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de ces équations, les trois inconnues $r,p,q\,;$ c’est à quoi se réduit la solution que nous avons annoncée du Problème des Comètes.

Il est visible que ces équations seront d’autant plus compliquées qu’on prendra plus de termes dans les séries qui expriment les valeurs des quantités $l,g',h',g'',h''\,;$ mais comme on peut rendre ces séries aussi convergentes que l’on veut en diminuant les valeurs des intervalles $\theta '$ et $\theta ''$ entre les observations, on a un moyen de les simplifier sans préjudice de l’exactitude.

Supposons, par exemple, qu’on s’arrête aux troisièmes dimensions de $\theta '$ et $\theta '',$ on aura alors

${\begin{alignedat}{2}l\ =&\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}},\\g'=&\theta '-{\frac {\theta '^{3}}{6r^{3}}},&g''=&\theta ''-{\frac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}},\\h'=&1+2\theta 'p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}p}{3r^{3}}},\qquad &h''=&1+2\theta ''p+\theta ''^{2}q-{\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}}.\end{alignedat}}$

Par ces substitutions on aura trois équations, dont la première ne contiendra que l’inconnue $r,$ et dont les deux autres contiendront de plus les inconnues $p$ et $q,$ mais simplement sous la forme linéaire.

23. En effet, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&\Delta \mathrm {R} (\theta ''-\theta ')\ \,-\Delta '\mathrm {R} '\theta ''\ \,+\Delta ''\mathrm {R} ''\theta ',\\\mathrm {N} \,=&\Delta \mathrm {R} (\theta ''-\theta ')^{3}-\Delta '\mathrm {R} '\theta ''^{3}+\Delta ''\mathrm {R} ''\theta '^{3},\end{aligned}}$

et qu’on dénote par $\mathrm {M_{1},N_{1}} ,$ et par $\mathrm {M_{2},N_{2}}$ ce que deviennent ces expressions de $\mathrm {M,N} ,$ en y changeant $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$ en $\Delta _{1},\Delta '_{1},\Delta ''_{1}$ et en $\Delta _{2},\Delta '_{2},\Delta ''_{2},$ on aura (12)

$\rho ={\frac {\mathrm {M} -{\cfrac {\mathrm {N} }{6r^{3}}}}{\delta \left[\theta ''-\theta '-{\cfrac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]}},\quad \rho '=-{\frac {\mathrm {M} _{1}-{\cfrac {\mathrm {N} _{1}}{6r^{3}}}}{\delta \left(\theta ''-{\cfrac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}}\right)}},$

$\rho ''=-{\frac {\mathrm {M} _{2}-{\cfrac {\mathrm {N} _{2}}{6r^{3}}}}{\delta \left(\theta '-{\cfrac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}\right)}}\,;$