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CHAPITRE XXV.

sorte, n^o 260), c’est-à-dire de la forme

(5)

$\iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,dx_{i}\;dx_{k},$

où $\mathrm {B}$ est une fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ et où, sous le signe ${\textstyle \sum },$ une ou deux des différentielles $dx_{i},\,dx_{k}$ peut être remplacée par $dy_{i}$ ou $dy_{k}.$

L’expression

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \left(\delta x_{i}\,\delta '\!x_{k}-\delta x_{k}\,\delta '\!x_{i}\right)$

serait encore linéaire par rapport aux quantités (4). Cela s’appliquerait encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième sorte, n^o 260) de la forme

(6)

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,dx_{i}\,dx_{k}}},$

où $\mathrm {B}$ est fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ et où, sous le signe ${\textstyle \sum },$ une ou deux des différentielles $dx_{i},\,dx_{k}$ peut être remplacée par $dy_{i},\,dy_{k}.$

On verrait que l’expression

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \delta x_{i}\,\delta x_{k}$

doit être linéaire par rapport aux expressions

(4 bis)

$\left\{{\begin{array}{c}\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\,\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j},\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} ,\\\delta \mathrm {C} \,\delta h\end{array}}\right.$

et de celles qu’on en peut déduire en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {A} _{k}',$ $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {A} _{j}'.$

Pour toute variété asymptotique, l’invariant (5) comme l’invariant (6) doivent s’annuler.

Autre mode de discussion.

280.La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant sous une autre forme.

Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un problème de Dynamique, que les $x_{i}$ sont les coordonnées des divers points matériels du système et que les variables conju-