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CHAPITRE IX.

Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières.

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58. La méthode que nous venons d’exposer pour trouver l’équation primitive par le moyen des séries est fondée sur la supposition que toute fonction $\operatorname {F} (x,y)$ de deux variables $x,y$ puisse toujours, par la substitution de $p+qi+ri^{2}+\ldots$ à la place de $y,$ se développer en une série ascendante suivant les puissances entières de $i\,;$ mais, comme cette série résulte du développement d’une fonction de $y+o,$ en faisant $o=qi+ri^{2}+\ldots$ et donnant à $y$ une valeur particulière $p,$ il s’ensuit de la théorie que nous avons donnée dans le Chapitre V que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de $o,$ auquel cas la série dont il s’agit contiendrait nécessairement de pareilles puissances de $i.$ Alors la série qui doit représenter la valeur de $y$ pourra ne plus avoir la même forme ; mais, comme $y=f(x,a),$ et qu’on suppose $a=h+i$ et $p=f(x,h),$ le premier terme sera toujours $p$ et le second pourra encore être supposé de la forme $qi,$ car, s’il était de la forme $qi^{n},$ $n$ étant un exposant quelconque, il n’y aurait qu’à substituer $i^{\frac {1}{n}}$ à la place de $i$ et supposer que $a$ devienne $h+i^{\frac {1}{n}},$ ce qui est indifférent, puisqu’on regarde $i$ comme une constante arbitraire ; mais les termes suivants pourront être de la forme $ri^{m}+si^{n}+\ldots ,$ où $m$ devra être $>1,$ $n>m,$ par hypothèse.

Substituant donc, dans $\operatorname {F} (x,y),$ pour $y,$ la série

$p+qi+ri^{m}+si^{n}+\ldots ,$