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où il faut déterminer les constantes arbitraires $\mathrm {G,H,M,N,P,Q}$ en sorte que les imaginaires se détruisent.

On aura donc d’abord

$\mathrm {{\frac {G+H}{2}}=A,\quad {\frac {G-H}{2{\sqrt {-1}}}}=B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes réelles quelconques ; ensuite il est visible qu’en faisant pour plus de généralité

$\mathrm {M=C+D{\sqrt {-1}},\quad N=E+I{\sqrt {-1}}} ,$

$\mathrm {C,D,E,I}$ étant aussi des quantités réelles quelconques, il faudra faire

$\mathrm {P=C-D{\sqrt {-1}},\quad Q=E-I{\sqrt {-1}}} ,$

et alors les imaginaires se détruiront d’elles-mêmes dans les expressions précédentes de $x$ et $y.$ Mais au lieu des suppositions précédentes, nous ferons, ce qui revient au même,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&a\left(\cos g+\sin g{\sqrt {-1}}\right)&=&ae^{g{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {N} =&b\left(\cos h+\sin h{\sqrt {-1}}\right)&=&be^{h{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {P} =&a\left(\cos g-\sin g{\sqrt {-1}}\right)&=&ae^{-g{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {Q} =&b\left(\cos h-\sin h{\sqrt {-1}}\right)&=&be^{-h{\sqrt {-1}}},\end{alignedat}}$

$a,b,g,h$ étant des constantes arbitraires réelles ; ces substitutions faites, on aura, après les réductions usitées,

${\begin{aligned}x=&\mathrm {A} -{\frac {a\cos 2(ct+g)+b\cos 2(g+h).e^{-2cu}}{2ac\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}},\\y=&\mathrm {B} +{\frac {a\sin 2(ct+g)+b\sin 2(g+h).e^{-2cu}}{2ac\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}}.\end{aligned}}$

13. Si maintenant on élimine de ces deux équations la variable $u,$ on aura une équation en $x,y$ et $t,$ qui sera par conséquent celle de toutes les courbes qui représentent les différents méridiens correspondant aux différentes longitudes $t\,;$ et réciproquement, si l’on en élimine la varia-