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Puisque $f'(x,a)$ est la fonction prime de $f(x,a)$ prise relativement à $x,$ la fonction prime de celle-ci prise relativement à $a$ sera donc la fonction seconde de $f(x,a),$ prise d’abord relativement à $x$ et ensuite relativement à $a,$ laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas, que la fonction seconde de $f(x,a)$ prise d’abord relativement à $a$ et ensuite relativement à $x.$ Ainsi, ayant désigné par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ par rapport à $a,$ on aura $\varphi '(x,a)$ pour la fonction prime de $f'(x,a)$ prise également par rapport à $a,$ les traits appliqués aux caractéristiques $f$ et $\varphi$ ne se rapportant qu’à la variable $x.$

À l’égard de la fonction $\operatorname {F} \left[x,f(x,a)\right],$ comme elle résulte de la substitution de $f(x,a)$ à la place de $y$ dans $\operatorname {F} (x,y),$ sa fonction prime relativement à $a$ sera exprimée par $\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a)$ (n^o 16), puisque nous avons désigné par $\operatorname {F} '(y)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y)$ relativement à $y,$ et par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ ou $y$ relativement à $a.$

Donc l’équation prime de l’équation

$f'(x,a)=\operatorname {F} (x,y)$

prise relativement à $a$ sera

$\varphi '(x,a)=\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a),$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(y)={\frac {\varphi '(x,a)}{\varphi (x,a)}}.$

Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière $p,$ il faut substituer dans $f(x,a)$ la valeur de $a$ tirée de l’équation $\varphi (x,a)=0.$ Dénotons par $\mathrm {X}$ cette valeur de $a,$ qui sera une fonction de $x\,;$ la fonction $\varphi (x,a)$ aura cette forme

$\varphi (x,a)=\mathrm {V} (\mathrm {X} -a)^{m},$

$m$ étant $>0,$ et $\mathrm {V}$ étant une fonction de $x$ qui ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque $a=\mathrm {X} \,;$ on tirera de là

$\varphi '(x,a)=\mathrm {V} '(\mathrm {X} -a)^{m}+m\mathrm {V} \mathrm {X} '(\mathrm {X} -a)^{m-1}.$