et que personne, que je sache, n’avait encore tenté de résoudre. La solution que j’en ai donnée ne laisse, ce me semble, rien à désirer du côté de l’Analyse mais comme il y a beaucoup de conséquences et d’applications à déduire de cette solution, j’ai cru qu’il était à propos de l’examiner en détail ; c’est à quoi sont destinées les Recherches suivantes, dans lesquelles je conserverai pour la commodité des citations la suite des chiffres qui distinguent les numéros.
21. Je remarque d’abord que les formules trouvées dans le premier Mémoire (12, 16) renferment deux solutions différentes, puisqu’on a vu (11) qu’il est permis d’y changer en et en mais j’observe en même temps que la solution qui résulterait de cette permutation serait plus curieuse que commode pour la pratique, puisqu’elle renfermerait des exponentielles de l’angle et des sinus et cosinus de la quantité que nous avons trouvé être une quantité logarithmique (19) ; au lieu que la solution que donnent immédiatementles formules dont il s’agit ne renferme que des sinus et cosinus des angles et à cause de
C’est pourquoi nous nous contenterons d’examiner cette solution.
Elle renferme, comme on voit, plusieurs constantes arbitraires, dont les unes contribuent à sa généralité, mais dont les autres ne donnent qu’une généralité apparente, puisqu’elles dépendent de la position arbitraire des axes des coordonnées ; on peut donc, en déterminant ces dernières d’une manière convenable, gagner une plus grande simplicité, sans rien perdre du côté de la généralité.
Pour cela j’observe que, comme les deux lignes droites qui sont les lieux des centres de tous les méridiens et de tous les parallèles de la Carte sont perpendiculaires l’une à l’autre, on peut prendre ces lignes mêmes pour les axes des coordonnées.
Nous supposerons donc que la ligne des centres de tous les méridiens soit l’axe des coordonnéesy, et que la ligne des centres de tous les parallèles soit l’axe des abscisses il faudra pour cela (14,15) : 1o que
