Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/106

$\operatorname {F} (x,y)=0$ serait

$\operatorname {F} (x,y)'+a'\operatorname {F} '(a)=0\,;$

donc, pour qu’elle se réduise à $\operatorname {F} (x,y)'=0,$ comme dans le cas de $a$ constante, il faudra que l’on ait $\operatorname {F} '(a)=0,$ équation qui servira à déterminer la valeur de $a,$ et qui n’est autre chose, comme l’on voit, que l’équation prime de l’équation primitive, prise relativement à $a,$ d’où il s’ensuit que, si l’on substitue cette valeur de $a$ dans l’équation primitive $\operatorname {F} (x,y)=0,$ on aura une équation en $x$ et $y,$ qui satisfera également à l’équation du premier ordre et qui ne sera pas renfermée dans l’équation primitive, où $a$ est la constante arbitraire.

On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs et en déduire des conclusions semblables.

61. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette considération est la même que l’équation primitive singulière, déduite de l’analyse précédente, supposons, comme plus haut (n^o 58), que l’équation du premier ordre soit réduite à la forme $y'=\operatorname {F} (x,y)$ et que son équation primitive complète soit $y=f(x,a),$ $a$ étant la constante arbitraire. Pour en déduire l’équation primitive où $a$ est variable, on prendra l’équation prime relativement à $a$ seul, et, si l’on désigne par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ prise relativement à $a,$ on aura $\varphi (x,a)=0,$ d’où l’on tirera $a,$ qu’on substituera dans $f(x,a),$ et l’on aura une valeur particulière de $y$ qui satisfera aussi à la proposée du premier ordre. Nous appellerons $p$ cette valeur particulière, comme dans le numéro cité.

Maintenant, puisque la valeur compléte $f(x,a)$ de $y$ doit satisfaire à l’équation $y'=\operatorname {F} (x,y)$ quelle que soit la constante $a,$ il s’ensuit que, en faisant la substitution, l’équation résultante

$f'(x,a)=\operatorname {F} \left[x,f(x,a)\right]$

devra avoir lieu quelle que soit la valeur de $a.$ Par conséquent, son équation prime, prise relativement à $a$ regardée comme seule variable, devra avoir lieu aussi quelle que soit la valeur de $a$ (n^o 17).