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visible qu’on pourrait résoudre ce cas par la même méthode en changeant seulement $t$ en $x,$ c’est-à-dire $\beta$ en $\alpha ,$ ou, ce qui revient au même, en opérant à l’égard de $\beta$ et de $\alpha$ comme on l’a fait à l’égard de $\alpha$ et de $\beta \,;$ il n’y aura à cela aucune difficulté nouvelle.

Il n’en serait pas de même si les rangs donnés étaient en partie horizontaux et en partie verticaux ; cependant, comme ce cas peut avoir lieu dans bien des questions, nous allons donner la méthode de le résoudre.

31. Supposons donc qu’on connaisse les $m$ premiers rangs horizontaux de la Table du n^o 6 et les $n-m$ premiers rangs verticaux de la même Table, c’est-à-dire qu’on connaisse les valeurs de $y_{x,0},y_{x,1},y_{x,2},\ldots ,y_{x,m},$ ainsi que celles de $y_{0,t},y_{1,t},y_{2,t},\ldots ,y_{n-m,t},$ et qu’on demande la valeur d’un terme quelconque $y_{x,t}.$

Ayant fait $y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ on aura (25) l’équation (I) entre $\alpha$ et $\beta \,;$ je considère dans cette équation le terme $\mathrm {N} ^{(m)}\alpha ^{n-m}\beta ^{m},$ lequel est donné par tous les autres termes de la même équation, et j’observe qu’en substituant la valeur de $\alpha ^{n-m}\beta ^{m}$ qui vient de ce terme dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ et ensuite dans les termes provenant de cette substitution, autant que cela sera possible, on parviendra nécessairement à une expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ par les puissances de $\alpha$ et de $\beta ,$ dans laquelle la plus haute de ces puissances sera la $(x+t)$^ième, et où les deux puissances $\alpha ^{n-m}$ et $\beta ^{m}$ ne se trouveront jamais ensemble, puisqu’on suppose qu’on les ait fait disparaître par la substitution de la valeur de $\alpha ^{n-m}\beta ^{m}.$

Cette équation de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ sera donc de la forme suivante

${\begin{aligned}\alpha ^{x}\beta ^{t}&=\mathrm {V} +\mathrm {V} '\alpha +\mathrm {V} ''\alpha ^{2}+\mathrm {V} '''\alpha ^{3}+\ldots +\mathrm {V} ^{(x+t)}\alpha ^{x+t}\\&+\ _{\prime }\!\mathrm {V} \beta \ \ +\ _{\prime }\!\mathrm {V} '\alpha \beta \ \ +\ _{\prime }\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta \ \ +\,_{\prime }\!\mathrm {V} '''\alpha ^{3}\beta +\ldots +\,_{\prime }\!\mathrm {V} ^{(x+t-1)}\alpha ^{x+t-1}\beta \\&+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} \beta ^{2}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} '\alpha \beta ^{2}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta ^{2}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} '''\alpha ^{3}\beta ^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} ^{(x+t-2)}\alpha ^{x+t-2}\beta ^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\&+\,_{(m)}\!\mathrm {V} \beta ^{m}+\,_{(m)}\!\mathrm {V} '\alpha \beta ^{m}+\,_{(m)}\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta ^{m}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad +\,_{(m)}\!\mathrm {V} ^{(n-m-1)}\alpha ^{n-m-1}\beta ^{m}\\&+\,_{(m+1)}\!\mathrm {V} \beta ^{m+1}+\,_{(m+1)}\!\mathrm {V} '\alpha \beta ^{m+1}+\,_{(m+1)}\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta ^{m+1}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad +\,_{(m+1)}\!\mathrm {V} ^{(n-m-1)}\alpha ^{n-m-1}\beta ^{m+1}\\&+\,_{(m+2)}\!\mathrm {V} \beta ^{m+2}+\,_{(m+2)}\!\mathrm {V} '\alpha \beta ^{m+2}+\,_{(m+2)}\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta ^{m+2}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad +\,_{(m+2)}\!\mathrm {V} ^{(n-m-1)}\alpha ^{n-m-1}\beta ^{m+2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\&+\,_{(x+t)}\!\mathrm {V} \beta ^{x+t}+\,_{(x+t)}\!\mathrm {V} '\alpha \beta ^{x+t}+\,_{(x+t)}\!\mathrm {V} ''\alpha ^{2}\beta ^{x+t}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad +\,_{(x+t)}\!\mathrm {V} ^{(n-m-1)}\alpha ^{n-m-1}\beta ^{x+t},\end{aligned}}$