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SÉRIES DE M. BOHLIN.

zéro, ni d’autre terme du premier degré que des termes en $x_{2},$ $x_{3},$ $\ldots ,\,x_{n}.$

Si, en effet, cela n’était pas, on ferait le changement de variables des n^os 208 et 210 et on serait ramené au cas où cette supposition est vraie.

Il résulte de là que, si l’on donne aux constantes arbitraires les valeurs suivantes

${\begin{alignedat}{3}x_{2}^{0}&=x_{3}^{0}&=\ldots &=x_{n}^{0}&&=0\quad (\mathrm {d'o{\grave {u}}} \;x_{1}^{0}=\mathrm {C} _{2}=0),\\\mathrm {C} _{2}^{0}&=\mathrm {C} _{4}^{0}&=\ldots &=\mathrm {C} _{6}^{0}&&=0,\end{alignedat}}$

on se trouve précisément dans le cas limite et que la fonction $\mathrm {S}$ est. telle que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ ont un zéro simple et les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\;(i>1)$ un zéro double pour $y_{1}=0.$ Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler que, dans le calcul des n^os 208 et 210, on est conduit après le changement de variables à des équations tout à fait analogues aux équations (3) du n^o 204 et qui n’en diffèrent que parce que les lettres y sont accentuées et que les constantes $\mathrm {C} _{p}$ sont toutes nulles (Cf. p. 371).

Donnons maintenant aux constantes $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ d’autres valeurs voisines de 0. On pourra encore choisir $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots ,$ de telle façon que $\mathrm {C} _{2}$ soit égal au maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ et que, les conditions (28) du n^o 207 étant remplies, les fonctions $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,\,\mathrm {S} _{p}$ restent finies.

Les valeurs de $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ qui satisfont à ces conditions seront des fonctions holomorphes de $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ de sorte que

$\mathrm {C} _{p}=\varphi _{p}\left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right).$

Ces fonctions, d’après ce que nous venons de voir, devront s’annuler pour

$x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0.$

Nous avons ainsi défini une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n-1$ constantes arbitraires

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

Cette fonction est de la forme

(8)

$\mathrm {S} =\beta _{1}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n}+\mathrm {S} ',$