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Supposons, en effet, que, pour une équation du premier ordre en $x,y$ et $y',$ la valeur complète de $y$ soit $f(x,a),$ $a$ étant la constante arbitraire. En donnant à $a$ une valeur particulière $h,$ la quantité $f(x,a)$ deviendra une valeur particulière de $y,$ que nous nommerons $p$ et que nous supposerons connue d’une manière quelconque. Faisons maintenant $a=h+i,$ et développons la fonction $f(x,h+i)$ en série ascendante suivant les puissances de $i\,;$ le premier terme sera $f(x,h)=p,$ et les autres termes seront de la forme $qi+ri^{2}+\ldots ,$ $q,r,\ldots$ étant des fonctions de $x.$ Si l’on substitue cette expression de $y$ dans l’équation donnée du premier ordre, il faudra qu’elle se vérifie indépendamment de la constante $i,$ qui doit demeurer arbitraire.

Soit donc

$y'=\operatorname {F} (x,y)$

l’équation du premier ordre à laquelle satisfait la valeur particulière $y=p\,;$ on aura, d’après cette condition,

$p'=\operatorname {F} (x,p).$

Substituons pour $y$ la série $p+iq+i^{2}r+\ldots ,$ et développons aussi la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ en série suivant les puissances de $i\,;$ si l’on dénote simplement par $\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} ''(y),\ldots$ les fonctions primes, secondes, etc. de $\operatorname {F} (x,y)$ prises relativement à $y$ seul, et qu’on fasse, pour abréger, $0=iq+i^{2}r+\ldots ,$ on aura, par la théorie exposée plus haut sur le développement des fonctions,

$\operatorname {F} (x,y)=\operatorname {F} (x,p)+o\operatorname {F} '(p)+{\frac {o^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)+\ldots .$

D’un autre côté, on aura, en prenant les fonctions primes,

$y'=p'+q'i+r'i^{2}-\ldots \,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation $y'=\operatorname {F} (x,y)$ et ordonnant les termes suivant les puissances de $i,$ on aura, à cause de $p'=\operatorname {F} (x,p),$

$iq'+i^{2}r'+\ldots =iq\operatorname {F} '(p)+i^{2}\left[r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)\right]+\ldots ,$