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12. Tout se réduit maintenant à éliminer les différentes inconnues.

Pour y parvenir, je commence par éliminer les deux inconnues $x$ et \frac{dx}{dt} des premières équations de chaque système ; et faisant, pour abréger,

$l=f'g''-f''g',$

j’aurai cette équation

$\alpha \gamma l-\alpha '\rho 'g''+\alpha ''\rho ''g'=\mathrm {AR} l-\mathrm {A'R'} g''+\mathrm {A''R''} g'.$

J’aurai de même, en éliminant $y$ et ${\frac {dy}{dt}}$ des deuxièmes équations, et ensuite $z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ des troisièmes, ces deux autres-ci

${\begin{aligned}\beta \gamma l-\beta '\rho 'g''+\beta ''\rho ''g'=&\mathrm {BR} l-\mathrm {B'R'} g''+\mathrm {B''R''} g',\\\gamma \gamma l-\gamma '\rho 'g''+\gamma ''\rho ''g'=&\mathrm {CR} l-\mathrm {C'R'} g''+\mathrm {C''R''} g'.\end{aligned}}$

Au moyen de ces trois équations on déterminera $\rho ',\rho '',\rho '''\,;$ et si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{6}\delta \ \ \ =&\alpha (\beta '\gamma ''&-&\beta ''\gamma ')&+&\beta (\gamma '\alpha ''&-&\gamma ''\alpha ')&+&\gamma (\alpha '\beta ''&-&\alpha ''\beta '),\\\Delta \ \ =&\mathrm {A} (\beta '\gamma ''&-&\beta ''\gamma ')&+&\mathrm {B} (\gamma '\alpha ''&-&\gamma ''\alpha ')&+&\mathrm {C} (\alpha '\beta ''&-&\alpha ''\beta '),\\\Delta _{1}=&\mathrm {A} (\gamma \beta ''&-&\beta \gamma '')&+&\mathrm {B} (\alpha \gamma ''&-&\gamma \alpha '')&+&\mathrm {C} (\beta \alpha ''&-&\alpha \beta ''),\\\Delta _{2}=&\mathrm {A} (\beta \gamma '&-&\beta '\gamma )&+&\mathrm {B} (\gamma \alpha '&-&\gamma '\alpha )&+&\mathrm {C} (\alpha \beta '&-&\alpha '\beta ).\end{alignedat}}$

qu’ensuite on dénote par $\Delta ',\Delta '_{1},\Delta '_{2},$ ce que deviennent $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2},$ en y changeant $\mathrm {A,B,C}$ en $\mathrm {A',B',C'} ,$ et par $\Delta '',\Delta ''_{1},\Delta ''_{2}$ ce que les mêmes quantités deviennent lorsque $\mathrm {A,B,C}$ deviennent $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ on trouvera par les formules connues pour l’élimination

${\begin{aligned}\rho \ \ =&{\frac {\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g'}{\delta l}},\\\rho '\ =&-{\frac {\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta '_{1}\mathrm {R} 'g''+\Delta ''_{1}\mathrm {R} ''g'}{\delta g''}},\\\rho ''=&{\frac {\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta '_{2}\mathrm {R} 'g''+\Delta ''_{2}\mathrm {R} ''g'}{\delta g'}}.\end{aligned}}$