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10. Ces préliminaires posés, venons à la solution du Problème de la détermination de l’orbite d’une Comète par trois observations peu éloignées entre elles.

Soit $\rho$ la distance rectiligne de la Comète à la Terre au bout d’un temps quelconque $t+\theta ,$ et soient $\alpha \rho ,\beta \rho ,\gamma \rho$ les trois coordonnées rectangles du lieu apparent de la Comète par rapport au centre de la Terre ; en sorte que l’on ait

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

Il est clair que ces quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ déterminent simplement la position de la ligne $\rho ,$ c’est-à-dire la direction du rayon visuel de la Comète ; elles seront par conséquent données par chaque observation de la Comète.

Soient de plus $\mathrm {R}$ la distance du Soleil à la Terre, et $\mathrm {AR,BR,CR}$ les coordonnées du lieu du Soleil par rapport à la Terre, en sorte que l’on ait aussi

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} =1.$

Il est facile de concevoir qu’en retranchant respectivement ces dernières coordonnées des premières, les différences

$\alpha \rho -\mathrm {AR} ,\quad \beta \rho -\mathrm {BR} ,\quad \gamma \rho -\mathrm {CR}$

doivent être égales aux coordonnées de l’orbite de la Comète autour du Soleil, que nous avons vu (5) être exprimées, en général, par

$fx+g{\frac {dx}{dt}},\quad fy+g{\frac {dy}{dt}},\quad fz+g{\frac {dz}{dt}}.$

On aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}\alpha \rho -\mathrm {AR} =&fx+g{\frac {dx}{dt}},\\\beta \rho -\mathrm {BR} =&fy+g{\frac {dy}{dt}},\\\gamma \rho -\mathrm {CR} =&fz+g{\frac {dz}{dt}}\,;\end{aligned}}$

desquelles éliminant l’inconnue $\rho ,$ on aura deux équations qui contien-