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substituant ces valeurs dans les trois équations suivantes (13)

${\begin{aligned}\rho ^{2}\ \ &-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2}=r^{2},\\\rho '^{2}\ &-2\Gamma '\ \mathrm {R} '\ \rho '\ +\mathrm {R} '^{2}=r^{2}\left(1+2\theta '\ p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}\ p}{3r^{3}}}\right),\\\rho ''^{2}&-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}=r^{2}\left(1+2\theta ''p+\theta ''^{2}q-{\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}}\right),\end{aligned}}$

il est visible que la première équation contiendra seulement l’inconnue $r,$ laquelle $y$ montera au huitième degré ; et cette inconnue étant déterminée par la résolution de cette équation, on aura ensuite $p$ et $q$ par les deux autres équations, lesquelles, en y négligeant pour plus de simplicité les termes du troisième ordre ${\frac {\theta '^{3}p}{3r^{3}}},\ {\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}},$ donnent sur-le-champ

${\begin{aligned}p=&{\frac {\left(\rho '^{2}\ -2\Gamma '\mathrm {R} '\rho '+\mathrm {R} '^{2}-r^{2}\right)\theta ''^{2}-\left(\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}-r^{2}\right)\theta '^{2}}{2r^{2}\theta '\theta ''(\theta ''-\theta ')}},\\q=&{\frac {\left(\rho '^{2}\ -2\Gamma '\mathrm {R} '\rho '+\mathrm {R} '^{2}-r^{2}\right)\theta ''\ \,-\left(\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}-r^{2}\right)\theta '}{r^{2}\theta '\theta ''(\theta '-\theta '')}}.\end{aligned}}$

24. Pour que l’orbite soit parabolique, il faut que l’on ait $a=\infty \,;$ donc (21)

${\frac {1}{r}}-r^{2}q=0,\quad q={\frac {1}{r^{3}}}.$

En faisant cette substitution on aura, comme l’on voit, une seconde équation en $r,$ laquelle montera de même au huitième degré ; mais si dans le numérateur de l’expression de $q$ on met à la place de $r^{2}$ sa valeur tirée de la première équation, savoir

$r^{2}=\rho ^{2}-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2},$

qu’ensuite on substitue partout les valeurs de $\rho ,\rho ',\rho ''$ en $r,$ on trouvera que l’équation dont il s’agit ne montera plus qu’au sixième degré.

En général, comme cette seconde équation doit avoir lieu en même temps que la première, pour que l’orbite soit parabolique, il est clair que dans ce cas les deux équations doivent avoir un diviseur commun