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donc, marquant successivement toutes les lettres d’un trait, de deux, de trois, on aura

${\begin{aligned}r'^{2}\ \ =&\mathrm {R} '^{2}\,\ +2\rho '\ \mathrm {R} '\ \ \cos(\alpha '\ \,-\mathrm {A} '\,\ )\cos \beta '\,\ +\rho '^{2},\\r''^{2}\ =&\mathrm {R} ''^{2}\,+2\rho ''\,\mathrm {R} ''\ \cos(\alpha ''\,-\mathrm {A} ''\ )\cos \beta ''\,+\rho ''^{2},\\r'''^{2}=&\mathrm {R} '''^{2}+2\rho '''\mathrm {R} '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} ''')\cos \beta '''+\rho '''^{2},\\\end{aligned}}$

de sorte que, par la substitution des valeurs précédentes de $\rho ',\rho '',\rho ''',$ on aura celles de $r',r'',r''',$ c’est-à-dire des trois rayons vecteurs de l’orbite.

9. Supposons que dans l’intervalle des trois observations le mouvement de la Comète soit rectiligne et uniforme, il est clair que nommant $\theta '$ l’intervalle entre la première et la seconde, et $\theta ''$ l’intervalle entre la seconde et la troisième, on aura ces deux proportions

$t''-t':t'''-t''=\theta ':\theta '',\quad u''-u':u'''-u''=\theta ':\theta ''\,;$

d’où l’on tire

$t'''={\frac {(\theta '+\theta '')t''-\theta ''t'}{\theta '}},\quad u'''={\frac {(\theta '+\theta '')u''-\theta ''u'}{\theta '}}.$

Qu’on substitue ces valeurs dans les expressions de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {(\theta '+\theta '')(t''u'-t'u'')}{\theta '}}={\frac {\mathrm {L} (\theta '+\theta '')}{\theta '}},\\\mathrm {N} =&-{\frac {\theta ''(t'u''-t''u')}{\theta '}}={\frac {\mathrm {L} \theta ''}{\theta '}}.\end{aligned}}$

Par conséquent $\mathrm {\frac {M}{L}} ={\frac {\theta '+\theta ''}{\theta '}}$ et $\mathrm {\frac {N}{L}} ={\frac {\theta ''}{\theta '}},$ quantités connues par les observations. Dans cette hypothèse donc le Problème ne sera que du premier degré, ce qui s’accorde avec ce que M. Bouguer a trouvé par une autre voie.

10. Mais voyons jusqu’à quel point l’hypothèse dont il s’agit peut s’accorder avec les principes connus du mouvement des Comètes autour du Soleil. Comme on sait que les Comètes sont attirées vers le Soleil en raison inverse du carré des distances et qu’en vertu de cette attraction elles