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si $x$ est impair, ou bien

{\frac {x(x-1)(x-2)\ldots \left({\cfrac {x}{2}}+1\right)}{1.2.3\ldots }}

si $x$ est pair, en ayant soin, dans ce dernier cas, de ne prendre que la moitié de ce coefficient.

Multipliant cette valeur de $\alpha ^{x}$ x par $\beta ^{t}$ j’aurai cette expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ :

{\begin{aligned}\alpha ^{x}\beta ^{t}=&\left(p^{x}\beta ^{t-x}+q^{x}\beta ^{t+x}\right)+xpq\left(p^{x-2}\beta ^{t+2-x}+q^{x-2}\beta ^{t-2+x}\right)\\&+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left(p^{x-4}\beta ^{t+4-x}+q^{x-4}\beta ^{t-4+x}\right)+\ldots ,\end{aligned}}

d’où, par les principes établis dans l’Article II ci-dessus, on tirera immédiatement cette expression générale de $y_{x,t},$ savoir

{\begin{aligned}y_{x,t}=&\left[p^{x}f(t-x)+q^{x}f(t+x)\right]\\&+xpq\left[p^{x-2}f(t+2-x)+q^{x-2}f(t-2+x)\right]\\&+{\frac {x(p-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left[p^{x-4}f(t+4-x)+q^{x-4}f(t-4+x)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}

la caractéristique $f$ désignant une fonction arbitraire, qui doit être déterminée par les conditions du Problème.

Pour cet effet, il faut se rappeler que lorsque $x=0$ on doit avoir $y_{0,t}=0,$ $t$ étant $>0,$ et que lorsque $t=0$ on doit avoir $y_{x,0}=1,$ $x$ étant $=$ ou $>0\,;$ donc : 1^o on aura $f(t)=0,$ $t$ étant un nombre quelconque positif ; 2^o on aura