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Les trois dernières donnent

$a={\frac {{\cfrac {x^{2}}{4}}+x{\cfrac {dy}{dx}}}{1+x^{2}}},\quad b={\frac {{\cfrac {dy}{dx}}-{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+x^{2}}},$

et ces valeurs étant substituées dans la première, on aura

$y={\frac {-x^{4}+\left(8x^{3}+16x\right){\cfrac {dy}{dx}}+16{\cfrac {dy^{2}}{dx^{2}}}}{16\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

c’est l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation différentio-différentielle dont il s’agit.

Si l’on intègre cette équation, on aura alors l’intégrale particulière finie de la proposée. Pour cela, je tire par l’extraction de la racine carrée la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$ j’ai

$4{\frac {dy}{dx}}+2x+x^{2}={\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}\,;$

donc, divisant par ${\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}$ et multipliant par $2,$ on aura

${\frac {8dy+4xdx+2x^{3}dx}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}=2dx{\sqrt {1+x^{2}}},$

équation intégrable, et dont l’intégrale est, en ajoutant une constante arbitraire $\alpha ,$

${\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}=x{\sqrt {1+x^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+x^{2}}}-x\right)+\alpha .$

Il est remarquable que tandis que l’intégrale complète de la proposée est algébrique, l’intégrale particulière en est transcendante.

31. L’intégrale particulière aux différences premières que nous avons trouvée ci-dessus admet, outre l’intégrale complète précédente, encore une intégrale particulière finie, qu’on peut trouver par les méthodes des