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trait.

${\begin{aligned}f'=&1-{\frac {\theta '^{2}}{2r^{3}}}+{\frac {\theta '^{3}p}{2r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}}{8r^{3}}}\left(q-5p^{2}+{\frac {1}{3r^{3}}}\right)-{\frac {\theta '^{5}}{8r^{3}}}\left(3pq+{\frac {p}{r^{3}}}-7p^{3}\right)-\ldots ,\\g'=&\theta '-{\frac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}p}{4r^{3}}}+{\frac {\theta '^{5}}{8r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots ,\\h'=&1+2\theta 'p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}}{3r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}}{4r^{3}}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)+{\frac {\theta '^{5}}{4r^{3}}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Et, marquant la quantité $\theta$ de deux traits, on aura les valeurs de $f'',g'',h''.$

Substituant ces valeurs dans l’expression de

$l=f'g''-f''g',$

on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}l=&\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}(\theta ''+\theta ')p}{4r^{3}}}\\&+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}\left(3\theta ''^{2}+4\theta ''\theta '+3\theta '^{2}\right)\left({\cfrac {q}{5}}-p^{2}\right)}{8r^{3}}}+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{5}}{3.5.8.r^{6}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Dans ces formules, les quantités $\theta '$ et $\theta ''$ sont connues, puisqu’elles expriment les intervalles de temps, c’est-à-dire les angles que le Soleil a parcourus par son mouvement moyen entre les trois observations de la Comète (I et II) angles qui doivent être évalués, pour l’homogénéité, en parties du rayon ; il n’y a donc d’inconnues que les trois quantités $r,p,q,$ lesquelles déterminent les trois principaux éléments de la Comète, de manière que, nommant $a$ le demi-grand axe, $b$ le demi-paramètre, $\varphi$ l’angle du rayon vecteur $r$ avec le périhélie, on a (9)

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-r^{2}q,\quad b=2r-{\frac {r^{2}}{a}}-r^{4}p^{2},\quad \cos \varphi ={\frac {b-r}{r{\sqrt {1-{\cfrac {b}{a}}}}}}.$

22. Il ne s’agira donc plus que de faire ces différentes substitutions dans les trois équations finales du n^o 14, et de déterminer, par le moyen