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C’est ce qui est d’ailleurs évident de soi-même ; car le cas de $t$ négatif est le même que si $t$ restant positif, on échangeait entre eux les événements $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ ce qui ne produit d’autre différence dans la solution que de substituer $q$ à la place de $p$ et vice versâ.

Ce Problème répond au Problème LXV de Moivre, et la solution précédente s’accorde avec la seconde solution de cet Auteur (page 210, troisième édition).

Autre solution du Problème V.

59. Dans la solution précédente nous avons dû résoudre une équation du second degré pour avoir la valeur de $\beta$ en $\alpha$ par l’équation

$p-\alpha \beta +q\beta ^{2}=0\,;$

mais si au lieu de déterminer $\beta$ en $\alpha$ on voulait au contraire déterminer $\alpha$ en $\beta ,$ on n’aurait alors qu’une équation linéaire à résoudre, et cette valeur de $\alpha$ en $\beta$ aurait l’avantage d’être finie et de donner directement une expression de $y_{x,t}$ en termes finis.

En effet, on aura

$\alpha ={\frac {p}{\beta }}+q\beta \,;$

j’élève ce hinôme à la puissance $x,$ et je réunis, pour plus de simplicité, les termes extrêmes et ceux qui sont également éloignés des extrêmes ; j’aurai ainsi

${\begin{aligned}\alpha ^{x}=&\left(p^{x}\beta ^{-x}+q^{x}\beta ^{x}\right)+xpq\left(p^{x-2}\beta ^{2-x}+q^{x-2}\beta ^{x-2}\right)\\&+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left(p^{x-4}\beta ^{4-x}+q^{x-4}\beta ^{x-4}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

formule qu’il ne faudra pousser que jusqu’aux termes qui auront pour coefficient

${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots \left({\cfrac {x+1}{2}}\right)}{1.2.3\ldots }}$