Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/237

et l’on trouvera, en général, par les formules déjà connues,

$p^{s}f(-s)+q^{s}f(s)=t-spq+{\frac {s(s-3)}{2}}p^{2}q^{2}-{\frac {s(s-4)(s-5)}{2.3}}p^{3}q^{3}$

$-{\frac {s(s-5)(s-6)(s-7)}{2.3.4}}p^{4}q^{4}-\ldots ,$

en ne prenant dans cette série qu’autant de termes qu’il y a d’unités dans ${\frac {s+1}{2}}$ ou dans ${\frac {s}{2}}+1.$

Donc, puisqu’on doit avoir, en général, $f(s)=0$ tant que $s>0,$ on aura pour le Problème dont il s’agit

$y_{x,t}=p^{x}\left[f(t-x)+x{\frac {q}{p}}f(t+2-x)+{\frac {x(x-1)}{2}}{\frac {q^{2}}{p^{2}}}f(t+4-x)+\ldots \right],$

en ne prenant qu’autant de termes qu’il y a d’unités dans ${\frac {x-t+1}{2}}$ ou dans ${\frac {x-t}{2}}+1\,;$ et il n’y aura plus qu’à substituer dans cette formule, à la place de chaque fonction telle que $f(-s),$ la quantité

$f(-s)={\frac {1}{p^{s}}}-{\frac {sq}{p^{s-1}}}+{\frac {s(s-3)}{2}}{\frac {q^{2}}{p^{s-2}}}-\ldots ,$

où le nombre des termes doit être ${\frac {s+1}{2}}$ ou ${\frac {s}{2}}+1.$

Troisième solution du Problème V.

60. Comme l’équation qui détermine $\beta$ en $\alpha$ est du second degré, et que les termes donnés de la Table du n^o 6 sont ceux qui forment le premier rang horizontal et le premier rang vertical, on aura la solution tout à la fois la plus simple et la plus directe par la méthode de l’Article III (31), en convertissant la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ en une série finie de la forme suivante

${\begin{aligned}\alpha ^{x}\beta ^{t}=\mathrm {V} &+\mathrm {V} '\alpha +\mathrm {V} ''\alpha ^{2}+\mathrm {V} '''\alpha ^{3}+\ldots \\&+\,_{\prime }\!\mathrm {V} \beta +\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} \beta ^{2}+\,_{\prime \prime \prime }\!\mathrm {V} \beta ^{3}+\ldots \,;\end{aligned}}$