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et ainsi de suite jusqu’à

$y_{x,n-1}=\,^{n-1}\!f(x).$

On connaît donc par ce moyen toutes les fonctions arbitraires ; et substituant leurs valeurs dans la formule générale, on aura

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\ \mathrm {T} y_{x,0}+\ \,\mathrm {T} 'y_{x+1,0}+\,\ \mathrm {T} ''y_{x+2,0}+\mathrm {T} '''y_{x+3,0}+\ldots +\mathrm {T} ^{(t)}y_{x+t,0}\\&+\ _{\prime }\!\mathrm {T} y_{x,1}+\ _{\prime }\!\mathrm {T} 'y_{x+1,1}+\ _{\prime }\!\mathrm {T} ''y_{x+2,1}+\ldots +\,_{\prime }\!\mathrm {T} ^{(t-1)}y_{x+t-1,1}\\&+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {T} y_{x,2}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {T} 'y_{x+1,2}+\ldots +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {T} ^{(t-2)}y_{x+t-2,2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\,_{(n-1)}\!\mathrm {T} y_{x,n-1}+\ldots +\,_{(n-1)}\!\mathrm {T} ^{(t-n+1)}y_{x+t-n+1,n-1}.\end{aligned}}$

28. Pour déterminer les coefficients $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,\,_{\prime }\!T,\,_{\prime }\!T',\,_{\prime }\!T''} ,\ldots ,\ldots$ de la formule (K) du n^o 25, on peut employer différentes méthodes.

Et d’abord il est clair que si l’on tire de l’équation (I) la valeur de $\beta$ en $\alpha ,$ qu’on la substitue ensuite dans l’équation (K), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de $\alpha$, on fasse chaque terme égal à zéro, on aura une suite d’équations par lesquelles on pourra déterminer les coefficients cherchés.

Cette méthode peut être rendue plus simple par la considération des différentes racines de l’équation (I). En effet, si l’on représente l’équation (K) ainsi

$\beta ^{t}=\mathrm {A} +\,_{\prime }\!\mathrm {A} \beta +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta ^{2}+\ldots +\,_{(n-1)}\mathrm {A} \beta ^{n-1},$

$\mathrm {A}$ étant un polynôme en $\alpha$ du degré $t,$ $\,_{\prime }\!\mathrm {A}$ un autre polynôme en $\alpha$ du degré $t-1$ et ainsi de suite ; et que d’un autre côté on désigne par $\beta ',\beta '',\ldots$ les $n$ racines de l’équation (I) ordonnée par rapport à $\beta ,$ on aura ces $n$ équations différentes

${\begin{aligned}\beta 't\ &=\mathrm {A} +\,_{\prime }\!\mathrm {A} \beta '\,+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta '^{2}\,+\ldots +\,_{(n-1)}\mathrm {A} \beta ^{'n-1},\\\beta ''t&=\mathrm {A} +\,_{\prime }\!\mathrm {A} \beta ''+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta ''^{2}+\ldots +\,_{(n-1)}\mathrm {A} \beta ^{''n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

au moyen desquelles on déterminera séparément les $n$ quantités $\mathrm {A} ,\,_{\prime }\!\mathrm {A} ,\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} ,$$\ldots$ en $\beta ',\beta '',\ldots .$ Alors il n’y aura plus qu’à substituer à la place de $\beta ',\beta '',\ldots$ leurs valeurs en $\alpha$ réduites en série ascendante, et poussées seu-