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facilement comment l’équation entre ses trois côtés satisfait à l’équation précédente du premier ordre. Cette équation étant

$\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=\cos {\frac {m}{2}},$

si l’on prend les fonctions primes, en regardant $z$ cômme fonction de $u,$ et $m,\mathrm {M}$ comme constantes, on aura

$\left(\cos \mathrm {M} \cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}-\sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)z'+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}-\cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=0.$

Substituons à la place de $\cos \mathrm {M}$ sa valeur tirée de la même équation ; il viendra celle-ci :

${\cfrac {\cos {\cfrac {z}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {u}{2}}}{\sin {\cfrac {z}{2}}}}z'+{\cfrac {\cos {\cfrac {u}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {z}{2}}}{\sin {\cfrac {u}{2}}}}=0.$

Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont ${\frac {u}{2}},{\frac {z}{2}},{\frac {m}{2}}$ sont les trois côtés et $\mathrm {M}$ l’angle opposé au côté ${\frac {m}{2}},$ on désigne par $\mathrm {U}$ et $\mathrm {Z}$ les angles opposés aux côtés ${\frac {u}{2}}$ et ${\frac {z}{2}},$ on aura également

${\begin{aligned}\cos {\frac {u}{2}}=&\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {m}{2}}+\cos \mathrm {U} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {m}{2}},\\\cos {\frac {z}{2}}=&\cos {\frac {u}{2}}\cos {\frac {m}{2}}-\cos \mathrm {Z} \sin {\frac {u}{2}}\sin {\frac {m}{2}}\,;\end{aligned}}$

je donne à $\cos \mathrm {Z}$ le signe $-$ parce que je suppose l’angle $\mathrm {Z}$ obtus. Donc, faisant ces substitutions et divisant toute l’équation par $\sin {\frac {m}{2}},$ elle deviendra

$z'\cos \mathrm {U-\cos Z} =0,\quad {\text{d’où}}\quad z'=\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} .$

Mais, par la propriété générale des triangles sphériques, on a

${\cfrac {\sin \mathrm {U} }{\sin {\cfrac {u}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {Z} }{\sin {\cfrac {z}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {M} }{\sin {\cfrac {m}{2}}}}=\mu \,;$