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d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de $i,$ les équations suivantes :

$q'=q\operatorname {F} '(p),\quad r'=r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p),\quad \ldots ,$

qui serviront à déterminer successivement toutes les inconnues $q,r,\ldots .$

Comme les quantités $\operatorname {F} '(p),\operatorname {F} ''(p),\ldots$ sont des fonctions données de $x,$ il est visible qu’on n’aura pour ces inconnues que des équations linéaires du premier ordre, susceptibles de la méthode du n^o 55 ; il ne sera pas même nécessaire d’avoir les valeurs complètes de $q,r,\ldots ,$ il suffira d’avoir des valeurs quelconques qui satisfassent à ces équations de condition.

Ayant ainsi déterminé les valeurs des quantités $q,r,s,\ldots ,$ on aura cette valeur complète de $y,$

$y=p+iq+i^{2}r+\ldots ,$

dans laquelle $i$ sera la constante arbitraire qui manquait à la valeur particulière $y=p.$ Cette valeur sera à la vérité exprimée par une série, mais la convergence de cette série ne dépendra que de la valeur de la constante $i.$

Cette méthode est aussi applicable, avec l’extension convenable, aux équations des ordres supérieurs au premier ; mais les équations qu’on trouvera pour la détermination des fonctions inconnues seront du même ordre, et par conséquent on ne pourra trouver, en général, les valeurs de ces fonctions que dans le cas où les coefficients seront constants.

Au reste, cette méthode est le fondement des solutions des principaux problèmes de la théorie des planètes. Comme les excentricités et les inclinaisons qu’on doit regarder comme des constantes arbitraires sont fort petites, et que l’effet des attractions est aussi très-petit, le cercle fournit d’abord des valeurs particulières, et l’on complète ensuite ces valeurs par des séries qui procèdent suivant les puissances de ces constantes très-petites.