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posée, appartient à une section conique, il faut les différencier deux fois de suite ; ce qui donne :

$(I+p^{2})^{2}s=3q^{3}(1+5p^{2})$
$(I+p^{2})^{3}t=15q^{4}(3+7p^{2}),$

et substituer dans l’équation du cinquième ordre $(B)$ les valeurs de $r,s,t$. Or, par cette substitution l’équation $(B)$ est satisfaite donc la proposée appartient à une section conique et a pour intégrale l’équation.

$(A)$

$Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=o$

qui contient deux constantes de trop ; il faut donc trouver entre les cinq constantes deux relations.

Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l’équation $(A)$ ; la première différenciation donne :

$p\{Ay+Bx+D)+By+Cx+E=0$

qui, faisant pour abréger,	$Ay+Bx+D=M$
et	$By+Cx+E=N,$
devient	$p={\frac {-N}{M}}$
différenciant ensuite, on a :

$q={\frac {-(AN^{2}-2BNM+CM^{2})}{M^{3}}}$

$r={\frac {-3(AN^{2}-2BNM+CM^{2})(AN-BM)}{M^{5}}}$

Si l’on substitue les valeurs de $p,q,r,$ dans la proposée $(C)$, on a l’équation suivante, qui est composée de trois facteurs :

$M\left\{4N^{2}-2BMN+CM^{2}\right\}\left\{B(M^{2}-N^{2})+MN(C-A)\right\}=0$

Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles ; en effet, le premier, $M$, c’est-à-dire $Ay+B+D$ ne peut devenir nul par lui-même, à moins que l’on ait $A=0,B=0,D=0$, ce qui fait trois relations ; tandis qu’il n’en faut que deux.

Le second, $AN^{2}-2BMN+CM^{2}$ ne peut devenir nul, à moins que l’on ait $A=0,B=0,C=0,$ ce qui fait également trois relations ; et si dans le même facteur on faisoit $M=0,N=0,$ il faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en particulier.

Il n’y a donc que le troisième facteur qui devient nul au moyen des deux relations suivantes :

$B=0$

$C=A$