Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/127

115

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Nous aurons donc $2n$ égalités qui exprimeront les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en fonctions de $t$ et de ces constantes $h$ et $\mathrm {A} _{k}'.$ Si entre ces $2n$ égalités nous éliminons $t,$ $h$ et les $\mathrm {A} _{k}',$ nous aurons entre les $x_{i}$ et les $y_{i}$ un certain nombre de relations invariantes.

Si un ensemble de valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ est regardé comme représentant un point dans l’espace à $2n$ dimensions, ces relations invariantes représentent une certaine variété $\mathrm {V}$ de cet espace ; c’est ce que j’appellerai la variété asymptotique.

Reprenons l’invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

et étendons l’intégration à une portion de cette variété asymptotique $\mathrm {V} .$ En d’autres termes, supposons que tous les systèmes de valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i},$ qui font partie du domaine d’intégration, satisfassent à nos relations invariantes.

Je dis que l’invariant intégral sera nul.

Il me suffit de démontrer que

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=0,$

et cela est évident, car on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=0,&\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}&=0,&\delta \mathrm {C} &=0,\\\delta '\!\mathrm {A} _{k}&=0,&\delta '\!\mathrm {C} &=0,\end{aligned}}$

ce qui montre que toutes les expressions (4) s’annulent. Nous aurions pu également faire

$\mathrm {C} ={}$	$\mathrm {C} _{0},$
$\mathrm {A} _{k}\gtrless 0,\qquad \mathrm {A} _{k}'={}$	0 (pour $\alpha _{k}$ réel),
$\mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'={}$	0 (pour $\alpha _{k}$ imaginaire).

Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à laquelle les mêmes conclusions s’appliqueraient.

Ce que nous avons fait pour l’invariant (2), on pourrait le faire pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième