Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/115

je donne dans ce cas une solution générale complète de la question ; je fais voir ensuite que le cas de trois orbites mobiles à la fois l’une sup l’autre dépend de la rectification des sections coniques, et par conséquent ne peut être résolu par les méthodes connues ; d’où je conclus qu’à plus forte raison on ne saurait se flatter de pouvoir résoudre le Problème lorsque le nombre des orbites mobiles est plus grand. Cependant comme les orbites des planètes ainsi que celles des satellites sont peu inclinées les unes aux autres, j’examine si cette circonstance ne pourrait pas apporter quelque simplification aux calculs, et je parviens enfin à une méthode très-simple et très-générale par laquelle, quel que soit le nombre des orbites mobiles, le Problème se réduit toujours à des équations différentielles linéaires du premier ordre, dont l’intégration est facile par les méthodes connues ; de sorte qu’on peut par ce moyen avoir une théorie complète des principaux changements que l’attraction mutuelle des planètes doit produire dans les lieux des nœuds et dans les inclinaisons de leurs orbites. Je me contente ici de poser les fondements de cette théorie, et je me propose d’en donner dans une autre occasion tout le détail, et l’application même au système du monde^[1].

1. Considérons d’abord deux seules planètes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui se meuvent dans les plans des grands cercles $\mathrm {AP,BQ}$ (fig. 1, page 114) faisant entre eux l’angle $\mathrm {PLQ} \,;$ et supposons que par l’attraction de la planète $\mathrm {P}$ sur la planète $\mathrm {Q} ,$ le nœud $\mathrm {L}$ soit forcé de rétrograder sur l’arc $\mathrm {AP} ,$ regardé comme fixe, de la quantité constante $pdt$ pendant chaque instant $dt,$ et que par l’attraction de la planète $\mathrm {Q}$ sur la planète $\mathrm {P} ,$ le même nœud $\mathrm {L}$ soit obligé de rétrograder sur l’arc $\mathrm {BQ} ,$ regardé maintenant comme fixe, de la quantité constante $qdt$ à chaque instant $dt,$ l’angle $\mathrm {QLP}$ demeurant d’ailleurs

1. J’ai rempli depuis cet engagement dans un Mémoire que j’ai envoyé à l’Académie Royale des Sciences de Paris au mois d’octobre 1774, et dont on trouvera les résultats dans les Tables astronomiques que l’Académie va publier.

   Le Mémoire dont il est ici question a été inséré parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1774 ; il appartient à la troisième Section des Œuvres de Lagrange.

   (Note de l’Éditeur.)