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Donc on aura

$\operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {V'}{V}} +{\frac {m\mathrm {X} '}{\mathrm {X} -a}}.$

Mais $y$ devient $p$ lorsque $a=\mathrm {X} \,;$ donc $\operatorname {F} '(y)$ deviendra infini lorsque $y=p,$ comme dans le cas du n^o  59. Ainsi les deux méthodes des n^os 58 et 60 conduisent aux mêmes résultats et donnent les mêmes valeurs singulières ; mais la seconde a l’avantage d’être plus directe et de donner la vraie métaphysique de cette espèce de paradoxe.

62. Supposons, pour donner un exemple, que l’équation primitive soit

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0\,;$

en prenant les fonctions primes, on aura l’équation prime

$x-ay'=0\,;$

éliminant $a$ par le moyen de l’équation primitive, on aura l’équation du premier ordre

$x-\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right)y'=0,$

dont celle-là sera l’équation primitive complète, $a$ étant la constante arbitraire.

Maintenant, si l’on prend la fonction prime de la même équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

relativement à la quantité $a$ regardée comme une fonction de $x,$ on aura

$-2(y+a)a'=0,$

ce qui donne

$y+a=0,\quad a=-y,$

et, substituant cette valeur dans la même équation primitive, on aura

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0.$

Cette équation satisfera par conséquent aussi à la même équation du