Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/327

3^o On aura $\xi ''={\frac {m-n}{2}}x,$ et de là

$-(m+n)x-(2+2mx)y'''-2y'''^{2}+nx^{2}{\frac {dy'''}{dx}}=0\,;$

4^o On aura Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/ » :): {\displaystyle \xi'''=-\frac{m+n}{2}x,} et de là

$(m-2n)x-\left[2+(n-2m)x\right]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+nx^{2}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dx}}=0\,;$

5^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {m-2n}{2}}x,$ et de là

$-(m+2n)x-(2+2mx)y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}+nx^{2}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dx}}=0\,;$

6^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-{\frac {m+2n}{2}}x,$ et de là

$(m-3n)x-\left[2+(n-2m)x\right]y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+nx^{2}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}{dx}}=0\,;$

7^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {m-3n}{2}}x,$ et de là ….

Ainsi la valeur de $y$ sera exprimée par cette fraction continue

$y={\cfrac {1}{1-{\cfrac {mx}{1+{\cfrac {{\cfrac {m-n}{2}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {m+n}{2}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {m-2n}{2}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {m+2n}{2}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {m-3n}{2}}x}{1-\ldots }}}}}}}}}}}}}},$

laquelle se terminera, comme l’on voit, toutes les fois que l’on aura $m=\lambda n,$ $\lambda$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif.

Dans ce cas on aura donc une valeur finie de $y\,;$ mais cette valeur ne sera pas complète, puisqu’elle ne contient aucune constante arbitraire.