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donc enfin on aura

$m=\mathrm {\frac {{\overline {GR}}^{2}+{\overline {GH}}^{2}}{GH}} .$

On voit par cette formule que la valeur de $m$ sera la plus petite dans le point $\mathrm {G} ,$ qui répond à une distance au pôle $z=\mathrm {BH} '=180^{\circ }-h,$ et qui est, ainsi que nous l’avons dit dans le n^o 29, le centre de la projection stéréographique ; ce qui est d’ailleurs évident par la nature de cette projection.

38. Comme l’exposant $c$ de la projection est à volonté, voyons si par son moyen on peut diminuer davantage les variations de la quantité $m$. Nous avons déjà remarqué plus haut (35) que les minimums de cette quantité doivent tomber nécessairement dans des lieux placés sur le méridien rectiligne $\mathrm {AB} .$ Or lorsque le point $\mathrm {R}$ tombe sur $\mathrm {AB} ,$ on a évidemment

$\lambda +\mu =\mathrm {AB} =2\delta \,;$

de sorte que, si la quantité $\lambda$ varie par exemple d’une quantité quelconque $\beta ,$ la quantité $\mu$ devra varier en même temps de la quantité $-\beta .$

Substituons donc, dans l’expression générale de $m$ (36), $\lambda +\beta$ à la place de $\lambda ,$ et $\mu -\beta$ à la place de $\mu \,;$ et, regardant la quantité $\beta$ comme très-petite, poussons la précision jusqu’aux $\beta ^{2}\,;$ nous aurons la formule suivante

${\begin{aligned}&m={\frac {c}{2\delta }}\left(\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}\cot {\frac {h}{2}}\right)\\&+{\frac {c\beta }{2\delta }}\left[\left({\frac {c+1}{c}}\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c-1}{c}}\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\right)\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right.\\&\qquad \qquad +\left.\left({\frac {c-1}{c}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}-{\frac {c+1}{c}}\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{\frac {1}{c}}\right)\cot {\frac {h}{2}}\right]\\&+{\frac {c\beta ^{2}}{2\delta }}\left[\left({\frac {c+1}{2c^{2}}}\lambda ^{{\frac {1}{c}}-1}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c^{2}-1}{c^{2}}}\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c-1}{c^{2}}}\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{-1-{\frac {1}{c}}}\right)\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right.\\&\qquad +\left.\left(-{\frac {c-1}{2c^{2}}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}-1}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}-{\frac {c^{2}-1}{c^{2}}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\mu ^{\frac {1}{c}}+{\frac {c+1}{c^{2}}}\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{-1+{\frac {1}{c}}}\right)\cot {\frac {h}{2}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$