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CHAPITRE XX.
étant une constante et
étant développable suivant les sinus
et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865a10373d9d2a339766627fbf70b9b98101505f)
Cette fonction est d’ailleurs holomorphe par rapport aux
et,
quand on y fait
![{\displaystyle x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77889d6b7357d2ae59e7b972c0883dca317bfbcf)
la dérivée
admet un zéro simple pour
et les autres dérivées
admettent un zéro double.
Pour obtenir une fonction
dépendant de
constantes arbitraires,
je ferai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{0}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{2}&=\lambda +\varphi _{2}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{4}&=\varphi _{4}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{6}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d81df466aa7f8682ea5154aa6eca915a1ed5cce)
J’aurai ainsi une fonction
contenant les
constantes
![{\displaystyle \lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9b01404449e809ddaaa8efd54bd0dd31db2c8)
D’après ce que nous avons vu au commencement du numéro
précédent, les dérivées de cette fonction
seront de la forme (α).
Mais il y a plus ; soit
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071ee8c9c5cdc6612d9e9ddfb982e279fda54c36)
un terme d’une de ces dérivées mises sous la forme (α) ; je dis que
le numérateur
ne dépend pas de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Cela tient à ce que les constantes
ne dépendent pas
de
Pour démontrer le point en question, convenons, pour abréger
le langage, de dire qu’une expression est de la forme (α′) lorsqu’elle
est de la forme (α) et que de plus les numérateurs
sont indépendants
de