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donc

$\sin \mathrm {U} =\mu \sin {\frac {u}{2}},\quad \sin \mathrm {Z} =\mu \sin {\frac {z}{2}},$

et de là

$\cos \mathrm {U} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {u}{2}}}},\quad \cos \mathrm {Z} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {z}{2}}}}\,;$

substituant ces valeurs, on aura la même équation du premier ordre en $u$ et $z.$

Si l’angle $\mathrm {Z} ,$ que nous avons supposé obtus, était aigu, ainsi que l’angle $\mathrm {U} ,$ alors, au lieu de l’équation $z'=\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} ,$ on aurait celle-ci,

$z'+\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} =0,$

qui ne diffère que par le signe de $z'$ et dont l’équation primitive sera la même.

70. Voici encore, une considération essentielle sur ces sortes d’équations : l’équation du n^o 68 étant mise sous cette forme

${\frac {z'}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},$

supposons que $f(u)$ soit la fonction primitive de ${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}}\,;$ $f(z)$ sera pareillement la fonction primitive de ${\frac {z'}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}},$ $z$ étant regardé comme une fonction de $u$ dont $z'$ est la fonction prime. Ainsi, en repassant aux fonctions primitives, on aura sur-le-champ cette équation primitive

$f(z)=f(u)+k,$

$k$ étant la constante arbitraire.

Cette équation devra donc coïncider avec l’équation primitive que nous avons trouvée au n^o 68, et où la constante arbitraire est $m\,;$ par conséquent, sa constante arbitraire ne pourra être qu’une fonction de