}-1=0\,;$

ensuite on formera la fonction $\theta =t^{6}\,;$ mais, comme l’exposant $6=2.3,$ on pourra simplifier le calcul et les résultats par la méthode du n^o 11, en ne prenant d’abord pour $\alpha$ qu’une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

ce qui, à cause de $\alpha ^{2}=1,$ réduira l’expression de $t$ à celle-ci

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

dans laquelle

$\mathrm {X} '=r+r^{2}+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{3}+r^{6}+r^{5}.$

On aura ensuite

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{où}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} ,$

et l’on trouvera après le développement, à cause de $r^{7}=1,$

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&3\left(r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right),\\\xi '=&2\left(3+r\ \ +r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right).\end{aligned}}$

Or $r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5},$ somme des racines, est $=-1\,;$ donc $\xi ^{0}=-3,\ \xi '=4,$ et la valeur de $\theta$ se réduira à $\theta =-3+4\alpha .$ De là, en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '=-7,$ et l’on trouvera sur-le-champ les deux racines

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ '=&{\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\\\mathrm {X} ''=&{\frac {-1-{\sqrt {-7}}}{2}}\end{aligned}}$

23. Considérons maintenant les trois termes de l’expression de $\mathrm {X} '$ comme les racines d’une équation du troisième degré ; prenant $\alpha$ pour racine de l’équation

$y^{3}-1=0,$

on fera

$t_{1}=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\,;$

ensuite, en faisant

$\theta _{1}=t_{1}^{3}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',$

on trouvera, à cause de $\alpha ^{3}=1$ et $r^{7}=1,$

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&6+r^{3}+r^{6}+r^{5},\\\xi '\ =&3\left(r\ \ +r^{2}+r^{4}\right),\\\xi ''=&3\left(r^{3}+r^{6}+r^{5}\right),\end{aligned}}$

savoir,

$\xi =6+\mathrm {X} '',\quad \xi '=3\mathrm {X} ',\quad \xi ''=3\mathrm {X} ''\,;$

de sorte qu’on aura

$\theta _{1}=6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,$

donc, en nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux racines imaginaires de

$y^{3}-1=0,\quad {\text{savoir, de}}\quad y^{2}+y+1=0,$

lesquelles sont

$\alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},$

et faisant

${\begin{aligned}\theta '_{1}\ =&6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,\\\theta ''_{1}=&6+\mathrm {X''+3\beta X'+3\beta ^{2}X''} ,\end{aligned}}$

on aura (n^o 14), en faisant $\varpi =3,$

$r={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt[{3}]{\theta '_{1}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{1}}}}{3}}.$

24. Venons à l’équation

$x^{11}-1=0,$

laquelle, étant divisée par $x-1,$ s’abaisse au dixième degré et devient

$x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0.$

On voit, par la Table du n^o 4, que la plus petite racine primitive pour le nombre $11$ est $2\,;$ ainsi la suite des restes, qu’on trouvera facilement par le procédé du n^o 21, sera ici $1,2,4,8,5,10,9,7,3,6,$ de sorte que la série des racines sera

$r,\ \ r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{9},\ \ r^{7},\ \ r^{3},\ \ r^{6},$

dont la somme sera par conséquent $=-1,$ et l’on aura pour $t$ cette expression générale

$t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{5}+\alpha ^{5}r^{10}+\alpha ^{6}r^{9}+\alpha ^{7}r^{7}+\alpha ^{8}r^{3}+\alpha ^{9}r^{6},$

laquelle, en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{10}-1=0,$

donnera, à cause de $\alpha ^{10}=1,$

$\theta =t^{10}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{9}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}},$

d’où l’on tirera la valeur de $r$ par la formule générale du n^o 8, en y faisant $\mu =11.$

Mais, pour se dispenser d’élever le polynôme $t$ à la dixième puissance, on pourra décomposer l’opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs $2$ et $5$ du nombre $11-1=10,$ par la méthode du n^o 11.

Prenons d’abord pour une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que l’on ait $\alpha ^{2}=1.$ Par là, l’expression de $t$ se réduira à cette forme plus simple

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \ +r^{4}+r^{5}+r^{9}+r^{3},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{10}+r^{7}+r^{6},\end{aligned}}$

et la valeur de $\theta$ sera

$\theta =t^{2}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2}+2\alpha X'X''} .$

En développant les carrés des fonctions $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} '',$ et rabaissant toutes les puissances de $r$ au-dessous de $r^{11},$ à cause de $r^{11}=1,$ on trouve

$\mathrm {X'^{2}=2X'+3X'',\quad X''^{2}=2X''+3X'} ,$

et par conséquent

$\mathrm {X'^{2}+X''^{2}=5(X'+X'')} =-5,$

à cause que $\mathrm {X'+X''}$ est la somme de toutes les racines.

On trouve de même, par la multiplication,

$\mathrm {X'X''=5+2(X'+X'')} =5-2=3.$

On aura ainsi $\theta =-5+6\alpha ,$ et, faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta =-11.$

Donc on aura par les formules du n^o 11, en y faisant $\nu =2,$

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.$

25. Ayant ainsi les valeurs de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} '',$ pour avoir celle de $r,$ il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité $\mathrm {X} '$ comme les racines d’une équation du cinquième degré, et, puisque $5$ est un nombre premier, on ne pourra employer que l’expression générale de $t,$

$t=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{5}+\alpha ^{3}r^{9}+\alpha ^{4}r^{3},$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{5}-1=0.$

Ensuite il faudra faire

$\theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et il ne s’agira que de trouver les valeurs en $r$ des coefficients $\xi ^{0},\xi ',\ldots$ par l’élévation de l’expression de $t$ à la cinquième puissance, en ayant soin de rabaisser les puissances de $\alpha$ au-dessous de $\alpha ^{5}$ et celles de $r$ au-dessous de $r^{11},$ à cause de $\alpha ^{5}=1$ et $r^{11}=1.$ Par un calcul qui n’a de difficulté qu’un peu de longueur et sur l’exactitude duquel on peut compter, j’ai trouvé, en retenant les expressions de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ en $r$

du numéro précédent,

${\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&120+31X'+70X'',\\\xi '\ \ =&100+60X'+45X'',\\\xi ''\ =&\ \ 50+85X'+30X'',\\\xi '''=&60X'+65X'',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&50X'+75X''.\end{aligned}}$

Comme les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ sont déjà connues par l’opération précédente, l’expression de la fonction de $\theta$ ne présente plus rien d’indéterminé, et elle donnera sur-le-champ la valeur de la première racine $r$ par la formule générale du n^o 14, en y faisant $\varpi =5$ et prenant pour $\alpha ,,\beta ,\gamma ,\delta$ les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation

$y^{5}-1=0,$

et pour $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les valeurs de $\theta$ qui répondent aux substitutions de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ à la place de $\alpha$ dans l’expression trouvée pour $\theta .$

26. Si dans les valeurs de $\xi ^{0},\xi ',\ldots$ on substitue celles de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ données dans le n^o 24, on a

${\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&\quad \ {\frac {139-39{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '\ \ =&\quad \ {\frac {95+15{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ''\ =&-{\frac {15-55{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '''=&-{\frac {125+5{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-{\frac {125+25{\sqrt {-11}}}{2}}.\end{aligned}}$

Si ensuite, au lieu des racines $\alpha ,\gamma ,\delta ,$ on substitue les puissances $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ de la racine $\alpha ,$ qui les représentent, à cause que $5$ est un nombre premier, et qu’on rabaisse les puissances de $\alpha$ au-dessous de $\alpha ^{5},$ on aura

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&\xi ^{0}+\alpha \ \,\xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ''\ =&\xi ^{0}+\alpha ^{2}\xi '+\alpha ^{4}\xi ''+\alpha \ \,\xi '''+\alpha ^{3}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta '''=&\xi ^{0}+\alpha ^{3}\xi '+\alpha \ \,\xi ''+\alpha ^{4}\xi '''+\alpha ^{2}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\xi ^{0}+\alpha ^{4}\xi '+\alpha ^{3}\xi ''+\alpha ^{2}\xi '''+\alpha \ \,\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\end{aligned}}$

et l’expression de la racine $r$ sera

$r={\frac {{\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {-11}}\right)+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}},$

où il n’y aura plus qu’à mettre pour $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ les valeurs de $r,r^{2},r^{3},r^{4}$ que nous avons données plus haut (n^o 18).

27. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de $r$ qui forment les autres racines de l’équation

$x^{11}-1=0,$

excepté l’unité.

Et d’abord on aura les valeurs des racines $r^{4},r^{5},r^{9},r^{3}$ qui entrent dans la fonction $\mathrm {X} '$ en multipliant, dans l’expression de $r,$ les radicaux ${\sqrt[{5}]{\theta '}},{\sqrt[{5}]{\theta ''}},{\sqrt[{5}]{\theta '''}},$ ${\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ respectivement, par $\alpha ^{4},\beta ^{4},\gamma ^{4},\delta ^{4}$ pour la racine $r^{4},$ par $\alpha ^{3},\beta ^{3},\gamma ^{3},\delta ^{3}$ pour $r^{5},$ par $\alpha ^{2},\beta ^{2},\gamma ^{2},\delta ^{2}$ pour $r^{9},$ et par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ pour $r^{3},$ c’est-à-dire par $\alpha ^{4},\alpha ^{3},\alpha ^{2},\alpha ,$ par $\alpha ^{3},\alpha ,\alpha ^{4},\alpha ^{2},$ par $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ,\alpha ^{3}$ et par $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}.$

Ensuite, pour avoir les valeurs des autres racines $r^{2},r^{8},r^{10},r^{7},r^{6},$ qui entrent dans la fonction $\mathrm {X} '',$ il n’y aura qu’à changer, dans celles de $r,r^{4},r^{5},$ $r^{9},r^{3},$ $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} ''$ et $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ',$ ce qui ne demande que de changer le signe du radical ${\sqrt {-11}}$ dans les expressions de $\xi ^{0},\xi ',\ldots .$

28. Je donne ici d’autant plus volontiers ces expressions des racines de l’équation

$x^{11}-1=0,$

qu’elles n’ont jamais été données et qu’elles n’auraient pas même pu

l’être par les méthodes connues, qui demandent la résolution d’une équation du cinquième degré.

Il y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire car on trouve à la fin du Mémoire de Vandermonde sur la Résolution des équations, dont nous avons parlé dans la Note précédente, l’expression de la racine d’une équation du cinquième degré, d’où dépend la résolution de l’équation

$x^{11}-1=0.$

Car cette équation, étant divisée par $x-1,$ devient

$x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,$

laquelle, étant du genre des réciproques, peut s’abaisser au cinquième degré, par la substitution de $x+{\frac {1}{x}}=u,$ et l’on obtient, par les formules de la Note X (n^o 14), cette équation en $u$

$u^{5}+u^{4}-4u^{3}-3u^{2}+3u+1=0.$

En prenant $u$ négativement, ce qui change les signes de tous les termes pairs, on a l’équation résolue par Vandermonde. Cet Auteur ne donne l’expression dont il s’agit que comme un résultat de sa méthode générale, sans indiquer en détail les opérations par lesquelles il y est parvenu, et personne, après lui, ne s’est occupé, que je sache, à vérifier ce résultat, qui paraît même être resté ignoré.

29. La valeur que nous venons de trouver pour la racine $r$ de l’équation

$x^{11}-1=0,$

pourrait servir à cette vérification ; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de Vandermonde en prenant pour $\alpha ,$ dans l’expression générale de $t$ du n^o 24, une racine de l’équation

$y^{5}-1=0,$

au lieu de l’équation

$y^{2}-1=0$

que nous avons employée, ce qui est permis, puisque, $2$ et $5$ étant les facteurs de $10,$ on peut partir de l’un ou de l’autre à volonté.

30. Faisant donc $\alpha ^{5}=1,$ l’expression générale de $t$ (n^o 24) deviendra

$t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\alpha ^{3}X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}X^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,$

dans laquelle

$\mathrm {X} '=r+r^{10},\ \ \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{9},\ \ \mathrm {X} '''=r^{4}+r^{7},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r^{8}+r^{3},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=r^{5}+r^{6},$

et l’on regardera maintenant les quantités $\mathrm {X',X''} ,\ldots$ comme les racines d’une équation du cinquième degré ; c’est le cas que nous avons considéré en général dans le n^o 12.

On fera donc

$\theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et l’on cherchera les valeurs de $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ en fonction de $r$ par le développement de la puissance cinquième de $t,$ en y rabaissant continuellement les puissances de $\alpha$ au-dessous de $\alpha ^{5}$ et celles de $r$ au-dessous de $r^{11},$ à cause de $\alpha ^{5}=1$ et $r^{11}=1.$ Le calcul n’a d’autre difficulté que la longueur. Voici les résultats que j’ai trouvés et dont je crois pouvoir répondre.

En faisant, pour abréger,

$s=r+r^{2}+r^{4}+r^{8}+r^{5}+r^{10}+r^{9}+r^{7}+r^{3}+r^{6},$

on a

${\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&1640+1836s,\\\xi '\ \ =&1700+1830s,\\\xi ''\ =&2050+1795s,\\\xi '''=&1800+1820s,\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&1900+1810s.\end{aligned}}$

Or $s$ est la somme des racines, qui, par la nature de l’équation du dixième degré en $x,$ dont le second terme est $x^{9},$ doit être égale à $-1.$

Faisant donc $s=-1$ on aura

$\xi ^{0}=-196,\quad \xi '=-130,\quad \xi ''=255,\quad \xi '''=-20,\quad \xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=90.$

Ainsi la valeur de $\theta$ sera

$\theta =-196-130\alpha +255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4}.$

En mettant successivement à la place de $\alpha$ les quatre racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ de l’équation

$x^{5}-1=0,$

on aura les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et, si l’on prend comme ci-dessus (n^o 26), pour ces racines, les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},$ dont les valeurs sont les mêmes que celles de $r,r^{2},r^{3},r^{4},$ du n^o 18, on aura, à cause de $x^{5}=1,$

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&-196-130\alpha \ \,+255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4},\\\theta ''\ =&-196-130\alpha ^{2}+255\alpha ^{4}-20\alpha \ \,+90\alpha ^{3},\\\theta '''=&-196-130\alpha ^{3}+255\alpha \ \,-20\alpha ^{4}+90\alpha ^{2},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-196-130\alpha ^{4}+255\alpha ^{3}-20\alpha ^{2}+90\alpha ,\end{aligned}}$

et la formule générale du n^o 11 donnera tout de suite, en faisant $\nu =5$ et $s=-1,$

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}}.$

Cette quantité $\mathrm {X} '$ est $=r+r^{10}=r+{\frac {1}{r}},$ à cause de $r^{11}=1\,;$ c’est la valeur de $2\cos {\frac {360^{\circ }}{11}}$ (n^o 12) ; c’est aussi celle de la racine $u$ de l’équation en $u$ du cinquième degré (n^o 28), puisque $r$ est la racine de l’équation

$x^{11}-1=0.$

Ainsi l’expression précédente, prise négativement, doit s’accorder avec celle de Vandermonde.

31. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les expressions précédentes de $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les valeurs de $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},$ qui sont les mêmes que celles de $r,r^{2},r^{3},r^{4},$ du n^o 18.

En faisant, pour abréger,

$m={\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}},\quad n={\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}},$

on a

${\begin{alignedat}{2}\alpha \ \,=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}+m}{4}},\qquad &\alpha ^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+n}{4}},\\\alpha ^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-n}{4}},&\alpha ^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-m}{4}},\end{alignedat}}$

et, pour s’assurer de la justesse de ces expressions, il n’y a qu’à faire le carré de $-1+{\sqrt {5}}+m,$ qui est

$6-2{\sqrt {5}}+m^{2}+2\left({\sqrt {5}}-1\right)m\,;$

or, en faisant passer sous le signe radical de $m$ le coefficient ${\sqrt {5}}-1$ élevé au carré, on trouvera

$\left({\sqrt {5}}-1\right)m=2n,$

de sorte que, en substituant la valeur de $m^{2},$ on a

$\left(-1+{\sqrt {5}}+m\right)^{2}=4\left(-1-{\sqrt {5}}+n\right).$

On peut vérifier de même les autres puissances de $\alpha .$

Faisant ces substitutions, on trouve

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}-220m+275n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}-275m-220n\right),\\\theta '''=&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}+275m+220n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}+220m-275n\right),\end{aligned}}$

où l’on remarquera que les coefficients $979,275,220$ sont tous divisibles par $11$ et donnent pour quotients $89,25,20,$ de sorte que les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ peuvent être exprimées plus simplement ainsi :

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-20m+25n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-25m-20n\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+25m+20n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+20m-25n\right).\end{aligned}}$

32. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de Vandermonde, nous emploierons ces transformations

$m=p+q,\quad n=p-q,$

en supposant

$p={\sqrt {-5-2{\sqrt {5}}}},\quad q={\sqrt {-5+2{\sqrt {5}}}},$

lesquelles se vérifient en faisant les carrés et en observant que $pq=-{\sqrt {5}},$ parce que le produit des deux radicaux réels et positifs ${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}},$ ${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ est ${\sqrt {5}}\,;$ donc

${\sqrt {5}}=p{\sqrt {-1}}.q{\sqrt {-1}}=-pq.$

Par ces substitutions, les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ deviendront

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5p-45q\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-45p-\ \ 5q\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+45p+\ \ 5q\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5p+45q\right).\end{aligned}}$

33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1771 (p. 416), pour la résolution de l’équation

$x^{5}-x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+3x-1=0,$

cette expression de la racine

$x={\frac {1}{5}}\left(1+\Delta '+\Delta ''+\Delta '''+\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),$

dans laquelle

${\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}-\ \ 5q+45p\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}+\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5q+45p\right)}},\end{aligned}}$

en conservant les valeurs de $p$ et $q$ supposées ci-dessus.

On voit que les expressions de $\Delta '''$ et $\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ coïncident avec celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta '''}}$ et ${\sqrt[{5}]{-\theta ''}},$ et que les expressions de $\Delta '$ et $\Delta ''$ ne différent de celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta '}}$ et ${\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ que par l’échange des quantités $p$ et $q$ entre elles, ce qui ne tient qu’au signe du radical $2{\sqrt {5}}$ sous le radical carré. À cette différence près, qui peut venir d’une faute d’impression dans le Mémoire de Vandermonde, ses résultats s’accordent parfaitement avec les nôtres, puisque la racine de son équation en $x$ répond à la racine de notre équation en $u,$ prise négativement, et que tout radical cinquième ${\sqrt[{5}]{-\theta }}$ est la même chose que $-{\sqrt[{5}]{\theta }}.$ On peut donc dire que Vandermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.

34. Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde, nous allons prouver qu’elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l’on désigne, comme lui, par $r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation

$x^{5}-1=0,$

il est facile de voir, par la formule générale de l’Article VII de son Mémoire, que la quantité $\Delta$ ne peut être que de la forme

${\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$

et que, en prenant cette expression pour l’une des quantités $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci par la substitution de $r^{2},r^{3},r^{4}$ à la place de $r,$ les quantités $\mathrm {A,B,C,D,E}$ étant des fonctions des racines de l’équation à résoudre, indépendantes des racines $r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

Or, par les relations données dans le même Article entre ces dernières racines, on a

${\begin{alignedat}{4}r'^{2}=&r''',&r''^{2}=&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r'''^{2}=&r'',&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}2}=&r',\\r'^{3}=&r'r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &r''^{3}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\quad &r'''^{3}=&r''r'''=r',\quad &r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}3}=&r'\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',\\r'^{4}=&r'r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',&r''^{4}=&r''r'''=r',&r'''^{4}=&r'\ r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}4}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\\\end{alignedat}}$

Donc les quatre expressions dont il s’agit deviendront

${\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'\ \ +\mathrm {C} r''\ +\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'''+\mathrm {C} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {D} r''\ +\mathrm {E} r'\ \ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {C} r'''+\mathrm {D} r'\ \ +\mathrm {E} r''\ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r''\ +\mathrm {C} r'\ \ +\mathrm {D} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {E} r'''}}.\end{aligned}}$

35. Dans l’Article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l’équation

$x^{5}-1=0$

ces expressions, dans lesquelles j’introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres $p$ et $q$ Doi, ci-dessus,

${\frac {1}{4}}\left({\begin{aligned}-1\left.{\begin{aligned}&+\\&+\\&-\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ {\sqrt {5}}\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&+\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ q\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&-\\&+\end{aligned}}\right\}\ \ p\end{aligned}}\right).$

En prenant la première de ces racines pour $r',$ de sorte que l’on ait

$r'={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+p+q\right),$

il faudra, d’après les formules du n^o 31, en prenant $\alpha$ pour $r',$ et substituant $p+q,$ $p-q$ pour $m,n,$ supposer

${\begin{aligned}r'''=&r'^{2}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}+p-q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r'^{3}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}-p+q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&r'^{4}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}-p-q\right).\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus, elles se changeront en celles-ci

${\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {F=4A-B-C-D-E} ,\\&\mathrm {G=\ \ B+C-D-E} ,\\&\mathrm {H=\ \ B-C+D-E} \\&\mathrm {K=\ \ B-C-D+E} ,\end{aligned}}$

lesquelles doivent coïncider avec celles de $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ rapportées ci-dessus (n^o 33). Mais on voit au premier coup d’œil que cette coïncidence ne peut avoir lieu, à moins qu’on ne change à la fois $p$ en $q$ et $q$ en $p$ dans $\Delta '$ et $\Delta ''$ ou dans $\Delta '''$ et $\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ parce que, dans les formules précédentes, les coefficients de $p$ et $q$ ne sont les mêmes que dans les deux où la racine ${\sqrt {5}}$ est affectée du même signe ; au lieu que dans les expressions de $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les quantités $p$ et $q$ ont partout les mêmes coefficients.

36. En faisant ce changement dans $\Delta '$ et $\Delta '',$ comme nous l’avons indiqué (n^o 33) pour accorder les formules de Vandermonde avec les nôtres, on pourra supposer

${\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\end{aligned}}$

ce qui se vérifiera en faisant

$\mathrm {F=11.89,\quad G=11.25,\quad H=-5,\quad K=45} .$

De là on aura, par les formules du numéro précédent,

$\mathrm {B=-A-11.6,\quad C=A-11.26,\quad D=A-11.41,\quad E=A-11.16} ,$

et la quantité $\mathrm {A}$ restera indéterminée, parce que, à cause de

$1+r'+r''+r'''+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,$

elle disparaîtra des expressions des quantités $\Delta$ du n^o 34.

Si l’on fait $\mathrm {A} =196,$ on trouve

$\mathrm {B} =130,\quad \mathrm {C} =-90,\quad \mathrm {D} =-255,\quad \mathrm {E} =20,$

et la formule

${\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$

du n^o 34 coïncidera avec celle de ${\sqrt[{5}]{-\theta '}}$ du n^o 30, parce que, en faisant $\alpha =r',$ on a $r''=\alpha ^{4},\ r'''=\alpha ^{2},\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha ^{3}$ (n^o 35), et les formules dérivées de celle-là coïncideront aussi avec celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta ''}},{\sqrt[{5}]{-\theta '''}},{\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.$

37. Prenons pour dernier exemple l’équation

$x^{13}-1=0.$

Comme $13-1=12=2.2.3,$ l’opération pourra se décomposer en trois de la manière suivante.

Il faut d’abord avoir une racine primitive pour le nombre $13,$ et la Table du n^o 4 fournit le nombre $2,$ dont les puissances successives jusqu’à la onzième, divisées par $13,$ donnent les restes $2,4,8,3,6,$ $12,11,9,5,10,7.$

Ainsi, en nommant $r$ une racine de l’équation

$x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,$

les autres onze racines seront

$r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{3},\ \ r^{6},\ \ r^{12},\ \ r^{11},\ \ r^{9},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{7}.$

On fera donc, en général,

$t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{3}+\alpha ^{5}r^{6}+\alpha ^{6}r^{12}+\alpha ^{7}r^{11}+\alpha ^{8}r^{9}$

$+\alpha ^{9}r^{5}+\alpha ^{10}r^{10}+\alpha ^{11}r^{7},$

et l’on prendra d’abord pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{2}=1,$ ce qui réduira la fonction $t$ à la forme

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \,+r^{4}+r^{3}+r^{12}+r^{9}+r^{10},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{6}+r^{11}+r^{5}+r^{7}.\end{aligned}}$

De là on aura

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ,\quad \xi =\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

On peut se dispenser de chercher la valeur de $\xi ^{0}$ en se servant de l’expression de du n^o 11, qui ne renferme pas $\xi ^{0}$ et qui donne ici, à cause de $\nu =2$ et de $s=-1,$ somme des racines de l’équation proposée, $\theta =1+(\alpha -1)\xi ',$ de sorte qu’en faisant $\alpha =-1$ on aura la valeur de $\theta ',$ et les deux racines $\mathrm {X',X''}$ seront (numéro cité)

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}}.$

Pour avoir la valeur de $\xi ',$ il faut développer le produit $\mathrm {X'X''}$ en punissances de $r,$ ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à $r^{12},$ à cause de $r^{13}=1,$ et l’on trouve $\mathrm {X'X''} =3s,$ en mettant $s$ pour la somme des racines $r,r^{2},r^{4},\ldots ,$ laquelle est $=-1,$ de sorte qu’on aura $\xi '=-6,$ et les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ seront

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.$

38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité $\mathrm {X} '$ comme celles d’une équation du sixième degré, et l’on fera de nouveau

$t_{1}=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{3}+\alpha ^{3}r^{12}+\alpha ^{4}r^{9}+\alpha ^{5}r^{10}\,;$

mais, au lieu de prendre en général pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{6}-1=0,$

ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme $t_{1}\,;,$ nous prendrons de nouveau une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que, au moyen de $\alpha ^{2}=1,$ la fonction $t_{1},$ redeviendra de la forme

$t_{1}=\mathrm {X} '_{1}+\alpha \mathrm {X} ''_{1},$

dans laquelle on aura

$\mathrm {X} '_{1}=r+r^{3}+r^{9},\quad \mathrm {X} ''_{1}=r^{4}+r^{12}+r^{10}.$

On aura ensuite, comme ci-dessus,

$\theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad \xi _{1}^{0}=\mathrm {X_{1}^{'2}+X_{1}^{''2},\quad \xi '_{1}=2X'_{1}X''_{1}} .$

et, à cause que la somme des racines est ici $\mathrm {X} ',$ on aura sur-le-champ

$\mathrm {X} '_{1}={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''_{1}={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}}\,;$

on aura en même temps $\theta _{1}=\mathrm {X} '^{2}+(\alpha -1)\xi '_{1}$ et, faisant $\alpha =-1,$ $\theta '_{1}=\mathrm {X} '^{2}-2\xi '_{1}.$

Pour avoir $\xi '_{1},$ il faudra développer le produit de $\mathrm {X} '_{1}$ par $\mathrm {X} ''_{1}\,;,$ en se souvenant toujours que $r^{13}=1,$ et l’on trouvera

$\mathrm {X'_{1}X''_{1}=3+X''} ,$

ce qui donnera

$\xi '_{1}=6+2\mathrm {X} '',$

et par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} ,\\\mathrm {X} ''_{1}=&\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} .\end{aligned}}$

39. Nous remarquerons ici que, comme en mettant $r^{2}$ au lieu de $r$ la fonction $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} ''$ et la fonction $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} ',$ si l’on dénote par $\mathrm {(X'_{1}),(X''_{1})}$ ce que deviennent les fonctions $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ en y substituant $r^{2}$ au lieu de $r$ dans toutes les puissances de $r,$ ce qui donne

$(\mathrm {X} '_{1})=r^{2}+r^{6}+r^{5},\quad (\mathrm {X} ''_{1})=r^{8}+r^{11}+r^{7},$

on aura les valeurs de $\mathrm {(X'_{1}),(X''_{1})}$ en échangeant dans celles de $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ les quantités $\mathrm {X',X''}$ entre elles. On trouvera ainsi

${\begin{aligned}(\mathrm {X} '_{1})\ =&\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} ,\\(\mathrm {X} ''_{1})=&\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} .\end{aligned}}$

Ce sont les fonctions correspondantes à $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ qu’on obtiendrait en procédant à l’égard des racines qui composent la fonction $\mathrm {X} ''$ comme on a fait sur celles de $\mathrm {X} '.$ Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de $r$.

40. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '_{1}$ comme celles d’une équation du troisième degré, et faire, en conséquence,

$t_{2}=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{9},$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation $y^{3}-1=0.$

De là, on formera la fonction

$\theta _{2}=t_{2}^{3}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2},$

et l’on trouvera, par le développement, en faisant $\alpha ^{3}=1$ et $r^{13}=1,$ ces expressions

$\xi _{2}^{0}=6+\mathrm {X} '_{1},\quad \xi '_{2}=3(\mathrm {X} '_{1}),\quad \xi ''_{2}=3(\mathrm {X} ''_{1}).$

Donc, nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux racines de l’équation

$y^{2}+y+1=0,$

et faisant

${\begin{aligned}\theta '_{2}\,=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\alpha (\mathrm {X} '_{1})+3\alpha ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\\\theta ''_{2}=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\beta \,(\mathrm {X} '_{1})+3\beta ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\end{aligned}}$

on aura, comme dans le n^o 23,

$r={\frac {\mathrm {X} '_{1}+{\sqrt[{3}]{\theta '_{2}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{2}}}}{3}}.$

Ainsi la valeur de $r$ est entièrement déterminée ; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d’employer pour la résolution de l’équation

$x^{13}-1=0,$

ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.

41. Je remarquerai, en finissant, que la méthode exposée dans cette Note peut être regardée comme une simplification de celle que M. Gauss a indiquée d’une manière générale dans l’Article 360 des Disquisitiones arithmeticæ. Celle-ci est fondée aussi sur le développement d’une fonction semblable à la fonction que nous avons désignée par $\theta \,;$ mais elle demande de plus la formation et le développement d’autant d’autres fonctions du même ordre que l’équation a de racines, ce qui allonge considérablement le calcul. Notre méthode est indépendante de ces fonctions auxiliaires, et conduit directement aux expressions les plus simples des racines.

1. Cet Ouvrage vient d’être traduit en français, sous le titre de Recherches arithmétiques, chez Courcier.