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expression qui est surtout remarquable en ce qu’elle ne dépend que du grand axe de l’ellipse proposée et nullement de son excentricité, et qui fournit par conséquent un moyen facile de réduire en Table la détermination du temps employé à parcourir un arc d’une orbite elliptique quelconque car si l’on fait

${\frac {b+c}{2a}}=r,\quad {\frac {b-c}{2a}}=s,$

en sorte que

$p=ar,\quad q=as,$

le temps répondant à la corde $c$ dans l’ellipse dont le grand axe est $a$ sera exprimé par

${\frac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\left(\int {\frac {rdr}{\sqrt {r-r^{2}}}}-\int {\frac {sds}{\sqrt {s-s^{2}}}}\right)\,;$

or lorsque $c=a,$ auquel cas on a aussi $b=a,$ $r$ devient $=1$ et $s=0,$ et l’on a le temps depuis une apside à l’autre, c’est-à-dire le temps de la demi-révolution ; donc, si l’on construit une Table qui, pour chaque valeur de $y$, depuis $y=0$ jusqu’à $y=1,$ donne la valeur correspondante de

$\int {\frac {ydy}{\sqrt {y-y^{2}}}}$

divisée par le double de la valeur qui répond à $y=1,$ on n’aura qu’à prendre dans cette Table la différence des nombres qui répondent à

$y={\frac {b+c}{2a}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {b-c}{2a}}$

et multiplier ensuite cette différence par le temps de la révolution entière dans l’ellipse proposée, pour avoir sur-le-champ le temps répondant à l’arc sous-tendu par la corde $c$.

Dans le troisième Volume des Tables Astronomiques de l’Académie, page 25, on trouve une pareille Table sous le nom de Chute elliptique des Comètes, dans laquelle la première colonne, intitulée Distances, représente les valeurs de $y$ en millièmes parties, et la seconde colonne, intitulée Temps, donne les nombres correspondants en parties millionièmes.