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lement jusqu’à la $t$^ième puissance pour la quantité $\mathrm {A} ,$ jusqu’à la $(t-1)$^ième puissance pour la quantité $\,_{\prime }\!\mathrm {A} ,$ et ainsi de suite.

29. Mais dès qu’on aura déterminé par cette méthode ou par une autre quelconque les premiers termes des polynômes $\mathrm {A} ,\,_{\prime }\!\mathrm {A} ,\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} ,\ldots ,$ on pourra trouver tous les suivants d’une manière plus simple en cherchant à l’aide du Calcul différentiel la loi qui doit régner entre eux. Pour cela on différentiera logarithmiquement l’équation

$\beta ^{t}=\mathrm {A} +\,_{\prime }\!\mathrm {A} \beta +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta ^{2}+\ldots +\,_{(n-1)}\!\mathrm {A} \beta ^{n-1},$

en faisant varier à la fois les quantités $\alpha$ et $\beta ,$ ce qui donnera

${\frac {td\beta }{\beta }}={\frac {d\mathrm {A} +\beta d\,_{\prime }\!\mathrm {A} +\beta ^{2}d\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} +\ldots +\left(\,_{\prime }\!\mathrm {A} +2\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta +\ldots \right)d\beta }{\mathrm {A} +\,_{\prime }\!\mathrm {A} \beta +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} \beta ^{2}+\ldots }}$

on substituera à la place de $d\beta$ sa valeur en $\alpha$ et $\beta$ et $d\alpha$ tirée de l’équation (I) par la différentiation, et faisant évanouir les fractions on ordonnera tous les termes par rapport aux puissances de $\beta \,;$ il est facile de comprendre que dans cette nouvelle équation la plus haute puissance de $\beta$ ne pourra être que $\beta ^{2n-1}\,;$ ainsi il n’y aura qu’à rabaisser les $n-1$ puissances $\beta ^{n},\beta ^{n+1},\ldots ,\beta ^{2n-1}$ au-dessous du degré $n$^ième au moyen de l’équation (I) ; après quoi on ordonnera l’équation par rapport aux $n$ puissances restantes de $\beta$ et l’on fera séparément égales à zéro toutes les quantités multipliées par chacune de ces différentes puissances de $\beta \,;$ on aura $n$ équations différentielles du premier ordre entre $\alpha$ et les $n$ quantités $\mathrm {A} ,\,_{\prime }\!\mathrm {A} ,\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} ,\ldots$ On substituera maintenant dans chacune de ces équations les expressions de $\mathrm {A} ,\,_{\prime }\!\mathrm {A} ,\,_{\prime \prime }\!\mathrm {A} ,\ldots$ en $\alpha ,$ et par la comparaison des termes on obtiendra des équations entre les coefficients $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots ,$$\,_{\prime }\!\mathrm {\mathrm {T} } ,\,_{\prime }\!\mathrm {\mathrm {T} } ',\,_{\prime }\!\mathrm {\mathrm {T} } '',\ldots ,\ldots$ par lesquelles on pourra déterminer les coefficients.

30. Si au lieu de supposer donnés les $n$ premiers rangs horizontaux de la Table du n^o 6, ainsi qu’on l’a fait dans la solution précédente, on voulait regarder comme donnés les $n$ premiers rangs verticaux de la même Table, c’est-à-dire les valeurs de $y_{0,t},y_{1,t},y_{2,t},\ldots ,y_{n-1,t}\,;$ il est