Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/427

413

SÉRIES DE M. BOHLIN.

aux $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}.$ Soit donc

$y_{k}=w_{k}+\eta _{k}(w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}).$

Si dans la première équation (2 bis) nous faisons $y_{1}=0,$ elle se réduit à

$x_{i}=0.$

Nous trouvons donc une solution particulière des équations (2 bis) en faisant

(14)

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{i}=y_{1}=0,&y_{k}&=w_{k}+\eta _{k}.\end{aligned}}$

La signification de ces équations (14) est évidente.

Au n^o 209, nous avons trouvé une généralisation des solutions périodiques. Nous avons, en effet, formé les relations invariantes

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i}.\end{aligned}}$

Grâce à l’hypothèse que nous avons faite au début du présent numéro, ces relations invariantes se réduisent ici à

$x_{1}=y_{1}=x_{i}=0.$

Nous reconnaissons là les trois premières équations (14).

Ces quatre équations (14) nous fournissent donc, sous une forme nouvelle, la généralisation des solutions périodiques. On voit que les $x_{i},$ $y_{1}$ et les $y_{k}-w_{k}$ sont exprimés en fonctions périodiques de $n-1$ arguments de la forme

$w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k}.$

Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté, il ne reste plus qu’un seul argument $w_{2}.$

Alors $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1}$ et $y_{2}-w_{2}$ sont exprimés en fonctions périodiques de $w_{2},$ et, par conséquent, du temps. Nous retrouverons alors simplement les solutions périodiques telles qu’elles ont été définies au Chapitre III.

Une conséquence remarquable, c’est que, s’il n’y a que deux degrés de liberté, les développements (14) sont convergents, tandis qu’ils n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel si le nombre des degrés de liberté est supérieur à 2.